Démonstration : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

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1 Démonstration : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

2 A B C Les trois médiatrices semblent concourantes.

3 Déplacer les sommets du triangle
Elles semblent concourantes pour tous les triangles.

4 Avons nous un cas particulier ? Pour trois droites tracées au
hasard, combien a-t-on de points d ’intersection ? A priori, il y a trois points d ’intersection entre ces droites.

5 Sur chaque triangle, on constate ce résultat.
Essayons pour un quadrilatère particulier ABCD: A B C D

6 Par contre pour d’autres quadrilatères,
on trouve plusieurs points d’intersections. A B C D Le résultat obtenu dépend apparement du quadrilatère.

7 Le résultat obtenu dépend donc du quadrilatère.
Avons- nous toujours un seul point d ’intersection pour le triangle?

8 Nous allons démontrer que c’est le cas en utilisant les propriétés
des points de la médiatrice d’un segment. A B M Pour tout point M de la médiatrice de [AB], on a MA = MB.

9 Si point N vérifie NA = NB,
alors le point N est sur la médiatrice de [AB] . A B x N

10 Reprenons le triangle ABC et deux des ses médiatrices :
on notera O leur point d’intersection. A B C O O appartient à la médiatrice de [AB] : II OA = OB. II O appartient à la médiatrice de [BC] : OB = OC.

11 II A C O B Donc OA = OB = OC.

12 B A C O II En particulier OA = OC.

13 Le point O est donc sur la troisième médiatrice :
B C O II Le point O est donc sur la troisième médiatrice :

14 A B C Les trois médiatrices sont concourantes.