L’équilibre du consommateur

L’équilibre du consommateur
Chapitre I : L’équilibre du consommateur

I – Les hypothèses de comportement :
On n’étudiera pas ici le comportement d'un consommateur "réel" observé dans son milieu. On définira les règles de comportement d'un « homo oeconomicus » . Objectif unique : maximisation de l'utilité. => hypothèses extrêmement lourdes.

A – L’indépendance des choix :
Consommateur influencé par aucun autre agent : Ni les autres consommateurs : pas d'effet de mode ni de démonstration. Ni les producteurs : dans la relation offre-demande le consommateur est "souverain"

B - La rationalité : Consommateur supposé parfaitement rationnel dans tous ses choix  maximisation de sa fonction d'utilité sous contrainte de budget

B - La rationalité problème posé successivement de deux manières par les premiers marginalistes : forme cardinale et ordinale.

1) L'utilité cardinale : Version la plus ancienne : consommateur capable de fixer une valeur absolue à l'utilité de tous les biens Exemple : pour un consommateur donné une table aura une utilité de 10 et une chaise une utilité de 5.

1) L'utilité cardinale : Ces deux nombres doivent être considérés comme des valeurs absolues  dans cet exemple, une table est exactement deux fois plus utile qu'une chaise ou l'utilité d'une table est équivalente à celle de deux chaises.

1) L'utilité cardinale : Fonction mathématique : met en relation l'utilité que procure à un consommateur n'importe quelle quantité offerte d'un bien X : UT = f(x) UT : utilité totale x : quantité du bien

1) L'utilité cardinale : En faisant varier les quantités de x d’une valeur Δx, on peut en déduire la variation correspondante de l’utilité totale : ΔUT. Le rapport des deux est appelé utilité marginale : Um = ΔUT/Δx

1) L'utilité cardinale : Exemple :
soit une série de quantités consommées d’un bien x : 0, 1, 2, 3, 4, 5 A chaque quantité peut être associée une valeur de l’utilité totale : UT : 0, 5, 8, 10, 12, 14

1) L'utilité cardinale : série des utilités marginales :
x : 0  1 UT : 0 5  Um = 5/1 = 5 x : 1  2 UT: 5 8  Um = 3/1 = 3 x : 2 3 UT : 810  Um = 2/1 = 2 Etc…

1) L'utilité cardinale : L’utilité marginale : supplément d’utilité procuré par la consommation supplémentaire d’une unité du bien On note ici l’illustration de la loi de l’utilité marginale décroissante.

1) L'utilité cardinale : JEVONS avait forgé un terme désignant une unité de mesure fictive pour l’utilité : les « utils ». Par la suite abandon de cette conception qui posait problème à deux niveaux :

1) L'utilité cardinale : capacité de calcul permettant d’affecter une valeur à l’utilité de chaque bien. fixer la valeur absolue de l’utilité d’un bien indépendamment de tous les autres : biens complémentaires, biens substituables. => autre conception de l’utilité.

2) L’utilité ordinale : L’ utilité n’est plus quantifiée en valeur absolue On utilise seulement l’ordre de classement des différents biens par ordre d’utilité. Le consommateur fournit seulement une échelle de préférence Fin du cours du AIX

2) L’utilité ordinale : Application du calcul ordinal. Exemple :
On cherche à classer les individus d’une classe par rang de taille  2 méthodes :

2) L’utilité ordinale : Méthode « cardinale » :
On dispose d’un instrument de mesure (un mètre), que l’on utilise pour mesurer les tailles des individus en valeur absolue. Puis on constitue le classement

2) L’utilité ordinale : Méthode « ordinale » :
On compare 2 à 2 tous les individus et on les classe ainsi du plus grand au plus petit Chaque individu se voit affecter un n° d’ordre  résultat identique en terme de classement

2) L’utilité ordinale : Mais les nombres affectés à chaque individu n’ont pas la même signification : On peut dire qu’un individu de 2 m est 2 fois plus grand qu’un individu d’1 m : raisonnement « cardinal » (en val. absolue) Mais l’individu de rang 5 n’est pas 2 fois plus grand que celui de rang 10 : raisonnement « ordinal » (par rangs de classement)

2) L’utilité ordinale : De la même façon si un individu affecte au bien x un niveau d’utilité 5, cela ne signifie pas qu’il est 2 fois moins utile que y qui a un rang d’utilité 10 Cela signifie uniquement que x est moins utile que y

2) L’utilité ordinale : Il est ainsi possible de construire des fonctions mathématiques intégrant comme variables des niveaux d’utilité : fonctions d’utilités ordinales : U = f (x,y,z,…,n) où x,y,z,…,n sont des quantités de biens et U un niveau d’utilité

3) La contrainte de budget
Le processus de maximisation de l’utilité par le consommateur ne peut être poursuivi sans contraintes Il est limité par : Le revenu disponible : R, donné sous forme monétaire Les prix unitaires des différents biens

