Décomposer un nombre en facteurs premiers.

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1 Décomposer un nombre en facteurs premiers.
10 = 2 X 5 30 = 2 X 3 X 5 280 = 23 X 5 X 7 1 000 = 23 X 53 = 24 X 32 X 5 X 7

2 Décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé très utile en mathématique.
Il permet: - de déterminer les facteurs d’un nombre; - de simplifier des fractions; - de déterminer les PGCF et le PPCM de deux ou plusieurs nombres; - d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des fractions; - d’opérer les fractions rationnelles; - d’utiliser les lois sur les exposants; - d’extraire les racines d’un nombre; - etc.

3 Pour décomposer un nombre sous la forme de facteurs premiers, il faut connaître les notions suivantes: - qu’est-ce qu’un nombre premier ? - qu’est-ce qu’un facteur ? - qu’est-ce qu’un facteur premier ? - qu’est-ce qu’un exposant ?

4 Nombre premier Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même. On pourrait aussi dire que c’est un nombre qu’on ne peut plus décomposer en entiers plus petits. Exemple : 2 est un nombre premier car il n’a que deux diviseurs: 2 ÷ 1 = 2 et 2 ÷ 2 = 1 3 est un nombre premier car il n’a que deux diviseurs: 3 ÷ 1 = 3 et 3 ÷ 3 = 1 On peut remarquer qu’on ne pourrait pas décomposer 2 ou 3 en entiers plus petits. 6 n’est pas un nombre premier car il a plus que 2 diviseurs: 6 ÷ 6 = 1 6 ÷ 1 = 6 6 ÷ 2 = 3 6 ÷ 3 = 2 6 n’est pas un nombre premier car on peut le décomposer en entiers plus petits: 2 et 3 car 6 = 2 X 3

5 Il existe plusieurs nombres premiers:
Voici la liste des nombres premiers plus petits que 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Voici un nombre premier très grand: Voici le plus grand nombre premier découvert jusqu’à aujourd’hui (2 008) : 2 - 1 Il faut 13 millions de chiffres pour l’écrire. Heureusement, pour nos calculs, nous n’aurons pas besoin de tous les connaître !

6 x = Facteurs La réponse d’une multiplication s’appelle : produit.
Exemple : 6 X 4 = 24 24 est le produit de 6 X 4 Les nombres multipliés ensemble s’appellent : facteurs. 6 X = 24 facteur produit x = facteur 24 peut être décomposé de plusieurs façons: 1 X 24 2 X 12 3 X 8 4 X 6 On dira que les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }

7 Facteurs premiers Un facteur premier est un nombre premier utilisé comme facteur. Exemple: 2 X = 6 facteur facteur 2 et 3 sont deux facteurs de 6 ; ils sont aussi des nombres premiers. Ce sont donc des facteurs premiers.

8 Décomposons 12 en facteurs premiers:
12 = 4 X 3 3 est un nombre premier donc un facteur premier; 4 est un facteur mais il n’est pas premier; alors décomposons encore. 12 = X 3 2 X 2 2 est un nombre premier donc un facteur premier. 12 décomposé en facteurs premiers s’écrit: 2 X 2 X 3 12 = 2 X 2 X 3

9 Remarque: On aurait pu commencer avec 12 = 2 X 6. 2 est un nombre premier donc un facteur premier; 12 = 2 X 6 6 est un facteur mais il n’est pas premier; alors décomposons encore. 12 = X 6 2 X 3 3 est un nombre premier donc un facteur premier. 12 décomposé en facteurs premiers s’écrit: 2 X 2 X 3 12 = 2 X 2 X 3 Remarque: Peu importe par quels facteurs on commence la décomposition du nombre, on obtiendra toujours le même regroupement de facteurs premiers. 12 = 4 X 3 = 2 X 2 X 3 12 = 2 X 6 = 2 X 2 X 3

