V Fonctions racine carrée et valeur absolue

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1 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x²

2 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² La fonction « réciproque » est la fonction …

3 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais …

4 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais …

5 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 !

6 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions :

7 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0

8 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour …

9 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = …

10 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = x

11 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = x si x positif, et √ ( x² ) = - x si x négatif. Exemple : √ ( 3² ) = √ 9 = 3 et √ ( (- 3)² ) = √ 9 = 3 = - (- 3) On peut écrire √ ( x² ) = …

12 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = x si x positif, et √ ( x² ) = - x si x négatif. Exemple : √ ( 3² ) = √ 9 = 3 et √ ( (- 3)² ) = √ 9 = 3 = - (- 3) On peut écrire √ ( x² ) = |x| pour tous les réels « valeur absolue de x »

13 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = x si x positif, et √ ( x² ) = - x si x négatif. Exemple : √ ( 3² ) = √ 9 = 3 et √ ( (- 3)² ) = √ 9 = 3 = - (- 3) On peut écrire √ ( x² ) = |x| pour tous les réels « valeur absolue de x » ( √x )² existe …

14 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = x si x positif, et √ ( x² ) = - x si x négatif. Exemple : √ ( 3² ) = √ 9 = 3 et √ ( (- 3)² ) = √ 9 = 3 = - (- 3) On peut écrire √ ( x² ) = |x| pour tous les réels « valeur absolue de x » ( √x )² existe que pour les positifs, et ( √x )² = …

15 V Fonctions racine carrée et valeur absolue
fonction carré pour tous les x réels. x x² x² ≥ 0 La fonction « réciproque » est la fonction racine carrée, mais elle n’est définie que sur les positifs ! Et 5² = 25 et (- 5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement, et pas – 5 ! B = √A implique 2 conditions : A ≥ 0 et B ≥ 0 √ ( x² ) existe pour tous les réels, et √ ( x² ) = x si x positif, et √ ( x² ) = - x si x négatif. Exemple : √ ( 3² ) = √ 9 = 3 et √ ( (- 3)² ) = √ 9 = 3 = - (- 3) On peut écrire √ ( x² ) = |x| pour tous les réels « valeur absolue de x » ( √x )² existe que pour les positifs, et ( √x )² = x que pour les positifs.

16 1°) Définition : La fonction racine carrée est définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f(x) = y, avec y le seul nombre positif noté √x = y tel que y² = x La fonction valeur absolue est définie sur ] - ∞ ; + ∞ [ par f(x) = x si x est positif, et f(x) = - x si x est négatif. x² √x |x|

17 Exercice 10 : 1°) |x| = 3 2°) |x + 2| = 6 3°) x + 2 = |- 8 |
Résolvez les équations suivantes : 1°) |x| = 3 2°) |x + 2| = 6 3°) x + 2 = |- 8 | 4°) |2x + 1| = |x| 5°) |2x + 6| - |x|= 5 6°) |2x + 1| + |3x - 1| = 15

18 Exercice 10 : 1°) |x| = 3 x = 3 si x ≥ 0 ou - x = 3 si x ≤ 0 x = 3 ou x = - 3 2°) |x + 2| = 6 x + 2 = 6 si x+2 ≥ 0 ; ou – ( x + 2 ) = 6 si x+2 ≤ 0 x = 4 et on a bien 4+2 ≥ 0 ; ou x = - 8 et on a bien (-8)+2 ≤ 0 3°) x + 2 = |- 8 | x + 2 = 8 x = 6 4°) |2x + 1| = |x| 2x + 1 = x ou 2x + 1 = - x car |A|=|B| A=B ou A=-B x = - 1 ou 3x = - 1 x = - 1 ou x = - 1/3

19 5°) |2x + 6| - |x| = 5 x - ∞ ∞ 2x + 6 1er cas : x est dans ] - ∞ ; - 3 ] : l’énoncé devient (– ( 2x + 6 )) – (- x) = 5 - 2x – 6 + x = 5 - x = 11 x = - 11 qui est bien dans ] - ∞ ; - 3 ], donc solution. 2ème cas : x est dans [ - 3 ; 0 ] : l’énoncé devient ( 2x + 6 ) – (- x) = 5 2x x = 5 3x = - 1 x = - 1/3 qui est bien dans [ - 3 ; 0 ] , donc solution. 3ème cas : x est dans [ 0 ; + ∞ [ : l’énoncé devient ( 2x + 6 ) – x = 5 x + 6 = 5 x = - 1 qui n’est pas dans [ 0 ; + ∞ [, donc non solution. Solutions : - 11 et - 1/3.

20 6°) |2x + 1| + |3x - 1| = 15 x - ∞ / / ∞ 2x + 1 3x - 1 1er cas : x est dans ] - ∞ ; - 1/2 ] : l’énoncé devient (– ( 2x + 1)) + (- (3x-1)) = x – 1 - 3x + 1 = x = 15 x = - 3 qui est bien dans ] - ∞ ; - 1/2 ], donc solution. 2ème cas : x est dans [- 1/2 ; 1/3 ] : l’énoncé devient ( 2x + 1) + (- (3x-1)) = 15 2x x + 1 = 15 -x = 13 x = - 13 qui n’est pas dans [- 1/2 ; 1/3 ] , donc non solution. 3ème cas : x est dans [ 1/3 ; + ∞ [ : l’énoncé devient ( 2x + 1) + (3x-1) = 15 5x = 15 x = 3 qui est bien dans [ 1/3 ; + ∞ [, donc solution. Solutions : - 3 et 3.