3) La contrainte de budget
La dépense totale est obtenue en additionnant les quantités des biens consommés multipliées par leurs prix. Exemple : dépense en bien x : x . px avec x : quantité de x ; px : prix unitaire de x Cette dépense totale ne peut excéder le revenu DT ≤ R

C – La rareté relative Compte tenu des contraintes de prix et de revenu on postule que les besoins ne sont jamais globalement saturés Conséquence : le consommateur préfèrera toujours une combinaison de biens qui contient des quantités supérieures Fin du cours du AIX

C – La rareté relative Exemple : Soient 2 paniers de biens A et B :
A = 2x, 3y, 4z B = 4x, 6y, 8z On a toujours : B A Se lit : « B est préféré à A »

D - L’axiome de totalité
Quels que soient les paniers A et B, le consommateur doit toujours pouvoir les comparer entre eux, donc :  A, B on a : A B ou B A ou A ~ B

E – L’axiome de transitivité
 A, B, C : Si A B A C Et si B C

Correspond à la cohérence des choix : Un individu est toujours capable de classer les biens (les besoins), par ordre de préférence. Ses décisions d’achat sont toujours conformes à ce classement

Un même bien ne peut figurer à 2 endroits différents d’un même classement

F – La réflexivité La relation A A existe
(A est préféré ou équivalent à A)

G – La divisibilité et l’homogénéité
Les biens sont supposés parfaitement divisibles et homogènes. Conséquences : Un bien peut être décomposé en unités aussi petites que l’on veut Deux unités différentes d’un même bien sont strictement identiques

Ces conditions rendent possible la construction d’une relation fonctionnelle entre l’utilité et les quantités consommées des biens:  x,y  U = f (x,y)

Cette fonction peut être dérivée par rapport à x et y : U’x = f’x (x, y) = δU/δx U’y =f’y (x, y) = δU/δy [ δ correspond à delta minuscule. Se lit « d rond ». Signifie : une variation qui tend vers zéro ]

U’x et U’y sont les utilités marginales respectives de x et de y On retrouve ici les résultats du B –

Sauf que dans le rapport ΔU/Δx, le symbole Δ (delta majuscule) représentait une variation d’amplitude quelconque alors que dans δU/δx le symbole δ (delta minuscule) représente une variation qui tend vers 0 (différentielle)

Le rapport ΔU/Δx (rapport de 2 variations quelconques), est une approximation du rapport δU/δx (rapport de 2 différentielles). Ce rapport δU/δx se calcule en dérivant la fonction U par rapport à x, ce qui donne la valeur exacte de l’utilité marginale.

Deux manières de calculer les utilités marginales, donc : Une manière approchée, en utilisant les Δ (mesurées dans un tableau de variations par exemple). Une manière exacte en utilisant les δ (en calculant les dérivées).

H – La substituabilité partielle
Les biens sont tous substituables entre eux, sans que cette substituabilité soit parfaite. Conséquence : on peut maintenir constante l’utilité d’un consommateur en consommant plus d’un bien et moins d’un autre.

II – Représentation graphique
On peut représenter graphiquement les fonctions d’utilité au moyen de courbes appelées courbes d’indifférence

A – Construction des courbes
Les fonctions représentées sont du type : U = f(x, y) Trois variables au total : Une variable déterminée : U (l’utilité) Deux variables déterminantes x et y (les quantités de 2 biens)  Diagramme en 3 dimensions

Courbe en 3 dimensions en forme de cloche La courbe globale représente la fonction d’utilité U = f(x, y) On a fait figurer 3 coupes horizontales opérées dans la courbe globale

U = f(x, y) U U3 U2 y U1 C3 C1 C2 x

Les 3 courbes C1, C2 et C3 ont été obtenues en projetant sur le plan horizontal (x, y) trois coupes opérées dans la courbe globale d’utilité, aux niveaux U1, U2 et U3 respectivement.

On peut ensuite redresser le plan (x, y) pour le rendre vertical. Les 3 courbes (courbes de niveau) C1, C2 et C3 apparaissent ainsi tracées dans un système d’axes à 2 dimensions.

y A yA C3 B yB C2 C1 xA xB x

Les 3 courbes C1, C2 et C3 sont appelées courbes d’indifférence : le consommateur est indifférent à choisir n’importe quelle combinaison (x, y) sur chacune d’entre elles, puisqu’elles lui procurent le même niveau d’utilité.

Exemple : sur le graphique les 2 combinaisons A(xA, yA) et B(xB, yB) fournissent au consommateur le même niveau d’utilité U1. C’est le cas pour tous les autres points de la courbe C1.

