Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

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1 Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe
6.1 Le langage Matriciel Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

2 Dans cette section, nous verrons
La définition d’une matrice. Les définitions de matrices particulières. La somme de matrices. La multiplication d’une matrice par un scalaire. La multiplication de matrices.

3 Parfois, on spécifie la taille de la matrice ici.
Définition: Une matrice de format est un tableau rectangulaire ordonné de éléments disposés sur lignes et colonnes. Parfois, on spécifie la taille de la matrice ici.

4 Définition: Exemple: Définition: Exemple:
Une matrice ligne est une matrice de format Exemple: Définition: Une matrice colonne est une matrice de format Exemple:

5 Définition: Exemple: Une matrice nulle est une matrice dont toutes
les entrées sont nulles. Exemple:

6 Définition: Une matrice carrée est une matrice de format Exemple:

7 Exemple: Donner la matrice définit par , tel que :

8 Faites les exercices suivants
p.204 # 2 et 3

9 Soit une matrice quelconque (on suppose que m<n), que représente les expressions suivantes.
Exemple:

10 Définition: Définition:
Une matrice d’adjacence est une matrice qui représente les liens entre des sommets. 𝑎 𝑖𝑗 =(1 s’il y a un lien entre i et j, 0 sinon) Définition: Une matrice de transition est une matrice qui représente la probabilité de passé d’un état à un autre. 𝑎 𝑖𝑗 =(Probabilité de passer de j à i)

11 Faites les exercices suivants
p.204 # 1 et 4

12 Définition: La diagonale principale d’une matrice carrée est l’ensemble des éléments de la forme

13 Définition: Une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure)
est une matrice carrée dont tous les éléments sous (ou au-dessus de) la diagonale principale sont nuls.

14 Définition: Une matrice identité est une matrice carrée dont
les éléments de la diagonale principale sont tous 1 et les autres sont tous nuls.

15 Définition: Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est symétrique par rapport à la diagonale principale, c’est-à-dire que

16 Définition: Une matrice anti symétrique est une matrice carrée qui est anti symétrique par rapport à la diagonale principale, c’est-à-dire que

17 Définition: Soit et , deux matrices de même format, qu’on note: La somme des deux matrices est l’opération interne définie comme suit:

18 Exemple:

19 Propriétés de la somme de matrices
Soit , et

20 Définition: Soit , une matrice et , un nombre réel. La multiplication par un scalaire est l’opération externe définie comme suit:

21 Exemple:

22 Propriétés de la multiplication par un scalaire

23 Définition: Un espace vectoriel sur les réels est la donnée
d’un ensemble dont les éléments sont nommés des vecteurs; d’une opération interne sur appelée la somme qui respecte les propriétés suivantes: d’une opération externe de sur appelée multiplication par un scalaire qui respecte les propriétés suivantes;

24 Définition: La transposée d’une matrice , notée , est la matrice Exemple:

25 Propriétés de la transposition

26 On peut reformuler la définition d’une matrice symétrique
et anti symétrique à l’aide des transposées. est symétrique est anti symétrique

27 Faites les exercices suivants
p.204 # 6

28 Définition: Remarque:
Soit et , deux matrices. On définit le produit de ces deux matrices comme étant la matrice: Remarque:

29

30 Exemple:

31 Est-ce que le produit matriciel est commutatif ?
Question : Est-ce que le produit matriciel est commutatif ?

32 L’exemple ici est assez clair!

33 Faites les exercices suivants
p.205, # 5 et 8

34 Propriétés de la multiplication de matrices

35 Exemple: On peut représenter un système d’équations linéaires par une équation matricielle.

36 Faites les exercices suivants
p.205, # 10, 11 et 15

37 Une matrice de distribution de format 2 x1: 𝑋= 𝑥 1−𝑥 où 0≤𝑥≤1
Définition: Une matrice de distribution est une matrice colonne dont tous les éléments sont compris entre 0 et 1 (inclusivement) et dont la somme est 1. Une matrice de distribution de format 2 x1: 𝑋= 𝑥 1−𝑥 où 0≤𝑥≤1 Définition: Un chaîne de Markov est une suite 𝑋 0 , 𝑋 1 ,… 𝑋 𝑛 , … de matrice de distribution pour lesquelles il existe une matrice de transition 𝐴 tel que : 𝑋 1 =𝐴 𝑋 0 , 𝑋 2 =𝐴 𝑋 1 … 𝑋 𝑛+1 =𝐴 𝑋 𝑛 On a donc que 𝑋 𝑛 = 𝐴 𝑛 𝑋 0 .

38 Exemple: Après une pub de bière blonde blonde rousse rousse blanche
0,2 0,1 0,7 blonde rousse blanche blonde rousse blanche 0,1 0,8 0,1 0,3 0,6

39 blonde rousse blanche 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 = 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 = 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 = 80,4 139,2 80,4

40 On a donc un système d’équations linéaires homogènes à résoudre.
𝑨 𝑿 𝟎 = 𝑿 𝟏 𝑨 𝑿 𝟏 = 𝑿 𝟐 𝑨 𝑿 𝟐 = 𝑿 𝟑 𝑨 𝑿 𝒏 = 𝑿 𝒏+𝟏 𝑨 𝑿 𝒏 = 𝑿 𝒏 Ici, est un état stable. 𝑿 𝒏 𝑨 𝑿 𝒏 =𝐈 𝑿 𝒏 𝑨 𝑿 𝒏 −𝐈 𝑿 𝒏 =𝟎 (𝑨−𝐈) 𝑿 𝒏 =𝟎 On a donc un système d’équations linéaires homogènes à résoudre.

41 L’équilibre de la bière:
0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 − 𝑥 𝑦 𝑧 = 0,7−1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8−1 0,1 0,3 0,6−1 𝑥 𝑦 𝑧 = −0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 −0,2 0,1 0,3 −0,4 𝑥 𝑦 𝑧 = L’équilibre de la bière:

42 Une chaîne de Markov à 2 états avec une matrice de transition
Théorème: Pour une matrice de transition 𝐴= 𝑎 𝑏 1−𝑎 1−𝑏 , 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎,𝑏≠0. On a que lim 𝑛→∞ 𝐴 𝑛 = 𝛼 𝛼 1−𝛼 1−𝛼 où 𝛼= 𝑏 1−(𝑎−𝑏) . Corollaire : Une chaîne de Markov à 2 états avec une matrice de transition 𝐴= 𝑎 𝑏 1−𝑎 1−𝑏 , avec 𝑎, 𝑏 ≠0, aura comme distribution stationnaire : 𝑋 𝑆 = 𝛼 1−𝛼 .

43 Faites les exercices suivants
p.205, # 17 et 18

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45 Dans cette section, nous avons vu
La définition d’une matrice. Les définitions de matrices particulières. La somme de matrices. La multiplication d’une matrice par un scalaire. La multiplication de matrices.

46 Devoir: p.204, # 1 à 18