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Les Polyèdres Jean BERT Classe de 2de6 Lycée Marseilleveyre
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Sommaire : I. Des polyèdres à partir de polygones A. Les polygones
B. Les polyèdres C. Notion de dual II. La formule d'Euler III. Autres formules
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I. Des polyèdres à partir de polygones
A. Les polygones Polygone : Figure dans le plan dont les côtés sont des segments de droite et sont au moins au nombre de 3. Exemples : Triangles, quadrilatères, ...
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Polygone régulier : Polygone dont les côté ont la même longueur et dont les angles sont égaux. Exemples : Triangles équilatéraux, carrés, ...
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B. Les polyèdres Polyèdre : Volume de l'espace composé de sommets, d’arêtes et de faces qui sont des polygones. Exemples : Pyramides à base carrée, parallélépipèdes rectangles, …
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Polyèdre régulier : Polyèdre dont les sommets sont tous composés du même nombre d'arêtes et dont les faces sont identiques en plus d'êtres des polygones réguliers. Il n'existe que 5 polyèdres réguliers !!! Il y a ...
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Même nombre d'arêtes par sommet
Faces identiques ...
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C. Notion de dual Dual : Le dual d'un polyèdre a est un polyèdre b qui possède le même nombre de sommets que ce que le polyèdre a possède de faces. Si un polyèdre a est le dual d'un polyèdre b, alors le polyèdre b sera également dual du polyèdre a. Exemple : Dualité cube/octaèdre :
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II. La formule d'Euler Une formule s'applique aux polyèdres. Il s'agit de la formule de Leonhard Euler. Pour S = Nombre de sommets Pour A = Nombre d'arêtes Pour F = Nombre de faces Alors on a : S – A + F = 2
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Exemples :
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III. Autres formules On peut appliquer d'autres formules s'appliquant aux polyèdres réguliers uniquement : Pour P = Nombre de côtés par face Pour Q = Nombre d'arêtes par sommet Alors on a : PF = 2A = QS S = 2A/Q F = 2A/P
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On peut ainsi réécrire la formule d'Euler :
2/P + 2/Q = 2/A + 1 Exemple (cube) : 2/4 + 2/3 = 2/12 + 1 D'où : P,Q < 6 Ainsi, si on applique cette formule aux polyèdres, on va s'apercevoir qu'il n'existe bien que 5 polyèdres réguliers ! CQFD
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FIN