Définition : Une courbe d’indifférence est le lieu géométrique de l’ensemble des combinaisons x, y qui procurent au consommateur le même niveau d’utilité. L’ensemble des courbes d’indifférences d’un consommateur est appelé carte d’indifférence.

y Carte d’indifférence Cn C3 C2 C1 x

B – Propriétés des courbes d’indifférence
1) Plus une courbe d’indifférence est éloignée de l’origine, plus l’utilité atteinte est élevée

B – Propriétés 2) Les courbes d’indifférence sont toujours décroissantes : Démonstration par l’absurde : on part du cas inverse : courbe croissante

y I B yB A yA xA xB x

B – Propriétés A et B appartiennent à la même courbe I donc : AB
Or B contient à la fois plus de x et plus de y que A  B est strictement préféré à A  conséquence de l’axiome de non saturation

B – Propriétés On ne peut avoir en même temps les deux situations : impossible. Conclusion : les courbes d’indifférences ne peuvent être croissantes

B – Propriétés Conséquences de la décroissance des courbes :
x et y varient toujours en sens contraire lorsqu’on se déplace sur une courbe d’indifférence c. à d. lorsque l’utilité reste constante alors qu’on fait varier x et y

y A Δy B x Δx

B – Propriétés Si x et y varient en sens contraires  Δx et Δy sont de signes opposés. On a donc : Δy/Δx < 0

B – Propriétés On peut poser ce rapport sous forme de différentielles : dy/dx < 0 [différentielle : variation qui tend vers zéro]

B – Propriétés dy/dx : taux auquel le consommateur peut substituer le bien x au bien y, ou le bien y au bien x, de manière à conserver son utilité constante.

B – Propriétés Ce rapport est toujours négatif (x et y varient en sens inverse), on peut prendre sa valeur absolue pour éliminer le signe.

B – Propriétés On obtient ainsi le Taux Marginal de Substitution, ou TMS : TMS = |dy / dx| = - dy / dx

B – Propriétés On peut remplacer les différentielles : d par des variations quelconques : Δ On obtiendra ainsi une valeur approchée du TMS : TMS ≈ | Δy/Δx| = - Δy/Δx

B – Propriétés 3) Deux courbes d’indifférence ne peuvent jamais se couper : supposons 2 courbes I et II qui se coupent au point B

y I II yC C yA A B xA xC x

B – Propriétés Les combinaisons A et B appartiennent à la même courbe d’indifférence : I elles sont donc équivalentes : A  B B et C appartiennent à la même courbe : II elles sont donc équivalentes : B  C

B – Propriétés Si A  B et B  C  A  C (transitivité)
Or on voit sur le graphique que la combinaison C contient à la fois plus de x et plus de y que la combinaison A. Dans ces conditions C doit être strictement préféré à A (axiome de non saturation)

B – Propriétés On ne peut avoir en même temps C équivalent à A et C strictement préféré à A  situation impossible, I et II ne peuvent se couper.

B – Propriétés 4) Une courbe d’indifférence ne peut couper les axes :
correspond à un axiome de préférence pour la diversité : si le consommateur a 2 biens à sa disposition il ne choisira pas de n’en consommer qu’un seul. Or l’intersection avec un axe correspond à x ou y = 0

B – Propriétés 5) Les courbes d’indifférences sont convexes par rapport aux axes : Condition mathématique : la dérivée seconde de la fonction y = f(x) doit être positive. Ou encore, la dérivée première est une fonction croissante de x

B – Propriétés Or la dérivée première de y = f(x) n’est autre que dy/dx, soit l’opposée du TMS : Dérivée = - TMS Si dy/dx est une fonction croissante de x, le TMS : - dy/dx est une fonction décroissante de x

B – Propriétés Soit un accroissement infinitésimal dx le long d’une courbe d’indifférence. Pour rester sur la courbe il faut que cet accroissement soit compensé par une diminution de y L’effet total sur l’utilité doit être nul

B – Propriétés On l’obtient par la différentielle totale de la fonction d’utilité : dU = U’x.dx + U’y.dy

B – Propriétés Même courbe d’indifférence  pas de variation de U, d’où : U’x.dx + U’y.dy = 0  U’x.dx = - U’y.dy  U’x / U’y = - dy /dx  U’x / U’y = TMS

B – Propriétés donc : TMS = U’x / U’y
Le TMS est égal au rapport des utilités marginales

B – Propriétés Quand x ↑  U’x ↓ en même temps : y ↓ et U’y ↑
d’où U’x / U’y ↓ comme U’x / U’y = TMS Quand x ↑ le TMS ↓ : le TMS est une fonction décroissante de x

B – Propriétés La forme particulière de la courbe correspond à une propriété particulière des préférences du consommateur : préférences convexes

y A B I x

Convexité : Soient 2 combinaisons A et B appartenant à la même courbe d’indifférence (même niveau d’utilité), toute combinaison linéaire de A et B (ici tout point du segment AB), correspond à une combinaison préférée à A et B

Convexité : Condition vérifiée ici : tout point du segment AB est situé sur une courbe plus éloignée de l’origine que la courbe I  utilité supérieure

Convexité : Cette condition sera en particulier utilisée dans les problèmes de maximisation de l’utilité : dispense de vérifier les conditions de second ordre

III – La contrainte budgétaire
A – La contrainte de budget : - Soient x et y les quantités consommées de 2 biens - Soient px et py leurs prix respectifs - Soit R le revenu du consommateur

A – La contrainte de budget
Le consommateur ne peut dépenser plus que son revenu, la contrainte s’écrit donc : R ≥ DT (DT : dépense totale) Pour 2 biens la dépense totale est la somme de la dépense en x et en y : DT = px.x + py.y (prix unitaires par quantités)

La contrainte s’écrit donc : R ≥ px.x + py.y ou plus généralement : R ≥  pxi . xi pour i varie de1 à n pxi : vecteur des prix (commun) xi : vecteur des quantités (individuel)

Le problème de maximisation sous contrainte peut être posé sous cette forme Mais on le simplifiera en posant une hypothèse supplémentaire

Le consommateur dépense tout son revenu à l’achat de 2 biens x et y Autrement dit la dépense totale en x et y est égale au revenu : R = px.x + py.y

Cette hypothèse est fondée sur le fait que la monnaie ne possède aucune utilité en elle-même  le consommateur rationnel n’a aucun intérêt à en conserver inactive  il dépensera tout son revenu

B – Représentation graphique
Partant de : R = px.x + py.y La contrainte de budget peut se mettre sous la forme : y.py = R – x.px y.py = - x.px + R y = (- x.px +R) / py y = - px/py . x + R/py  relation linéaire (du type y = - a.x + b) droite de pente – px/py et d’ordonnée à l’origine : R/py R

y R/py pente : -px/py x R/px

La droite de budget est toujours décroissante : pente – px/py toujours négative, car : px > 0 py > 0 (des prix négatifs n’ont pas de signification)

Signification de la pente : sa valeur absolue correspond au rapport des prix  elle exprime les prix relatifs : plus x est cher par rapport à y, plus la pente sera forte en valeur absolue

Intersections avec les axes : Axe des abscisses : y = 0 R = px.x + 0  x = R/px Axe des ordonnées : x = 0 R = 0 + py.y  y = R/py

Méthode de construction la plus simple : Reporter R/px sur l’axe des abscisses Reporter R/py sur l’axe des ordonnées Joindre les 2 points

Signification des aires délimitées par la droite : trois zones A, B et C

y C B A x

Zone C : inaccessible : les combinaisons x,y qui appartiennent à cette zone (au dessus de la droite de budget) sont trop coûteuses pour le revenu R. Zone A : accessible mais ne permet pas de dépenser tout le revenu : le point d’équilibre (maximum d’utilité) ne peut pas être dans cette zone.

Zone B : constituée par la droite de budget elle-même : elle est accessible et permet de dépenser tout le revenu : s’il existe un point d’équilibre il est forcément dans cette zone.

C – Variation des paramètres
Variation des prix : Soit une situation initiale avec un revenu R et des prix px0 et py0

y A = R/Py0 B0 = R/px0 x

1) Variation des prix : Premier cas : le prix px baisse : il passe de px0 à px1 avec px1 < px0  le rapport R/px augmente  le point B se déplace vers la droite

y A px1<px0 B1=R/px1 B0=R/px0 x

y A px1<px0 B1 B0 x

1) Variation des prix : Les combinaisons qui appartiennent à la zone grisée deviennent accessibles : il y a augmentation du pouvoir d’achat, ou revenu réel du consommateur.

1) Variation des prix : Deuxième cas : le prix px augmente : il passe de px0 à px2 avec px2 > px0  le rapport R/px diminue  le point B se déplace vers la gauche

y A px2>px0 B1 B2=R/px2 B0=R/px0 x

y A px2>px0 B2 B0 x

1) Variation des prix : Cette fois la zone grisée devient inaccessible : il y a perte de pouvoir d’achat (diminution du revenu réel)

Variation des prix : La variation du prix px provoque un pivotement de la droite de budget autour du point A A reste fixe car R et py sont constants (ordonnée de A : R/py)

2) Variation du revenu nominal
Si R augmente R/px et R/py augmentent simultanément : la droite de budget se déplace vers la droite et vers le haut. La pente de la droite ne change pas (le rapport des prix reste identique)  la droite se déplace parallèlement à elle-même.

y R1/py R0/py R1/px R0/px x

2) Variation du revenu La surface située entre les deux droites correspond ici à une hausse du pouvoir d’achat.

2) Variation du revenu Si R diminue, R/px et R/py diminuent, la droite de budget se déplace vers la gauche et vers le bas, parallèlement à elle-même. Il y a une baisse du pouvoir d’achat.

y R0/py R2/py R2/px R0/px x

IV – Détermination géométrique de l’équilibre
A - Définition : le consommateur est en situation d’équilibre lorsqu’il maximise son utilité tout en respectant sa contrainte de budget.

A - Définition Conditions :
La combinaison x,y choisie doit être située sur la courbe d’indifférence la plus élevée possible (la plus éloignée de l’origine) Cette combinaison devra se situer sur la droite de budget (le consommateur dépense tout son revenu mais pas plus)

B – Détermination de l’équilibre
Soit un consommateur doté d’une carte d’indifférence composée de 3 courbes I, II et III. Son revenu est fixé et égal à R, les prix des 2 biens sont fixés également et égaux à px et py.

y R/py A E I II B III R/px x

La courbe I est située entièrement au dessus de la droite de budget : tous ses points sont inaccessibles. La courbe III a une partie située sous et sur la droite de budget, elle est donc accessible. La zone de la courbe III située sous la droite ne permet pas de dépenser tout le revenu : le point d’équilibre ne peut s’y trouver.

