La notation scientifique

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1 La notation scientifique
Écriture et opérations

2 Écriture

3 La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits. a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

4 La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens.
Exemples: 2 500 $ 2,5 kg 75 ans 8 frères et soeurs 2 automobiles 45,7 cm Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

5 ∞ ∞  : La caractéristique principale de la notation décimale est que:
 chaque position des chiffres représente un multiple de 10. ∞ + Vers: G : giga : Unité de milliard: M : méga : Unité de million: Centaine de mille: Dizaine de mille: 10 000 K : kilo : Unité de mille: 1 000 h : hecto : Centaine: 100 10 da : déca : Dizaine: 1 L’unité d : déci : Dixième: 0,1 c : centi : Centième: 0,01 m : milli : Millième: 0, 001  : micro : Millionième: 0, n : nano : Milliardième: 0, ∞ - Vers:

6 Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10.
0,01 0, 001 0, 000 1 1 10 000 1 000 100 10 0,1 0, 0, = 109 G : giga = 106 M : méga = 105 = 104 = 103 k : kilo = 102 h : hecto = 101 da : déca = 100 = 10-1 d : déci = 10-2 c : centi = 10-3 m : milli = 10-4  : = 10-6 micro = 10-9 n : nano Remarque: Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

7 a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
Dans la définition mathématique de la notation scientifique: a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z le 10 signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10; l’exposant étant pris dans la famille des entiers, soit Z; a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10. L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

8 Exemple 1: Écrire en notation scientifique. Dans la virgule est à la fin: 23 643,0 Étape 1: Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 2,364 3 < 10 mais il n’est pas égal à Étape 2: Pour le rendre égal à , il faut le multiplier par = 2,364 3 X c’est-à-dire 104. = 2,364 3 X 104 soit le nombre de positions traversées par la virgule.

9 Exemple 2: Écrire 0, en notation scientifique. Étape 1: Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions. 1 ≤ 3,4 < 10 mais il n’est pas égal à 0, Étape 2: Pour le rendre égal à 0, , il faut le multiplier par 0, 0, = 3,4 X 0,000 01 c’est-à-dire 10-5 0, = 3,4 X 10-5 soit le nombre de positions traversées par la virgule.

10 Remarque: Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10. , 23 643,0 X 100 2,364 3 X 104 Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10. , 0, X 100 3,4 X 10-5

11 Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique: : 1,676 5 X 1013 Remarque: La calculatrice écrira 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10. : 1,56 X 105 : 2,34 X 1014 : 9,460 8 X 1017 0,0456: 4,56 X 10-2 la calculatrice écrira 4,56 E -2 0, : 1,2 X 10-7 0, : 1, X 10-19 0, : 4,56 X 10-10

12 À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement: 2,3 X 105 = 2,3 X = Remarque: ,0 Notation décimale Notation scientifique 2,3 X 105 , Notation scientifique 2,3 X 105 ,0 Notation décimale ,

13 À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement: 1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5 Remarque: 0,001 5 Notation décimale Notation scientifique 1,5 X 10-3 , Notation scientifique 1,5 X 10-3 0,001 5 Notation décimale ,

14 Exercices Transforme les nombres suivants en notation décimale: 1,27 X 106 : 4,5869 X 103 : 4 586,9 1,2 X 1010 : 3,475 X 1020 : 2,5 X 10-3 : 0, 002 5 1,897 X : 0, 2, X : 0,

15 Quelques symboles  : G : giga : unité de milliard: 1 000 000 000
= 1 X 109 M : méga : unité de million: = 1 X 106 K : kilo : unité de mille: 1 000 = 1 X 103  : micro : millionième: 0, = 1 X 10-6 n : nano : milliardième: 0, = 1 X 10-9

16 Quelques symboles La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de MW. 1 528 MW = 1 528 X = watts La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW. 16 GW = 16 X = watts La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$. 13,7G$ = 13,7 X = ,00 $

17 1 m

18 1 km

19 1 Mm

20 1 Gm

21 1 mètre

22 1 mm

23 1 m

24 1 nm

25 La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au m ( micromètre ). 1 m = 0, m = 0,001 mm

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28 La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au nm ( nanomètre ). 1 nm = 0, m = 0, mm

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32 Les opérations

33 Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories:
1) la multiplication et la division; 2) l’addition et la soustraction. Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

34 La multiplication Exemple: 2 X X 3 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: X Calculer: Reconvertir en notation scientifique: 6 X 105 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

35 Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
2 X X 3 X 103 Multiplier les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1: 2 X 3 = 6 Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables: - on récupère la base; - on additionne les exposants; 102 X = 102+3 = 105 Étape 3: On regroupe le tout: 6 X 105 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple: 2 X X 4 X 106 = 8 X 1014

36 1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes:
1,5 X X 3 X 106 = 4,5 X 1011 4 X X 2 X 106 = 8 X 1040 2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109 Attention: 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108 mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture: 12,5 X 108 = 1,25 X 109

37 Calcule les quantités suivantes:
2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010 4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,635 X 1012 1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109 La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention: -3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010 -2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107

38 106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102 Calcule les quantités suivantes:
2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102 Attention: 2 X 106 X 3 X 10-4 106 X 10-4 = = = 102 2,4 X X 3 X = 7,2 X 106 3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

39 La division Exemple: 4 X ÷ 2 X 102 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: ÷ 200 Calculer: 2 000 Reconvertir en notation scientifique: 2 X 103 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

40 Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
4 X ÷ 2 X 102 Diviser les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1: 4 ÷ 2 = 2 Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables: - on récupère la base; - on soustrait les exposants; 105 ÷ 102 = 105-2 = 103 Étape 3: On regroupe le tout: 2 X 103 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple: 9 X ÷ 3 X 106 = 3 X 108

41 1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes:
3 X ÷ 1,5 X 104 = 2 X 102 4 X ÷ 2 X 106 = 2 X 1028 2,5 X 108 ÷ 5 X 103 = 5 X 104 Attention: 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105 mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture: 0,5 X 105 = 5 X 104

42 106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 = 1010 Calcule les quantités suivantes:
2,8 X 107 ÷ 5 X 102 = 5,6 X 104 1,02 X 108 ÷ 3,4 X 103 = 3 X 104 1,5 X 106 ÷ 2 X 102 = 7,5 X 103 8 X 106 ÷ 2 X = 4 X 1010 Attention: 8 X 106 ÷ 2 X 10 -4 106 ÷ 10-4 = = = 1010 2,4 X 1010 ÷ 3 X 10-2 = 8 X 1011 1,2 X 10-6 ÷ 4 X 10-3 = 3 X 10-4

43 L’addition et la soustraction
Exemple: 4 X X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: Calculer: 2 000 + Reconvertir en notation scientifique: 4,02 X 105

44 Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente. Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas. Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10. Exemple: 4 X X 103 400 X X 103 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10; = 402 On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 103 400 X X 103 On regroupe le tout: 402 X 103 On termine l’écriture: 4,02 X 105

45 Remarque : On pourrait aussi procéder ainsi: 4 X X 103 Transformer le plus petit des nombres: 4 X ,02 X 105 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10; 4 + 0,02 = 4,02 On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 105 4 X ,02 X 105 On regroupe le tout: 4,02 X 105

46 Exercices 3 X ,5 X 104 = 3,015 X 106 2,5 X X 103 = 2,505 X 106 8,4 X ,3 X 104 = 8,17 X 105 1,6 X ,2 X 106 = - 5,184 X 106 La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention: