Les quadrilatères plans.

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1 Les quadrilatères plans.
Une classification objective

2 Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx, Annie Goovaerts, Jacqueline Sengier.

3 Plan Introduction Critères de classification. Démarche suivie.
Synthèse.

4 A. Introduction Harpons du paléolithique ancien et moyen

5 pointe de flèche –40000

6 Autres exemples datant de la préhistoire.
pointe de flèche pédonculée à ailerons (Mancey) – L. 2,5 cm pointe de flèche néolithique

7 Exemples contemporains
Des deltaplanes

8 Dans la nature Un bec d’oiseau Détail:

9 Papillons

10 B. Critères de classification.
Un quadrilatère est nommé à partir De son groupe d’automorphismes, un sous-groupe du groupe diédrique D8. De l’intersection de ses diagonales (segments diagonaux). l’intersection de ses côtés (non consécutifs).

11 C. Démarche suivie. Partir du groupe D8 des automorphismes du carré et classer ses sous-groupes d’un point de vue combinatoire. Faire correspondre une famille de quadrilatères à chaque sous-groupe obtenu. Comparer les quadrilatères d’une famille par les critères d’intersection des diagonales et des côtés. Classer et étiqueter les quadrilatères obtenus à partir de l’ensemble de ces critères.

12 Nous nous intéressons au groupe des automorphismes du carré.
Le groupe diédrique,D8 Nous nous intéressons au groupe des automorphismes du carré. Il s’agit du groupe D8

13 (Pour ouvrir le lien: cliquer bouton droit et « ouvrir le lien ».)
Voici l’illustration à l’aide de CABRI de quelques composées de 2 éléments du groupe D8. D8compos.fig (Pour ouvrir le lien: cliquer bouton droit et « ouvrir le lien ».) Actions du sous-groupe Z4 sur le carré. Z4 carré.fig

14 Les 8 éléments du groupe D8
Élément combinatoire correspondant (1)(2)(3)(4) (12) (34) ou (14) (23) (13) (2) (4) ou (24) (1) (3) (13) (24) (1432) ou (1234) Isométrie du carré (1234) Identité: i 2 symétries orthogonales d’axe une médiane: Sm1 ou Sm2 2 symétries orthogonales d’axe une diagonale: Sd1 ou Sd2 La symétrie p.r. au centre du carré Une rotation de ¼ autour du centre du carré ou une rotation de ¾ autour du centre du carré

15 C. Classification des sous-groupes de D8
Z4 {i,(1234),(1432),(13)(24)}

16 Le sous-groupe Z1: {i}. i autorise n’importe quel quadrilatère. Identité .fig

17 Le critère des diagonales
permet de distinguer des quadrilatères convexes et des non convexes.

18 Le critère des côtés permet de distinguer des quadrilatères
papillons et des non papillons

19 Papillons

20 Nous appelons bec tout quadrilatère qui n’est ni convexe ni papillon
Remarque: il est impossible qu’un quadrilatère soit à la fois convexe et papillon

21 Dans la nature Un bec d’oiseau Détail:

22 Les 2 sous-groupes Z2: {i,(1) (3) (24)} ou {i,(2) (4) (13)}
Contraintes imposées aux quadrilatères conservés par (1) (2) (3) (4) et par (1) (3) (24) Pour chaque position quelconque de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|12| et |34| = |32| donc 4 est à l’intersection de deux cercles, il ne peut occuper qu’une position car 2 occupe l’autre. sym diagonale Q.fig

23 Exemples des quadrilatères obtenus
Delta-plane Cerf-volant

24 Exemples contemporains
Des deltaplanes

25 Autres exemples datant de la préhistoire.
pointe de flèche pédonculée à ailerons (Mancey) – L. 2,5 cm pointe de flèche néolithique

26 Les 2 sous-groupes Z2 {i,(12)(34)} ou {i,(14)(23)}
Contraintes imposées aux quadrilatères conservés par (1) (2) (3) (4) et par (12) (34). Pour chaque position quelconque de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|23| et |24| = |13| donc 4 est à l’intersection de deux cercles, il peut occuper 2 positions. sym médiane Q.fig

27 Exemples des quadrilatères obtenus
Papillon parallélogramme (14) (23) et i Trapèze isocèle Papillon trapèze isocèle à côtés parallèles

28 Le sous-groupe Z2 {i,(13)(24)}
Contraintes imposées au quadrilatère par (13)(24): Pour chaque position de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|32| et |34| = |12| donc 4 est à l’intersection de deux cercles, il ne peut occuper qu’une position car 2 occupe l’autre. sym centrale Q.fig

29 Exemples des quadrilatères obtenus
Parallélogramme Papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles.

30 Le sous-groupe Z2XZ2 ou 22 {i,(1)(24)(3), (13)(2)(4),(13) (24)}
Le sous-groupe est engendré par (1)(24)(3) et (13)(2)(4) Contraintes imposées au quadrilatère par |12| = |23| = |34| = |41| sym 2 diagonales Q.fig

31 Exemple des quadrilatères obtenus
Losange

32 Le sous-groupe Z2XZ2 ou 22 {i,(12)(34),(14)(23),(13)(24)}
Ce sous-groupe est engendré par (12)(34) et (14)(23) Contraintes imposées au quadrilatère par (12)(34) et (14)(23): Pour chaque position de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|32| et |34| = |12|. De plus |24|=|13| donc 4 est à l’intersection de trois cercles. sym 2 médianes Q.fig

33 Exemples des quadrilatères obtenus
Rectangle Papillon rectangle

34 Le sous-groupe Z4 {i,(1234),(1432),(13)(24)}
Contraintes imposées au quadrilatère. 4 angles superposables donc droits et 4 côtés superposables donc isométriques. sous grp Z4.fig

35 Exemple des quadrilatères obtenus
Carré

36 D. Synthèse. a) par des symboles D8 Z2XZ2 Z2XZ2
Les pages précédentes dûment démontrées nous permettent de conclure que le groupe diédrique D8 peut se représenter : a) par des symboles D8 Z2XZ2 Z2XZ2 Z4 deux Z2 deux Z2 Z2 1

37 b) par des mots Trapèze isocèle Papillon trapèze isocèle à côtés parallèles Papillon parallélogramme carré losange Cerf-volant Delta-plane Quadrilatère convexe quelconque Papillon quelconque Quadrilatère bec Rectangle Papillon rectangle Parallélogramme Papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles Remarquons qu’un quadrilatère de type A est déclaré cas particulier d'un quadrilatère de type B si le groupe des automorphismes du type B est sous-groupe de celui de A. Par exemple, un rectangle est un trapèze isocèle mais n’est pas un delta-plane. 

38 c) par des dessins :

39 d) par des automorphismes
(1,2,3,4) ; (1,4,3,2) ; (1,2)(3,4) ; (1,4)(2,3) ; (1,3)(2,4) ; (1)(2,4)(3) ; (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4) (1,2,3,4) ; (1,4,3,2) ; (1,3)(2,4) ;(1)(2)(3)(4) (1,2)(3,4) ; (1,4)(2,3) ; (1,3)(2,4); (1)(2)(3)(4) (1,3)(2,4) ; (1)(2,4)(3) ; (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4) (1,2)(3,4) ; (1)(2)(3)(4) (1,4)(2,3) ; (1)(2)(3)(4) (1,3)(2,4), (1)(2)(3)(4) (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4) (1)(2)(3)(4) (1)(2,4)(3) ; (1)(2)(3)(4)

40 e) Synthèse par des photos

41 Les 14 types de quadrilatères.
3 quadrilatères quelconques conservés par l’identité: convexes, papillon ou bec. 3 quadrilatères autorisant la permutation de 2 paires de sommets consécutifs: trapèze isocèle, papillon trapèze isocèle à côtés parallèles ou papillon parallélogramme. 2 quadrilatères autorisant la permutation de 2 paires de sommets opposés: parallélogramme ou papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles. 2 quadrilatères fixant 2 sommets opposés et permutant les deux autres: cerf-volant ou delta-plane. 2 quadrilatères autorisant la permutation de 2 fois 2 paires de sommets consécutifs: rectangle ou papillon rectangle. 1 quadrilatère autorisant la permutation de 2 fois 2 paires de sommets opposés: losange. 1 quadrilatère autorisant la permutation cyclique des 4 sommets: le carré.

42 Pavage du plan On peut paver le plan avec
un quadrilatère convexe quelconque. un quadrilatère bec quelconque. pavages.fig

43 Bibliographie -[1] Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx. La fleur chinoise : un avatar du cube Dossier du CeDoP – -[2] Olivier Keller Aux origines de la géométrie – Le Paléolithique – Le monde des chasseurs-cueilleurs. Vuibert – 2004 - [3] Francis Buekenhout, Jean Doyen. Espaces euclidiens. Presses Universitaires de Bruxelles – 1975. -[4] Francis Buekenhout, Jean Doyen. Ensembles structurés et groupes de symétries. Université Libre de Bruxelles - [5]Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx, Annie Goovaerts, Jacqueline Sengier Les quadrilatères gauches – Dossier du CeDoP – (En préparation). - [6]Annie Goovaerts. Classification des quadrilatères à partir de leurs axes de symétrie Dossier du CeDoP :

44 Les détails de notre recherche peuvent être consultés sur le site de l’UREM: Merci de votre attention.