Les points A et B permettent d’épuiser le revenu mais ils ne sont pas situés sur la courbe la plus élevée possible. Le point E, en effet est situé sur la courbe II, plus élevée que III, et il permet d’épuiser le revenu : c’est ici le point d’équilibre.

On voit facilement que E étant le point de tangence entre la droite et la courbe d’indifférence II, toute courbe située plus haut que II serait inaccessible. Ce point ne peut appartenir qu’à une seule courbe d’indifférence puisque celles-ci ne se coupent pas.

Conclusion : l’équilibre du consommateur correspond géométriquement au point de tangence (quand il existe) entre sa droite de budget et l’une de ses courbes d’indifférence.

Au point d’équilibre E, la tangente à la courbe d’indifférence se confond avec la droite de budget. Or la pente de la droite de budget est égale à –px/py

On sait par ailleurs qu’en tout point de la courbe représentative d’une fonction y = f(x) la pente de la tangente est égale à dy/dx. Autrement dit cette pente est égale à l’opposée du TMS. Donc au point d’équilibre dy/dx = - TMS = - px/py

TMS = px/py A l’équilibre le TMS est égal au rapport des prix.  A l’équilibre : Umx/Umy = px/py

C – Variation de l’équilibre
La situation d’équilibre peut varier si on modifie le revenu ou les prix.

Cas n°1 : on fait varier le revenu : R prend les valeurs R1, R2, R3 On détermine qu’à l’équilibre x va prendre respectivement les valeurs x1, x2, x 3 et y prend les valeurs y1, y2, y3 La courbe qui joint ces différents points d’équilibre s’appelle courbe de consommation-revenu.

y R3/py R2/py Courbe de consommation-revenu R1/py x1 x2 x3 x

A partir de ces résultats on peut construire un autre graphique qui, cette fois, met en relation les différentes valeurs de R avec les valeurs correspondantes de x à l’équilibre. On obtient ainsi la courbe d’Engel du bien x.

R Courbe d’Engel de x R3 R2 R1 x1 x2 x3 x

Du nom de l’économiste allemand qui en 1857 a énoncé les lois d’Engel :

Lorsque dans une population le revenu moyen augmente : - la part des dépenses de consommation consacrée à l’alimentation diminue - celle consacrée au logement et à l’habillement reste stable - celle consacrée à l’éducation, à la santé et aux déplacements augmente

La courbe d’Engel est normalement croissante : lorsque le revenu augmente la consommation de biens augmente. Exception : les biens inférieurs : Dans ce cas la consommation baisse quand le revenu augmente.

Il s’agit de biens de première nécessité qui font partie du panier de consommation des consommateurs les moins riches. Leur consommation s’impose à ces derniers, mais ils sont abandonnés lorsque le revenu s’élève.

Exemple : les pommes de terre, qui constituent la base de l’alimentation des plus pauvres dans certains pays. Lorsque leurs revenus augmentent ces consommateurs abandonnent les pommes de terre et adoptent une alimentation plus diversifiée.

On dira que pour les biens inférieurs l’effet revenu est négatif

C– Variation de l’équilibre
Cas n° 2 : on fait varier un prix : Le prix px diminue, il passe de px1 à px2 puis px3.  le point d’équilibre se déplace alors vers la droite. La quantité de x consommée à l’équilibre prend les valeurs x1, x2 et x3.

y Courbe de prix-consommation R/px1 R/px2 R/px3 x1 x2 x3 x

On peut tracer une courbe dans le système d’axes x,y qui joint les différents points d’équilibre quand on fait varier le prix px Cette courbe est appelée courbe de prix-consommation.

Cette fois encore on peut utiliser les résultats obtenus pour tracer un autre graphique qui met en relation le prix d’un bien avec les quantités consommées à l’équilibre. On obtient ainsi la courbe de demande du bien.

px px1 px2 px3 Courbe de demande de x x1 x2 x3 x

Cette courbe est normalement décroissante : lorsque le prix d’un bien augmente la quantité consommée diminue. Seule exception : biens Giffen

D – Effet de revenu et de substitution
Lorsque le prix d’un bien varie, 2 conséquences sur sa consommation : Le consommateur achète plus du bien dont le prix relatif a baissé et moins de l’autre : effet de substitution Lorsque le prix baisse, le consommateur gagne du pouvoir d’achat, lorsque le prix augmente il en perd : effet de revenu

En cas de variation du prix d’un bien ces 2 effets se combinent et produisent un effet total. Ex. : soit une situation d’équilibre initiale (point A). On fait diminuer px  la droite de budget pivote vers le haut et la droite  2ème point d’équilibre : B

y A y1 B y2 II I x1 x2 x

En passant de A à B le consommateur achète moins de y et plus de x, dont le prix relatif a baissé (effet de substitution). Par ailleurs la baisse de px permet une augmentation du revenu réel, ce qui explique l’augmentation du niveau d’utilité : le consommateur passe de la courbe I à la II, plus élevée (effet de revenu)

On peut décomposer l’effet total en 2 effets : revenu et substitution. Pour cela on isole l’effet de substitution. Le principe consiste à pratiquer une baisse de px et à examiner la situation obtenue quand on élimine l’effet de revenu.

