Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

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1 Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe
4.1 Les droites Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

2 Dans cette section, nous verrons
Les diverses équations qui décrivent une droite. La distance d’un point à une droite. La distance entre deux droites.

3 On sait que l’équation d’une droite est donnée par
Mais on vient de développer plusieurs outils avec les vecteurs qui seraient assez pratiques à utiliser sur les droites.

4 On cherche à décrire les points sur la droite.
On nomme ce vecteur, un vecteur directeur de la droite. et une direction. Il suffit de connaître un point Plus généralement:

5 L’équation vectorielle d’une droite dans le plan est donc :
est un point sur la droite, et est un vecteur donnant la direction de la droite.

6 Exemple:

7 Lien avec

8 Équations paramétriques
Lien avec Équations paramétriques Équation symétrique

9 Donc un vecteur directeur facile à trouver est:
La dernière diapo indique une façon simple de trouver l’équation vectoriel à partir de l’autre Donc un vecteur directeur facile à trouver est: De plus, on peut lire directement de l’équation que le point est sur la droite. D’où

10 Exemple: Trouver l’équation de la droite qui passe par le point
et qui fait un angle de avec la droite hum... on est mal pris! Mais puisqu’on ne veut que la direction de la droite, sa longueur importe peu.

11 qu’on appelle un vecteur normal à la droite.
Il existe une autre façon d’utiliser les vecteurs pour obtenir une description d’une droite. Si on connaît On peut trouver et on a que qu’on appelle un vecteur normal à la droite. Habituellement, on note plutôt:

12 C’est l’équation normale de la droite
Si , On a que C’est l’équation normale de la droite

13 Faites les exercices suivants
p. 140 # 1 à 5

14 Cette description est sympathique car:

15 Exemple: Une particule se déplace en ligne droite. Elle se trouve en
et une seconde plus tard, elle est en Trouver sa position après 21 sec.

16 En fait, je viens subtilement de vous faire découvrir les fonctions vectorielles!
Plus généralement

17 (Là, on sort un peu du cadre du cours.)
Exemple:

18 Exemple:

19 Exemple:

20 Autre truc sympathique avec l’équation vectorielle d’une droite:
ça ne marche pas seulement dans le plan! Il en va de même pour les équation symétriques et paramétriques d’une droite.

21 L’équation de la droite est:
Droite dans L’équation de la droite est: ou

22 C’est l’équation symétrique de la droite.
Construisons l’équation symétrique d’une droite dans . Soit et un vecteur directeur de . C’est l’équation symétrique de la droite.

23 L’équation normale de la droite n’existe pas dans .
Similairement Si , On a que NON! Remarque: L’équation normale de la droite n’existe pas dans .

24 Faites les exercices suivants
p. 141 # 9, 10 et 11

25 Distance entre un point et une droite dans
C’est quoi cette distance?

26 Distance entre un point et une droite dans
Prise 2!

27 Distance entre deux droites parallèles dans
hum... déjà fait!

28 Distance entre un point et une droite dans
C’est la même chose!

29 Faites les exercices suivants
p.140 # 6, 16

30 Distance entre deux droites dans
Ouin... un peu moins simple!

31 Pour que deux droites ne se touchent pas, il faut qu’elles habitent
dans deux plans parallèles.

32 Quel est l’angle entre ces droites?
Exemple: p.139 Exemple 1 et 2 Quel est l’angle entre ces droites?

33 Faites les exercices suivants
p. 142 # 13, 14 et 18

34 Quels sont les deux points les plus rapprochés de ces droites?
Exemple: p.139 Exemple 1 et 2 Quels sont les deux points les plus rapprochés de ces droites?

35 Faites les exercices suivants
p. 142 # 19

36 Aujourd’hui, nous avons vu
L’équation vectorielle et l’équation normale d’une droite dans le plan. L’équation vectorielle d’une droite dans l’espace. La distance d’un point à une droite. La distance entre deux droites.

37 Devoir: p.140, # 1 à 24