La loi des cosinus b2 = a2 + c2 - 2ac cosB a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

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1 La loi des cosinus b2 = a2 + c2 - 2ac cosB a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
(a – x) h x c b a D b2 = a2 + c2 - 2ac cosB a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Remarque : Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

2 A C B h D Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC. b c (a – x) x a Dans le triangle ABC : - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B; - posons c pour représenter le côté en face de l’angle C; - posons a pour représenter le côté en face de l’angle A. Traçons la hauteur AD (h). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB. Posons x pour représenter le segment DB. Le segment CD peut alors être représenté par le binôme (a – x). En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant : h2 = b2 – (a – x)2 h2 = c2 – x 2 En utilisant la méthode de comparaison, nous obtenons : b2 – (a – x)2 = c2 – x2

3 A C B (a – x) h x c b a D Développons b2 - (a - x)2 = c2 - x2 b2 - (a2 - 2ax + x2) = c2 - x2 b2 - a2 + 2ax - x2 = c2 - x2 b2 - a2 + 2ax = c2 Isolons b2 : b2 = a2 + c2 - 2ax cos B = x c Dans le triangle ADB, nous avons le rapport : Isolons x : x = c cos B Dans l’expression b2 = a2 + c2 – 2ax, remplaçons x par c cos B : b2 = a2 + c2 - 2ac cos B En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Cette loi des cosinus nous permet donc de calculer toutes les mesures d’angles et toutes les mesures de côtés dans les triangles qui ne sont pas rectangles.

4 La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants :
les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés B C c b A a A B C c b

5 Comment utiliser cette loi ?
a B C c b A Si on veut connaître la mesure de l’angle A ou la mesure du segment représenté par a. On associe le côté en face de l’angle avec le cosinus de l’angle. a2 = cos A b2 + c2 – 2bc Les autres parties de la formule proviennent des côtés adjacents.

6  3,2 Exemples Détermine la mesure du côté BC. B 4 m
Nous avons donc besoin de la formulation : a 530 a2 = b2 + c2 – 2 x b x c x cos A C A 3 m a2 = – 2 x 3 x 4 x cos 530 Avec la calculatrice : a2 ≈ – 24 x 0,6018 priorité d’opérations a2 ≈ ,4432 a2 ≈ 10, 5568 a ≈ 10, 5568  3,2 m BC  3,2 m Remarque : 2nd x2 (3^2 + 4^2 – 2 x 3 x 4 cos 53)  3,249

7 Détermine la mesure de l’angle B.
Nous avons donc besoin de la formulation : 4 m 3,2 m b2 = a c x a x c x cos B 530 A C 32 = 3, x 3,2 x 4 x cos B 3 m b 9 = 10, ,6 cos B Isolons cos B : 9 - 10, = - 25,6 cos B cos B ≈ 0,6734 Avec la calculatrice : Donc, cos-1 0,6734  47,70 - 17,24 = - 25,6 cos B -25,6 m  B ≈ 47,70 = cos B -25,6 - 17,24 ≈ 0,6734 Remarque : Cos-1 ((9 – 10,24 – 16) ÷ (-)25,6)  47,70

8 Détermine la mesure de l’angle B.
530 B C 4 m A 3 m 3,2 m Détermine la mesure de l’angle B. Remarque Comme la mesure du segment BC avait déjà été déterminée, on aurait pu déduire la mesure de l’angle B en utilisant la loi des sinus.

9 5 cm 6 cm 4 cm A B C Détermine la mesure de l’angle A. Nous avons donc besoin de la formulation : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Isolons cos A : = - 2bc cos A a2 - b2 - c2 - 2bc a2 - b2 - c2 - 2bc = cos A - 2 x 6 x 5 = cos A 16 – 36 – 25 - 60 - 45 - 60 = = 0, 75 cos A = 0,75 Donc, cos -1 0,75 ≈ 41, 40 m  A ≈ 41, 40

10 5 cm 6 cm 4 cm A B C Détermine la mesure de l’angle A. b a c Nous avons donc besoin de la formulation : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Cette formulation pourrait s’écrire aussi : (m BC)2 = (m AC)2 + (m AB)2 – 2 (m AC) (m AB) cos A Comme la formulation est un peu longue, utilise a, b et c. Identifie-les sur la figure (par des lettres minuscules).

11 Détermine la mesure de l’angle B.
3 km 4 km 1,95 km Nous avons donc besoin de la formulation : b2 = a2 + c2 – 2ac cos B b c a Isolons cos B : = - 2ac cos B b2 - a2 - c2 C - 2ac b2 - a2 - c2 - 2ac = cos B 42 – 32 – 1,952 - 2 x 3 x 1,95 16 – 9 – 3,8025 - 11,7 = 3,1975 - 11, 7 = cos B ≈ - 0, 2733 cosinus négatif cos B ≈ - 0,2733 Donc, cos-1 - 0,2733 ≈ 105,90 m  B ≈ 105,90 La calculatrice tient compte des cosinus négatifs; elle donnera la bonne valeur de l’angle. Elle tient compte du fait que : cos (1800 – θ) = - cos θ