Une idée : représenter chaque point du plan par un seul nombre

Présentation au sujet: "Une idée : représenter chaque point du plan par un seul nombre"— Transcription de la présentation:

1 Une idée : représenter chaque point du plan par un seul nombre
Nombres complexes Une idée : représenter chaque point du plan par un seul nombre

2 Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée
Les nombres complexes Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée point d’abscisse – 2 1 point d’abscisse 3 Les nombres complexes sont les affixes des points du plan gradué point d’affixe i point d’affixe i point d’affixe 2 i point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe 3 En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

3 En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b
Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Les nombres complexes sont les affixes des points du plan gradué point d’affixe i point d’affixe a + i b point d’affixe i b point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe a En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

4 En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b
Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Par définition la longueur de ce segment de droite est le module de z et s’écrit |z| Le carré de la longueur de ce segment de droite est a2 + b2 (théorème de Pythagore) donc |z|2 = a2 + b2 point d’affixe i point d’affixe a + i b point d’affixe i b |z| point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe a En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

5 En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b
Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b En trigonométrie nous avons b |z| a |z| Cet angle est par définition l’argument de z et s’écrit arg z sin arg z = cos arg z = On a donc z = |z| cos arg z + i |z| sin arg z point d’affixe i point d’affixe a + i b point d’affixe i b |z| arg z point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe a En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

6 En général un nombre complexe s’écrit z = x + i y
Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = x + i y Ensembles des points d’affixe imaginaires point d’affixe i Idée géométrique fondamentale : Une multiplication par i point d’affixe i x donne une rotation de + π / 2 radians Ensemble des points d’affixe réelle point d’affixe 0 point d’affixe 1 point d’affixe x En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

7 Une multiplication par i
Les nombres complexes Si on souhaite que les nombres imaginaires et réels obéissent aux mêmes règles de calcul algébrique que les nombres réels alors on peut écrire i (a + i b) = i a + i i b = i2 b + i a Il faut alors admettre que i2 = i i = – 1 C’est cohérent Une multiplication par i donne une rotation de + π / 2 radians Idée géométrique fondamentale : point d’affixe i (a + i b) point d’affixe i a Point d’affixe – b point d’affixe i b point d’affixe a + i b point d’affixe a point d’affixe 0 Les deux triangles jaunes sont identiques

8 D’après la trigonométrie
Les nombres complexes Si on souhaite que les nombres imaginaires et réels obéissent aux mêmes règles de calcul algébrique que les nombres réels alors si u = a + i b et z = x + i y u z = (a + i b) (x + i y) = a x + a i y + i b x + i b i y = a x + i a y + i b x + i2 b y Conclusion : pour multiplier deux nombres complexes il suffit de multiplier leurs modules et d’additionner leurs arguments. = a x + i a y + i b x – b y = (a x – b y) + i (a y + b x) Comme u = |u| cos arg u + i |u| sin arg u nous avons a = |u| cos arg u et b = |u| sin arg u C S Comme z = |z| cos arg z + i |z| sin arg z nous avons x = |z| cos arg z et y = |z| sin arg z C’ S’ Mais ces formules sont longues à écrire donc on abrège en renommant les fonctions trigonométriques u z = (|u| C |z| C’ – |u| S |z| S’) + i (|u| C |z| S’ + |u| S |z| C’) = |u| |z| ((C C’ – S S’) + i (C S’ + S C’)) = |u| |z| (cos (arg u + arg z) + i sin (arg u + arg z)) cos arg u sin arg z – sin arg u cos arg z = sin (arg u + arg z) D’après la trigonométrie cos arg u cos arg z – sin arg u sin arg z = cos (arg u + arg z)

9 Les nombres complexes Cas particulier : multiplier deux nombres de module unité |u| = |z| = 1 u = cos arg u + i sin arg u Conclusion : pour multiplier deux nombres complexes il suffit de multiplier leurs modules et d’additionner leurs arguments. z = cos arg z + i sin arg z u z = cos (arg u + arg z) + i sin (arg u + arg z) ce qui suggéra la définition de l’écriture u = exp i arg u et z = exp i arg z qui redonne la règle de multiplication de deux puissances u z = exp i (arg u + arg z). Retenons : exp i α ∙ exp i β = exp i (α + β) Il est naturel d’étendre la règle de multiplication de deux puissances en l’addition les exposants à tous les cas numériques, ce qui donne la définition Si z = a + i b alors exp z = exp (a + i b) = exp a ∙ exp i b. Définissons : Re z = a est la partie réelle de z et Im z = b est la partie imaginaire de z. Alors exp z = exp Re z ∙ exp i Im z ou encore exp z = exp Re z ∙ (cos Im z + i sin Im z).