Algorithme d’Euclide pour le PGCD.

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1 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 :

2 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 ×

3 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 )

4 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 )

5 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × 2 + 0

6 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est

7 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est 2

8 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est 2 Utilisation :

9 Algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Exemple : PGCD de 34 et 12 : 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est 2 Utilisation : 34/12 = (34/2) / (12/2) = 17/6 qui est la fraction irréductible de 34/12

10 Quelle est la méthode ? Exemple : PGCD de A = 34 et B = 12 :
34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est 2 étape 1 2 3 etc …. A B

11 Quelle est la méthode ? Exemple : PGCD de A = 34 et B = 12 : on a besoin du reste R de la division euclidienne de A par B. 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est 2 étape 1 2 3 etc …. A B R

12 Quelle est la méthode ? Exemple : PGCD de A = 34 et B = 12 : on a besoin du reste R de la division euclidienne de A par B. 34/12 ≈ 2,83… donc 34 = 2 × donc ( 34 ; 12 ) est remplacé par ( 12 ; 10 ) 12/10 = 1,2 donc 12 = 1 × donc ( 12 ; 10 ) est remplacé par ( 10 ; 2 ) 10/2 = 5 donc 10 = 5 × donc le PGCD de 34 et 12 est 2 étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

13 A chaque étape … … étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

14 on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B.
A chaque étape … on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B. étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

15 on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B.
A chaque étape … on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B. étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

16 on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B.
A chaque étape … on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B. étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

17 on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B.
A chaque étape … on détermine le reste R de la division euclidienne de A par B. étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

18 D’une étape à l’autre … … étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

19 le couplet ( A ; B ) est remplacé par le couplet ( B ; R ) :
D’une étape à l’autre … le couplet ( A ; B ) est remplacé par le couplet ( B ; R ) : étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

20 le couplet ( A ; B ) est remplacé par le couplet ( B ; R ) :
D’une étape à l’autre … le couplet ( A ; B ) est remplacé par le couplet ( B ; R ) : étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

21 le couplet ( A ; B ) est remplacé par le couplet ( B ; R ) :
D’une étape à l’autre … le couplet ( A ; B ) est remplacé par le couplet ( B ; R ) : étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

22 Les étapes s’arrêtent lorsque …
1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

23 Les étapes s’arrêtent lorsque …
R est devenu nul : étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

24 Les étapes s’arrêtent lorsque …
R est devenu nul : étape 1 2 3 A 34 12 10 B R

25 L‘organigramme peut-il être à actions successives ?
… étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

26 L‘organigramme est-il à actions successives ?
Non, car on ne sait pas combien d’étapes il faudra faire : exemple pour 8 et 2 il faut 1 étape ; pour 34 et 12 il faut 3 étapes. étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

27 L‘organigramme est donc …
étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

28 L‘organigramme est donc à boucle
… étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

29 L‘organigramme est donc à boucle
pour répéter l’action … étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

30 L‘organigramme est donc à boucle
pour répéter l’action … étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

31 L‘organigramme est donc à boucle
pour répéter l’action détermination du reste R. étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

32 L‘organigramme est donc à boucle
pour répéter l’action détermination du reste R. Sans utiliser une possible fonctionnalité à la calculatrice « Reste de la division eulidienne », on lui fera faire … étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

33 L‘organigramme est donc à boucle
pour répéter l’action détermination du reste R. Sans utiliser une possible fonctionnalité à la calculatrice « Reste de la division euclidienne », on lui fera faire … exemple pour la 1ère étape de notre exemple : A / B ≈ 2,833… donc quotient entier 2, donc A = 2 × B + R donc R = A – 2B qui correspondra à chaque étape à : R = A – (Partie entière de (A/B) ) × B étape 1 2 3 etc …. A 34 12 10 B R

34 Organigramme : il a cette forme
…

35 Organigramme : …

36 Organigramme : …

37 Organigramme : Saisir A Saisir B

38 Organigramme : Saisir A Saisir B

39 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B

40 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B

41 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B R = oui non

42 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B R = oui non

43 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B R = 0 oui
non A prend la valeur B B prend la valeur R

44 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B R = 0 oui
non A prend la valeur B B prend la valeur R

45 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste
Saisir B R = oui Afficher le PGCD non A prend la valeur B B prend la valeur R

46 Organigramme : Saisir A Calcul du Reste Saisir B R = 0 oui Afficher B
non A prend la valeur B B prend la valeur R

47 Programme machine : Saisir A Calcul du Reste
Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B B prend la valeur R

48 Programme machine : on ajoute des adresses sur l’organigramme
Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

49 … Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = 0 oui Afficher B
non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

50 ? → A : ? → B : Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2
Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

51 ? → A : ? → B : … Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2
Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

52 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R :
Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

53 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : …
Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

54 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 :
Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

55 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 : …
Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

56 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 : Lbl 3 : B → A : R → B : Goto 1 : Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

57 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 : Lbl 3 : B → A : R → B : Goto 1 : … Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

58 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 : Lbl 3 : B → A : R → B : Goto 1 : Lbl 2 : B Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

59 ? → A : ? → B : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 : Lbl 3 : B → A : R → B : Goto 1 : Lbl 2 : B Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

60 Application : 1°) Déterminez le PGCD de ( 1833 ; 1081 ), ( ; ), ( ; ) et de ( ; ). 2°) Proposez une modification de l’organigramme pour connaitre le nombre de divisions euclidiennes nécessaires.

61 Réponses : 1°) Déterminez le PGCD de ( 1833 ; 1081 ) 47, ( ; ) 2025, ( ; ) 1 et de ( ; ) °) Proposez une modification de l’organigramme pour connaitre le nombre de divisions euclidiennes nécessaires.

62 Réponses : 1°) Déterminez le PGCD de ( 1833 ; 1081 ) 47, ( ; ) 2025, ( ; ) 1 et de ( ; ) °) Proposez une modification de l’organigramme pour connaitre le nombre de divisions euclidiennes nécessaires. Il suffit d’ajouter un compteur de boucles :

63 ? → A : ? → B : 0 → N : Lbl 1 : A – ( Int ( A / B ) ) × B → R : N + 1 → N : If R = 0 : Then Goto 2 : Else Goto 3 : Lbl 3 : B → A : R → B : Goto 1 : Lbl 2 : B N Saisir A Lbl 1 Calcul du Reste Lbl 2 Saisir B R = oui Afficher B et N N prend la valeur N prend la valeur N + 1 non A prend la valeur B Lbl 3 B prend la valeur R

64 On obtient : PGCD de ( 1833 ; 1081 ) 47 avec 5 divisions, ( ; ) 2025 avec 4 divisions, ( ; ) 1 avec 13 divisions, ( ; ) 1024 avec 13 divisions.