Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = √6 / 2

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1 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = √6 / 2
1ère méthode : changement de variables. on va déterminer x par son cos et son sin

2 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = √6 / 2
1ère méthode : changement de variables. on va déterminer x par son cos et son sin X = cos x et Y = sin x

3 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = √6 / 2
1ère méthode : changement de variables. on va déterminer x par son cos et son sin X = cos x et Y = sin x 1 équation X + Y = √6 / 2 et 2 inconnues X et Y : on a compliqué le problème ! 2ème équation :

4 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = √6 / 2
1ère méthode : changement de variables. on va déterminer x par son cos et son sin X = cos x et Y = sin x 1 équation et 2 inconnues : on a compliqué le problème ! 2ème équation : cos² x + sin² x = 1 donc X² + Y² = 1

5 On doit donc résoudre le système :
X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1

6 On doit donc résoudre le système :
X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 Par combinaison : bien compliqué puisqu’il faudrait multiplier la 1ère ligne par X ou Y !

7 On doit donc résoudre le système :
X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 Par combinaison : bien compliqué puisqu’il faudrait multiplier la 1ère ligne par X ou Y ! Par substitution : forcément en commençant par la 1ère ligne car la 2ème X² = 1 - Y² entrainerait 2 cas X = + √(1 - Y²) et X = - √(1 - Y²) et la condition 1 – Y² ≥ 0 qui est toujours vraie car Y = sin x ≤ 1 donc 1 – sin²x ≥ 0

8 X + Y = √6 / X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2

9 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2 2ème ligne : ( - Y + √6 / 2 )² + Y² = 1
X + Y = √6 / X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2 2ème ligne : ( - Y + √6 / 2 )² + Y² = 1

10 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : (- Y + √6 / 2)² + Y² = 1 ( Y² - √6 Y + 6/4 ) + Y² = 1

11 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : (- Y + √6 / 2)² + Y² = 1 ( Y² - √6 Y + 6/4 ) + Y² = 1 2 Y² - √6 Y + 3/2 – 1 = 0

12 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : (- Y + √6 / 2)² + Y² = 1 ( Y² - √6 Y + 6/4 ) + Y² = 1 2 Y² - √6 Y + 3/2 – 1 = 0 2 Y² - √6 Y + 1/2 = 0

13 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : (- Y + √6 / 2)² + Y² = 1 ( Y² - √6 Y + 6/4 ) + Y² = 1 2 Y² - √6 Y + 3/2 – 1 = 0 2 Y² - √6 Y + 1/2 = 0 Δ = (- √6)² - 4(2) (1/2) = 6 – 4 = 2

14 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : (- Y + √6 / 2)² + Y² = 1 ( Y² - √6 Y + 6/4 ) + Y² = 1 2 Y² - √6 Y + 3/2 – 1 = 0 2 Y² - √6 Y + 1/2 = 0 Δ = (- √6)² - 4(2) (1/2) = 6 – 4 = 2 racines Y1 = ( √6 + √2 ) / 4 = ( √3 + 1 ) / (2√2)

15 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : 2 Y² - √6 Y + 1/2 = 0 Δ = (- √6)² - 4(2) (1/2) = 6 – 4 = 2 racines Y1 = ( √6 + √2 ) / 4 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

16 X + Y = √6 / 2 X² + Y² = 1 1ère ligne : X = - Y + √6 / 2
2ème ligne : 2 Y² - √6 Y + 1/2 = 0 Δ = (- √6)² - 4(2) (1/2) = 6 – 4 = 2 racines Y1 = ( √6 + √2 ) / 4 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2) donc X1 = - Y1 + √6 / 2 et X2 = - Y2 + √6 / 2

17 X + Y = √6 / X² + Y² = 1 racines Y1 = ( √6 + √2 ) / 4 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2) donc X1 = - Y1 + √6 / 2 = -[( √3 + 1 )/(2√2)] + √6/2 = ( - √3 - 1 )/(2√2) + 2√3/(2√2) = ( √3 - 1 )/(2√2) et X2 = - Y2 + √6 / 2 = -[( √3 - 1 )/(2√2)] + √6/2 = [( - √3 + 1 )/(2√2)] + 2√3/(2√2) = ( √3 + 1 )/(2√2)

18 On cherche les x tels que :
cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

19 On va les déterminer avec …
cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

20 On va les déterminer avec les angles remarquables, mais …
cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

21 On va les déterminer avec les angles remarquables, mais aucun cos ou sin ne s’y trouve. Donc on utilise … cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

22 On va les déterminer avec les angles remarquables, mais aucun cos ou sin ne s’y trouve. Donc on utilise la calculatrice, mais … cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

23 On va les déterminer avec les angles remarquables, mais aucun cos ou sin ne s’y trouve. Donc on utilise la calculatrice, mais on ne pourra prouver l’exactitude de ses résultats cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2) et cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)

24 cos x1 = X1 = ( √3 - 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( √3 + 1 ) / (2√2)
Après avoir mis sa calculette en radian ( Shif Set Up → Angle → Rad déjà fait depuis la 2nd ! ) cos-1 X1 donne x1≈ 5π/12 sin-1 Y1 donne x1≈ 5π/12 donc x1≈ 5π/12 + k2π

25 cos x2 = X2 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( √3 - 1 ) / (2√2)
cos-1 X2 donne x2≈ π/12 sin-1 Y2 donne x2≈ π/12 donc x2≈ π/12 + k2π

26 tous les x de S ≈ { π/12 + k2π ; 5π/12 + k2π }
Solutions : tous les x de S ≈ { π/12 + k2π ; 5π/12 + k2π }

27 Solutions : S ≈ { π/12 + k2π ; 5π/12 + k2π } tous les x de
car on n’a pas pu prouver l’exactitude des résultats donnés par la calculette.