Par la méthode géométrique on pose que l’effet revenu est éliminé quand il n’y a pas de variation d’utilité : la baisse du prix px conduit à substituer du bien x au bien y, mais le consommateur reste sur la courbe d’indifférence I

y A y1 B y2 A’ y’1 II I R/px R/px1 x1 x’1 x2 x

Le déplacement de A vers A’ correspond bien à une substitution de x à y Il se fait sur la même courbe d’indifférence I : pas d’effet de revenu Le point A’ est le point de tangence entre la courbe I et une droite de budget qui est parallèle à celle de la situation finale (après variation de px)

Le passage de A à A’ isole bien l’effet de substitution On le quantifie par : Δx = x’1 – x et Δy = y’1 – y1

L’effet de revenu correspond lui au passage de A’ à B : Δx = x2 – x’1 Δy = y2 – y’1

Ici, pour x l’effet de revenu et de substitution sont tous les deux positifs. Pour y l’effet de substitution est négatif (le consommateur achète moins de y), l’effet de revenu est positif (bien normal), mais ne compense qu’en partie la perte.

Compléments mathématiques
Dérivée d’une fonction à une seule variable : Soit une fonction U = U(x) Ici l’utilité du consommateur dépend de la quantité consommée d’un seul produit x La dérivée première de cette fonction s’écrit : dU/dx où d signifie différentielle (variation qui tend vers 0)

Dérivées d’une fonction à plusieurs variables : Soit une fonction U = U(x,y) L’utilité dépend de la consommation de 2 biens x et y.

Deux dérivées partielles : δU/δx et δU/δy où δ signifie également différentielle, mais cette fois, d’une fonction à plusieurs variables.

Les symboles d et δ ont exactement la même signification : variation qui tend vers 0 Mais l’un est utilisé dans les fonctions à une seule variable (d), l’autre dans les fonctions à plusieurs variables (δ)

Dérivation des fonctions à plusieurs variables : les mêmes méthodes s’appliquent que dans la dérivation simple à chaque fois que l’on dérive par rapport à l’une des variables, on considère les autres comme des constantes.

Exemple : soit une fonction U = 2x + 5y + 4 1ère dérivée partielle : δU/δx = 2 (on dérive par rapport à x en considérant y comme une constante) 2ème dérivée partielle : δU/δy = 5 (on dérive par rapport à y en considérant x comme une constante)

Rappels sur les puissances
Dans une puissance fractionnaire, le dénominateur de la fraction signifie racine. Ex : x1/2 = x Lorsqu’une puissance est négative, on peut la rendre positive en inversant l’expression : Ex: 1 / x-2 = x2 x-3. y = y / x3

Rappels sur les puissances
Quand une variable est multipliée par elle-même on peut additionner ses puissances. Ex : x2 . x3 = x5 Quand une puissance est élevée à une autre puissance on peut les multiplier. Ex : (x2)3 = x6

Rappels sur les dérivées
y = ax + b  y’ = a y = u + v  y’ = u’ + v’ y = u . v  y’ = u’v + uv’ y = c . f(x)  y’ = c . f’(x) avec c constante y = xa  y’ = a . xa-1 y = 1/x  y’ = -1/x ou y = x-1 => y’ = - x-2 y = 1/u  y’ = - u’/u2 y = 1/ un  y = u-n  y’ = -n .u-n-1 . u’

Rappels sur les dérivées
Lorsque la dérivée première d’une fonction y = f(x) est positive la fonction est croissante : quand x augmente, y augmente aussi. Quand la dérivée est négative la fonction est décroissante. Quand la dérivée est nulle y passe par un extrémum (maximum ou minimum).

V – Détermination mathématique de l’équilibre
Le problème est généralement posé à partir de 2 types de données : La forme mathématique de la fonction d’utilité : U = U(x,y) Les paramètres R, px et py (constantes) qui permettent de poser la contrainte de budget.

Le problème prend la forme suivante : Max U = U(x,y) Sous la contrainte : R = x.px + y.py Deux méthodes :

Méthode de Lagrange : 1ère étape : écrire la contrainte sous forme implicite : R – x.px –y.py = 0

2ème étape : construire la fonction de Lagrange : L = U(x,y) + λ(R – x.px – y.py) λ : multiplicateur de Lagrange [fonction à maximiser] + λ . [contrainte]

3ème étape : calculer les dérivées partielles de la fonction de Lagrange par rapport à x, y et λ. 4ème étape : poser les dérivées égales à 0 (maximisation de la fonction) et résoudre le système de 3 équations.

Fonction de Lagrange : L = U(x,y) + λ(R – x.px – y.py) Dérivées : (1) : δL/δx = U’x – λ.px = 0 (2) : δL/δy = U’y – λ.py = 0 (3) : δL/δλ = R – x.px – y.py = 0 Puis résoudre le système

2ème méthode : poser qu’à l’équilibre le TMS est égal au rapport des prix. Démonstration : Max U = U(x,y) Sous R – x.px –y.py= 0

Fonction à maximiser : U = U(x,y) Deux premières dérivées de la fonction de Lagrange : (1) : δL/δx = U’x – λ.px = 0 (2) : δL/δy = U’y – λ.py = 0

(1)  U’x = λ.px (2)  U’y = λ.py (1)/(2)  U’x/U’y = λ.px/λ.py Umx/Umy = px/py TMS = px/py

Si on demande de déterminer les quantités de x et de y consommées à l’équilibre, on peut répondre en disant qu’à l’équilibre ces quantités doivent respecter l’égalité : TMS = rapport des prix

Donc on pose : Umx/Umy = px/py avec Umx = δU/δx et Umy = δU/δy On calcule les 2 dérivées et on pose que leur rapport est égal à celui des prix. On obtient ainsi une relation entre x et y.

A partir de cette relation et de la contrainte de budget on peut déterminer les valeurs de x et y.

Application numérique : La fonction d’utilité d’un consommateur s’écrit : U = 2 x1/2.y1/4 Le revenu du consommateur est fixé à 24, les prix sont px = 2, py = 4 Calculer les quantités consommées par un consommateur rationnel.

Le problème à résoudre peut s’écrire : Max U = 2 . x1/2 . y1/4 Sous 24 = 2.x + 4.y

Application numérique :
Méthode de Lagrange : Contrainte : 24 = 2x + 4y soit (forme implicite) : 24 – 2x - 4y = 0 Fonction de Lagrange : L = 2.x1/2. y1/4 + λ(24 – 2x – 4y)

Application numérique
L = 2.x1/2. y1/4 + λ(24 – 2x – 4y) Dérivées : (1) δL/δx = 2.1/2.x-1/2.y1/4 - 2λ = 0 (2) δL/δy = 2.1/4.x1/2.y-3/4 - 4λ = 0 (3) δL/δλ = 24 – 2x – 4y = 0 Méthode la plus simple : faire sortir λ des équations (1) et (2) et égaler les expressions obtenues

(1)  x-1/2.y1/4 = 2λ  λ = x-1/2.y1/4/2 (2)  1/2.x1/2.y-3/4 = 4λ  λ = x1/2.y-3/4/8 (1) = (2)  x-1/2.y1/4/2 = x1/2.y-3/4/8 x-1/2.y1/4 = x1/2.y-3/4/4 4.y1/4/y-3/4 = x1/2/x-1/2 4.y1/4.y 3/4 = x1/2.x1/2 4y = x

Dérivée (3)  24 – 2(4y) – 4y = 0 - 12y = - 24 y = 24/12 = 2  x = 4. 2 = 8  x = 8   y = 2

Par le TMS : A l’équilibre U’x/U’y = px/py U’x = 2.1/2.x-1/2.y1/4 = x-1/2.y1/4 U’y = 2.1/4.x1/2.y-3/4 = 1/2. x1/2.y-3/4 U’x/U’y = 2.x-1/2.y1/4/ x1/2.y-3/4 = 2. y1/4.y3/4/x1/2.x1/2 = 2.y/x

2.y/x = 2/4 (à l’équilibre TMS = rapport des prix) 2.y = x/2 y = x/4 Contrainte budgétaire : 24 = 2x +4y  24 = 2x + 4(x/4)  3x = 24  x =  y = 2

VI – La fonction de demande
A - Définition et calcul : on appelle fonction de demande la fonction exprimant les quantités consommées d’un bien en fonction des prix. La demande d’un bien dépend toujours de son propre prix, mais elle peut aussi dépendre du prix d’autres biens (biens complémentaires et substituables).

On a vu dans le IV – B comment tracer la courbe représentative de cette fonction (courbe de demande). Pour déterminer la forme mathématique on doit utiliser l’hypothèse de rationalité du consommateur : recherche systématique du maximum d’utilité sous contrainte de budget.

Max U = U(x,y) Sous R = x.px + y.py  U’x/U’y = px/py Cette relation permet d’exprimer l’une de variables en fonction de l’autre et en fonction des prix, par exemple y en fonction de x, de px et de py : y = f(x,px,py)

Il suffit alors de remplacer y par l’expression obtenue, dans la contrainte, et on obtiendra une expression où ne figurent plus que x, px et py. On obtient ainsi la fonction de demande de x : x = g(px,py)

Concrètement, pour déterminer une fonction de demande, il faut opérer le calcul de maximisation sous contrainte par l’une des 2 méthodes (Lagrange ou TMS) en posant dans la contrainte de budget un ou les deux prix quelconques (px et py).

Pour déterminer la fonction de demande d’un bien par rapport à son propre prix, on laisse le prix de ce bien quelconque et on donne une valeur numérique à l’autre.

