Gmc 6002 ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE

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1 Gmc 6002 ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE

2 Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire)
Matrice [H]: GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

3 Matrice de rigidité locale en 3D
Matrice [B]: GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

4 Pour un tétraèdre linéaire
GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

5 Mécanique linéaire Système discret final
où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la déformation de la pièce et donc par {UNd} GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

6 Non linéarité matérielle
Bilinéaire Élastique non linéaire Plastique GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

7 Non linéarité géométrique
On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées xi) à la configuration initiale (coordonnées ai) GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

8 Non linéarité géométrique
Deux configurations (peuvent agir ensemble) Grands déplacements: Ui << L n’est plus vrai Grandes déformations: Ui,j << 1 n’est plus vrai Plus de proportionnalité entre {ε} et {Un(i)} [K] est affectée par la déformation de la pièce et donc par {Und} GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

9 Non linéarité géométrique
Grands déplacements GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

10 Non linéarité géométrique
Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {Und} GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

11 Autres non linéarités Conditions aux limites bilatérales Contact
Conditionnement du système variable (déplacements imposés) Influence mutuelle entre plusieurs pièces GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

12 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion E = 1.2x109 Pa, L = 10 m Section 1 m x 0.1 m Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire (HPP) m GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

13 Non linéarité géométrique: exemple1
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Grands déplacements (COSMOS/M) Déformée modèle non-linéaire/linéaire m m m GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

14 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – N Déplacements en x et y Non linéaire Linéaire N N m m GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

15 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – N Déplacement en y linéaire/non linéaire N Non linéaire m Linéaire GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

16 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire Effort normal et effort tranchant élément élément GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

17 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Effort normal et effort tranchant élément élément GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

18 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Forces et moments de réaction GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

19 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Éléments de plaque COSMOS/M Modèle linéaire (HPP) Déplacements semblables GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

20 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle linéaire (HPP) Contraintes Von-Mises Face dessus Feuillet moyen Face dessous GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

21 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Éléments de plaque (COSMOS/M) Modèle non linéaire Déplacements semblables GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

22 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle non linéaire Contraintes Von-Mises Face dessus Feuillet moyen Face dessous GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

23 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Maillée en 3D Modèle non-linéaire (Solidworks) Déplacements semblables GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

24 Non linéarité géométrique: exemple
Poutre en flexion Comparaison Modèle non-linéaire Contraintes Von Mises GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

25 Non linéarité matérielle: exemple
Plaque trouée en traction Modèle 2D (dimensions en pouces), contraintes planes Pression P (constante) GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

26 Non linéarité matérielle: exemple
Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif) Modèle linéaire Modèle non-linéaire (parfaitement plastique à Psi) Échelle de couleurs différente P = Psi P = Psi P = Psi P = Psi GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

27 Non linéarité matérielle: exemple
Plaque trouée : contraintes résiduelles Échelle de couleurs différente P = Psi P = Psi GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

28 Formalismes Eulerien Lagrangien
GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

29 Lagrangien: problématique
Déformations trop importantes GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

30 Lagrangien: solutions
R lage Formalisme ALE GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

31 Tenseur de Green-Lagrange
Configurations initiale et déformée GMC Dynamique des structures

32 Grandes déformations : exemple
Élément de barre L = 1 E = , A = q = 105 Déplacement Green-Lagrange (linéarisé et non) GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

33 Grandes déformations : exemple
Élément de barre L = 1 E = , A = q = q= q = 108 Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert) GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

34 Décomposition polaire
GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

35 Tenseur de Green-Lagrange: exemple
Déformation d’un carré GMC Dynamique des structures

36 Tenseur de Green-Lagrange: exemple
Décomposition GMC Dynamique des structures

37 Tenseur de Green-Lagrange: exemple
Décomposition GMC Dynamique des structures

38 Tenseur des contraintes
Configurations initiale et déformée [σ] Tenseur de Cauchy GMC Dynamique des structures

39 Tenseur des contraintes
Configurations initiale et déformée GMC Dynamique des structures

40 Tenseur des contraintes
Formule de Nanson GMC Dynamique des structures

41 Tenseur des contraintes
Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1) GMC Dynamique des structures

42 Tenseur des contraintes
Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2) GMC Dynamique des structures

43 Formulations Lagrangienne totale Lagrangienne réactualisée
GMC Éléments finis en mécanique non linéaire

44 Méthodes numériques Newton-Raphson Newton-Raphson modifiée
GMC Dynamique des structures

45 Méthodes numériques: exemple
Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u0=0 Valeur théorique: u = Itération Substitution Newton-Raphson modifiée 1 2 3 4 5 6 7 GMC Dynamique des structures

46 Méthodes numériques: exemple
Méthode incrémentale (deux incréments de force) Valeur théorique: u = Itération Substitution Newton-Raphson modifiée Premier incrément F=0.1 1 2 3 Deuxième incrément F=0.2 GMC Dynamique des structures