10 ( on peut les changer de positions ).
Remarque: Dans une multiplication, les facteurs peuvent être permutés ( on peut les changer de positions ). 12 = 2 X 2 X 3 12 = 3 X 2 X 2 12 = 2 X 3 X 2 Décompose 36 en facteurs premiers: 36 = 2 X 18 36 = 2 X 3 X 6 36 = 2 X 3 X 2 X 3 36 = 2 X 2 X 3 X 3 Remarque: de préférence, on écrit les facteurs premiers en ordre croissant. 36 = 2 X 3 X 2 X 3 36 = 2 X 2 X 3 X 3

11 Exposant Exemple: 2 3 Un exposant est un nombre qui indique combien de fois un facteur se multiplie par lui-même. ( On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. ) 5 1 Ainsi = 5 2 3 = 2 X 2 X 2 3 5 = 3 X 3 X 3 X 3 X 3 10 6 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 5 4 À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = Certaines calculatrices afficheront 5^4 5 . 4 Remarque: au lieu de

12 Il existe plusieurs facteurs premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.
Pour nos besoins de calcul, trois facteurs sont particulièrement intéressants : 2 3 5 Tous les nombres pairs se divisent par 2. 72 ÷ 2 = 36 36 ÷ 2 = 18 18 ÷ 2 = 9 Tous les nombres se terminant par 5 et 10 se divisent par 5. 125 ÷ 5 = 25 25 ÷ 5 = 5 100 ÷ 5 = 20 20 ÷ 5 = 4

13 Le facteur 3 est un peu spécial.
Si la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 3, alors le nombre se divise par 3. Exemple : 126 est-il divisible par 3 ? = 9 donc oui 126 ÷ 3 = 42 42 est-il divisible par 3 ? = 6 donc oui 42 ÷ 3 = 14 14 est-il divisible par 3 ? = 5 non, mais par 2, oui 14 ÷ 2 = 7 Remarque: Tu peux utiliser ta calculatrice pour décomposer !

14 On peut maintenant commencer.
Décompose en facteurs premiers les nombres suivants. 36 = 2 X 18 3 X 6 2 X 3 36 = 36 = 2 X X 3 X 3 36 = 22 X 32

15 225 = 5 X 45 5 X 9 3 X 3 225 = 225 = 3 X X 5 X 5 225 = 32 X 52

16 100 = 2 X 50 5 X 10 2 X 5 100 = 100 = 2 X X 5 X 5 100 = 22 X 52

17 140 = 2 X 70 2 X 35 5 X 7 140 = 140 = 22 X 5 X 7

18 210 = 2 X 105 5 X 21 3 X 7 210 = 210 = 2 X 3 X 5 X 7

19 260 = 2 X 130 2 X 65 5 X 13 260 = 260 = 22 X 5 X 13

20 Déterminer les facteurs d’un nombre.
Écrire un nombre en facteurs premiers permet de déterminer les différents facteurs d’un nombre. Exemple: 24 = 2 X 12 2 X 6 2 X 3 24 = En regroupant ces facteurs premiers de manières différentes, on obtient les différents facteurs de 24. 24 = ( 2 ) X ( 2 X 2 X 3 ) 24 = ( 2 X 2 X 2 ) X 3 24 = X 24 = X 3 24 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 3 ) 24 = ( 2 X 2 X 2 X 3 ) 24 = X 24 = X 1 Les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }

21 Donne les différents facteurs de 1 000.
= 10 X 2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 = = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5

22 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5 = X ( 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 ) X 5 = X 5 = X = ( 2 X 5 ) X ( 2 X 2 X 5 X 5 ) = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 5 X 5 X 5 ) = X = X = ( 2 X 2 X 2 ) X ( 5 X 5 X 5 ) = ( 2 X 2 X 5 ) X ( 2 X 5 X 5 ) = X = X = ( 2 X 2 X 2 X 5 ) X ( 5 X 5 ) = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) X 1 = X = X 1 Facteurs de : { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 }

23 Tu découvriras dans la poursuite de ta formation en mathématique que décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé utilisé dans plusieurs autres domaines.