Exemple : fonction de demande de x par rapport à son propre prix, sachant que le revenu est 10 et que le prix de y est 5. On écrit la contrainte :10 = px.x + 5.y On détermine la relation entre x et y à l’équilibre (par la méthode de Lagrange ou celle du TMS), et on l’utilise dans la contrainte.

B – Relation prix-quantité : Dans le cas d’un bien normal la relation est inverse : les quantités consommées diminuent lorsque le prix augmente. On a : x = f(px) avec x’ = dx/dpx < 0

Cas inverse : la quantité consommée augmente avec le prix : paradoxe de GIFFEN. L’effet de snobisme est exclu : contradictoire avec l’hypothèse d’indépendance des choix.

Bien Giffen : Il doit s’agir d’un bien inférieur : sa quantité consommée baisse quand le revenu augmente. L’effet de revenu doit être supérieur à l’effet de substitution : une baisse du prix du bien provoque un effet revenu négatif qui dépasse l’effet de substitution positif.

Pour que cette condition soit remplie il faut que le bien représente une partie importante du revenu du consommateur. Cas des biens de première nécessité pour les consommateurs à très faibles revenus.

C – Relations entre les biens : Peuvent être appréhendées grâce aux fonctions de demande croisées. Exemple : x = f(py) : la quantité du bien x est exprimée en fonction du prix du bien y

Si la dérivée première est > 0 : la quantité de x augmente quand le prix de y augmente : biens substituables. Si la dérivée première est < 0 : la quantité de x diminue lorsque le prix de y augmente : biens complémentaires.

VII – Les élasticités A – Définition générale :
On appelle élasticité d’une variable y par rapport à une variable x, le rapport entre la variation relative de y et la variation relative de x qui lui a donné naissance.

A – Définition générale :
Soit une fonction y = f(x) Élasticité de y par rapport à x : dy/y Ey/x = dx/x

Si y est fonction de plusieurs variables, on écrit : δy/y Ey/x = δx/x

La variable déterminée est la quantité consommée d’un bien, la variable déterminante peut être : Le revenu Le prix du bien lui-même le prix d’un autre bien

VII – Les élasticités B – L’élasticité revenu :
Définition : on appelle élasticité revenu la variation relative de la quantité consommée d’un bien, rapportée à la variation relative du revenu du consommateur.

B – L’élasticité revenu :
Élasticité revenu du bien x : Pour x = f(R) : dx/x dx/dR Ex/R = = dx/x . R/dR = dR/R x/R

Le rapport dx/dR (numérateur) est la dérivée de la fonction x = f (R) (demande de x fonction du revenu) Donc pour calculer l’élasticité, il faut : déterminer cette fonction, calculer sa dérivée diviser cette dérivée par le rapport x/R, pour une valeur de R donnée.

Le signe et la valeur absolue de l’élasticité revenu indiquent la nature du bien x : Si Ex/R < 0 : lorsque le revenu augmente, la quantité consommée diminue, x est un bien inférieur.

Si : 0 < Ex/R ≤ 1 sa quantité consommée augmente avec le revenu, mais pas plus que proportionnellement : bien normal

Si : Ex/R > 1 sa quantité consommée augmente plus vite que le revenu : bien supérieur.

VII – Les élasticités C – Les élasticités prix :
Elles mesurent la variation relative de la quantité d’un bien rapportée à la variation relative de son propre prix ou du prix d’un autre bien.

C – Les élasticités prix :
Élasticité prix directe : C’est le rapport de la variation relative de la quantité d’un bien et de la variation relative de son propre prix. Soit une fonction de demande : x = f (px, py)

Élasticité prix directe
δx/x δx/δpx Ex/px = = δx/x . px/δpx = δpx/px x/px

Le rapport δx/δpx est la dérivée partielle de la fonction de demande par rapport à px Pour obtenir l’élasticité il faut le diviser par x/px, avec une valeur donnée de px.

Normalement l’élasticité-prix directe est négative (la quantité consommée d’un bien varie en sens inverse de son prix) . Exception : bien GIFFEN, prix et quantité varient dans le même sens, élasticité-prix directe positive.

C – Les élasticités prix :
Élasticité prix croisée : C’est le rapport de la variation relative de la quantité d’un bien et de la variation relative du prix d’un autre bien. Soit une fonction de demande : x = f (px, py)

Élasticité prix croisée
δx/x δx/δpy Ex/py = = δx/x . py/δpy = δpy/py x/py

Le rapport δx/δpy est la dérivée partielle de la fonction de demande par rapport à py Pour obtenir l’élasticité il faut le diviser par x/py, avec une valeur donnée de py.

Le signe de l’élasticité prix croisée indique quelle relation les biens x et y entretiennent l’un avec l’autre.

Si l’élasticité prix croisée est positive : Lorsque le prix du bien y augmente, la quantité consommée du bien x augmente aussi : le prix de y a augmenté, on le remplace par le bien x  biens substituables

Élasticité croisée négative : Lorsque le prix du bien y augmente, la quantité consommée de x diminue : la hausse de py provoque une baisse de sa consommation, comme la consommation de x est associée à celle de y, la consommation de x baisse aussi  biens complémentaires

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