Licence 1ère année Math-Informatique1 Représentation logique des données.

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1 Licence 1ère année Math-Informatique1 Représentation logique des données

2 Définition Un système de numération est une représentation de variables. Ces variables codées sont basées sur un ensemble de symboles appelés «chiffres», (digits), et de règles de composition représentant les opérations entre ces variables. Les opérations de base sont laddition, la multiplication et les autres opérations arithmétiques.

3 Base dun système (1/2) La base dun système numérique est le nombre de chiffre de lensemble.

4 Base dun système (2/2) ( N ) r = [ (partie entière), (fraction) ] r r base N nombre Ex. = [ 124, 659 ] ( N ) r = [ (partie entière), (fraction) ] r r base N nombre Ex. = [ 124, 659 ] 10

5 Représentation des nombres Notation juxtaposé : ( N ) r = ( a n-1 a n-2 … a 1 a 0, a -1 a -2 … a -m ) r 0 a i ou a -f r - 1 Ex. : ( 741,10) 8

6 Notation polynomiale et poids de chiffres : [N] r = a n-1 r n-1 +a n-2 r n-2 +…+ a 0 r 0 + a -m+1 r -m+1 +a -m r -m

7 Polynomiale Ex.: [191.27] 10 1X10 2 + 9X10 1 + 1X10 0 + 2X10 -1 + 7X10 -2 Ex.:[ 4021.2] 5 4X5 3 + 0X5 2 + 2X5 1 + 1X5 0 + 2x5 -1

8 Quelques bases TypeBaseChiffresExemple Décimal100-9121.9 Hexadécimal160-9,A,B,C,D,E,F1A7.F2 Octal80-7121,6 Binaire20-11011.1101

9 Polynomiale Ex.: 191.27 1X10 2 + 9X10 1 + 1X10 0 + 2X10 -1 + 7X10 -2 Ex.: 4021.2 5 4X5 3 + 0X5 2 + 2X5 1 + 1X5 0 + 2x5 -1

10 Le système binaire

11 Toute linformation en électronique digital est binaire.

12 Alors… Equivalent décimal: 1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 + 1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625 1011.1101 = 11.8125

13 Décimal - Binaire 00000 10001 20010 30011 40100 50101 60110 70111 81000

14 Licence 1ère année Math-Informatique14 Opérations arithmétiques

15 Opérations On se souvient que: 0 + 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0 [ 1] 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1

16 Addition Opération sur les nombres, en base 2

17 Multiplication

18 Compléments Fonction : Utilisées pour simplifier les opérations de soustraction en base r

19 Complément à r r n – N Si N 0 0 Si N = 0 n = Nombre de chiffres

20 Exemples r Complément à 10 de [ 52520 ] 10 n =5 Alors = 10 5 – 52520 = 47480 Complément à 10 de [ 0,3267 ] 10 n =0 Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733

21 Complément à r-1 r n – 1 - N Si N 0 0 Si N = 0

22 Exemples r-1 Complément à 9 de [ 52520 ] 10 n =5 Alors = 10 5 - 1 - 52520 = 99999- 5250 = 47479 Complément à 9 de [ 0,3267 ] 10 n =0 Alors = 10 0 - 10 -4 – 0,3267 = 0,9999 – 0,3267 = 0,6732

23 Complément à 2 en binaire Changer les 0 1 Additionner 1

24 Exemple N = 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 + 1 Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0

25 Complément à 1 en binaire Changer les 0 1 N = 1 0 1 1 0 0 Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1

26 Codes décimal / octal / hexadécimal : DécimalOctalHexadécimal 000 111 ……… 666 777 8108 9119 1012A 1113B 1214C 1315D 1416E 1517F 162010

27 A quoi ça sert?…

28 Soient: M = 72532 Trouver M - N N = 03250 Cà9(N) = 10 5 – 1 - 3250 = 96749 M + 96749 = 72532 + 96749 -------------- 1 69281 Soustractions 69281 +1 = 69282

29 Soient: M = 03250 Trouver M - N N = 72532 Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467 03250 + 27467 -------------- 0 30717 Soustractions

30 Autre exemple Complément à 9 de 30717: 99999 – 30717 = 69282 - 69282 M – N =

31 Complément à 2 ex.1 Soient: M = 1010100 Trouver M - N N = 1000100 Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0 M + Cà2(N) = 1010100 + 0111100 -------------- 1 0010000

32 Complément à 2 ex.2 Soient: M = 1000100 Trouver M - N N = 1010100 Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0 M + Cà2(N) = 1000100 + 0101100 -------------- 0 1110000

33 Ex.2 cont… Complement à 2 du résultat anterieur : X = 1110000 Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0 M – N = - 10000

34 Changement de base

35 Base N en base 10 : Méthode de substitution Ex. :(101.11) 2 ( ?) 10 1 X 2 2 + 0 X 2 1 + 1 X 2 0 + 1 X 2 -1 + 1 X 2 -2 4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.75

36 Base 10 en base M : Méthode par division et multiplication Ex. : (19.75) 10 ( ?) 2 Partie entièrePartie fractionnaire 19 2 = 9 + 1.75 X 2 = 1.50 9 2 = 4 + 1.50 X 2 = 1.00 4 2 = 2 + 0.00 X 2 = 0.00 2 2 = 1 + 0 1 2 = 0 + 1 = 1 0 0 1 1. 1 1 0

37 Base N en base M : N en 10 : Substitution 10 en M : Multiplication