Zéros de polynômes (La loi du produit nul) Remarque :

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1 Zéros de polynômes (La loi du produit nul) Remarque :
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2 On dit alors que 3 est la valeur de x qui annule ce polynôme.
Les zéros d’un polynôme sont les valeurs de la variable ou des variables qui annulent ce polynôme. Exemple : Dans l’équation y = 2x – 6 , lorsque que x = 3, le polynôme est égal à 0. 0 = 2 X 3 - 6 0 = 6 - 6 0 = 0 On dit alors que 3 est la valeur de x qui annule ce polynôme. y x 1 Graphiquement, cela correspond à l’abscisse à l’origine de l’équation.

3 Dans un polynôme du second degré, les zéros du polynôme correspondent aux valeurs de x qui annulent le polynôme. Déterminer ces valeurs, nous permet : x y 1 de trouver les abscisses à l’origine d’une fonction polynomiale de degré 2; - de résoudre une équation du second degré. x2 + 5x + 18 = 12 x2 + 5x + 6 = 0 La factorisation et la loi du produit nul sont deux outils permettant de trouver ces valeurs.

4 Exemple Dans l’expression x + 3, quelle est la valeur de x qui annule ce polynôme ? Ceci veut dire : « pour quelle valeur de x, l’expression x + 3 est-elle égale à 0 ? » Pour le savoir, il faut isoler x : x + 3 = 0 x = -3 en effet, = 0 Donc, -3 est la valeur de x qui annule le polynôme x + 3.

5 Dans l’équation x2 - 5x = 0, quelles sont les valeurs de x qui annulent ce polynôme ?
Pour déterminer ces valeurs, il faut procéder en 2 étapes : 1) Factoriser le polynôme; 2) Utiliser la loi du produit nul. 1) Factoriser le polynôme : x2 - 5x = 0 x (x - 5) = 0 Par simple mise en évidence. Nous obtenons ainsi deux facteurs : x et (x – 5) 2) Utiliser la loi du produit nul. La loi du produit nul signifie que si l’équation est égale à 0 alors un ou l’autre des facteurs est égal à 0. Examinons ce que cela veut dire.

6 La loi du produit nul signifie que si l’équation est égale à 0 alors un ou l’autre des facteurs est égal à 0. Exemple Soit l’expression x X y = 0. Si le produit de ces deux facteurs est égal à 0, alors un des deux facteurs est égal à 0. Ce peut être x qui est égal à 0, alors x X y = 0 0 X y = 0 Ce peut être y qui est égal à 0, alors x X y = 0 x X 0 = 0 Cette équation est égale à 0 soit pour x = 0 soit pour y = 0.

7 La loi du produit nul signifie que si l’équation est égale à 0 alors un ou l’autre des facteurs est égal à 0. si x2 - 5x = 0 x (x - 5) = 0 Soit x = 0, 0 (0 – 5) = 0 0 X = 0 Vrai. Soit x – 5 = 0 alors x = 5, 5 (5 – 5) = 0 5 X 0 = 0 Vrai. Donc, 0 et 5 sont les deux valeurs qui annulent ce polynôme. x2 - 5x = 0 Vérifions : Pour x = 0, Pour x = 5, 02 – 5 X 0 = 0 52 – 5 X 5 = 0 0 – = 0 Vrai. 25 – = 0 Vrai.

8 Pour déterminer les zéros d’un polynôme, il faut trouver les valeurs de la variable ou des variables qui annulent ce polynôme. Pour ce faire : 1) On factorise le polynôme; 2) On utilise la loi du produit nul en isolant la (les) variable(s) dans chacun des facteurs. Exemple : Détermine les valeurs qui annulent le polynôme suivant. 1) Factoriser le polynôme : xy x + 4y + 8 x 4 x ( ) y + 2 + 4 ( ) y + 2 (y + 2) (y + 2) (x + 4) 2) Loi du produit nul : = 0 Soit y + 2 = 0 alors y = - 2, (-2 + 2) (x + 4) = 0 0 X ( x + 4 ) = 0 Soit x + 4 = 0 alors x = - 4, (y + 2) ( ) = 0 (y + 2) X = 0 Donc, - 2 pour y ou – 4 pour x sont les deux valeurs qui annulent le polynôme.

9 x = Détermine les valeurs des variables qui annulent ce polynôme.
1) Factoriser le polynôme : 2xy x - y - 5 2x -1 2x ( ) y + 5 - 1 ( ) y + 5 (y + 5) (2x - 1) 2) Loi du produit nul : (y + 5) = 0 (2x - 1) (-5 + 5) = 0 Soit y + 5 = 0 alors y = - 5, Soit 2x - 1 = 0 2x = 1 (2 X ) (y + 5) = 0 2 1 2 x = 2 1 - 5 pour y ou pour x. 2 1 Les valeurs qui annulent le polynôme sont