Le tour des fractions en 180 minutes

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1 Le tour des fractions en 180 minutes
AQETA Le tour des fractions en 180 minutes Colette Picard Préalables : Avoir certaines habiletés motrices. Se représenter les objets dans l’espace. Reconnaître que l’entier est divisible à l’infini. Connaître le répertoire mémorisé. Décomposer les nombres. Reconnaître ses appréhensions. On n’a pas encore commencé et je suis déjà un homme mort… Habiletés motrices et spatiales Plusieurs enfants de cet âge ne sont pas encore très précis dans leur tracés. Même leur écriture est laborieuse. Plusieurs tâches font appel à la représentation spatiale. L’enfant doit se représenter mentalement le déplacement d’une figure pour en évaluer l’équivalence. Prenons un exemple; pliez une feuille normale en diagonale et ensuite encore en diagonale. Croyez-vous que ces sections peuvent être équivalente? Visuellement on croirait que non, mais certaines personnes pensent que oui. La démonstration s’impose. L’entier est divisible à l’infini Permettre à l’enfant de prendre conscience de cela c’est lui faire un cadeau presque aussi impressionnant que lorsqu’il se rend compte qu’on peut compter sans jamais s’arrêter. La représentation du fractionnement est à l’infini . Connaître le répertoire mémorisé 1. Addition/soustraction/Multiplication / division Plusieurs tâches font appel aux tables d’addition et de multiplication. Lorsqu’on reconnaît la complexité des fractions. Nous n’avons plus aucun scrupule à laisser l’accès aux tables pour certaines tâches. Nous en avons justement gros sur le cœur à propos de la mémorisation des tables, mais nous en avons déjà parlé dans d’autres conférence. Mais pour votre curiosité personnelle vous pouvez consulter les volumes concernant ces concepts chez Marie France Décomposition des nombres 1. Facteurs et multiples, et nombres premiers. Plusieurs activités peuvent être effectuées pour augmenter le confort des enfants à ce propos. Un exemple choc: multiples - facteurs ou diviseurs

2 Le sens du partage L’enfant ne reconnaît pas l’importance de l’égalité des sections SUGGESTION «Voici un gâteau, comment ferions-nous pour le partager entre vous et moi?» «Devrions-nous le couper en deux, une partie pour vous et une pour moi?» Normalement, cette offre va être refusée. Écoutez les suggestions : Normalement les enfants vont compter le nombre de personnes et dire qu’il faut le partager en 20 personnes. Exemple : «Très bien alors on peut commencer le partage en 20, on va le faire sur ce papier avant p our être certain qu’on s’est bien compris.» « On le coupe donc en 20 parties, ici on fera des parties très inégales. On aura de la résistance et c’est ce que nous voulons… » Voici dans ce cercle j’ai fais 20 parties, Alors tout est OK maintenant! (faire 20 parties inégales) Protestations prévues….. «Très bien alors quand on parle de fractions il faut parler de parties égales.» L’égalité des parties n’a pas toujours beaucoup d’importance sur des figures de papier, même si elles représentent des gâteaux. Mais dans la réalité ce concept prend tout son sens. Il faut donc garder en tête que la performance des enfants sur des problèmes réels peut être très différente par rapport à des situations hypothétiques.

3 Équivalence vs égalité
L’enfant ne reconnaît pas l’équivalence de deux parties car elles n’ont pas la même forme. Il se laisse influencer par ses perceptions. SUGGESTION En mathématique lorsqu’on parle de parties égales, cela signifie qu’elles sont superposables, mais elles sont dites équivalentes si elles représentent une même surface. Parties égales : Parties équivalentes : Pour plusieurs enfants, le concept de parties équivalentes est complexe car il nécessite des habiletés visuo-spatiales particulières.

4 Les connaissances antérieures
L’enfant pense que 4/48 est plus grand que ½. Il ne prend pas en considération le rôle du dénominateur et celui du numérateur. Les deux nombres sont traités séparément. SUGGESTION «Voici une tablette de chocolat, en voulez-vous 4/48 ou ½?» Les jeunes enfants croient que 4/48 est plus grand car les deux nombres sont plus grands dans cette fraction par rapport à l’autre. Les jeunes élèves vont choisir 4/48 car ils se réfèrent à leurs connaissances antérieures sur les nombres naturels où 48 est plus grand que 2. Je fais exprès pour que le numérateur ainsi que le dénominateur soient plus grands pour inciter les enfants à penser cela. La suite n’a que plus d’impact. Je commence la démonstration. «Je sépare cette tablette en deux pour prendre un morceau sur deux.» «Maintenant je prends cette deuxième tablette et je la sépare en deux pour avoir des demis, encore en deux pour avoir des quarts, etc. Jusqu’à 48.» Les enfants sont stupéfaits de voir que pour obtenir des 48e il faut séparer et séparer et donc que les parties deviennent de plus en plus petites. Ils pensent que puisque nous prendrons plus de morceaux nous en aurons beaucoup… Ce ne sera pas le cas. Même si je prends 4 morceaux, je n’arriverai pas à en avoir autant que ce que j’obtiens en prenant ½. Mais je viens de créer une belle situation pour parler d’équivalence. «On vient de voir que 4/48 ce n’est pas aussi grand que ½, mais est-ce que je peux faire quelque chose pour en avoir autant?» Plus de dénominateur est grand plus les parties, sont petites, notre seule chance d’en obtenir plus, c’est de prendre plus de parties.

5 Rôle du numérateur vs dénominateur
L’enfant a de la difficulté à comparer les fractions, car il traite les nombres séparément et ne fait pas de lien avec les représentations. SUGGESTION : Faire varier un terme à la fois «Comment feriez-vous pour choisir la plus grosse portion dans les cas suivants : 1/10 , 3/10, /10, 10/10, 2/10» 1/20, 1/25, 1/10, 1/100, 1/50» Cette activité permet à l’enfant de prendre conscience de l’impact du numérateur et de celui du dénominateur. On peut le faire avec différents nombres prouvu qu’on ait prévu le matériel pour que l’enfant puisse prouver sa réponse. Ce qu’il y a d’intéressant dans l’approche socio-constructiviste c’est que l’enfant est invité à démontrer sa démarche et à prouver son résultat. Ainsi il se rend souvent compte, par lui-même de ses erreurs, et cela diminue le nombres des interventions de la part du professeur. Il ne faut pas perdre de vue que c’est celui qui fait qui apprend… Demandez à l’enfant de prouver sa réponse par une illustration.

6 De quoi parle-t-on? (suite)
L’enfant ne saisit pas que l’entier peut prendre différentes valeurs. SUGGESTION «Représentez un gâteau que vous allez partager en 10 parties égales.»    «Puisque tout le monde a des dixièmes, je peux penser que si je prends 1/10 du gâteau de Frank j’aurai la même chose à manger que si je prends 1/10 du gâteau de Mia? Je distribue aux enfants des feuilles quadrillées en faisant attention qu’ils ne se rendent pas compte que les quadrillages des feuilles sont différents. «J’ai donné à chacun une feuille quadrillée, je vous demande de me représenter un gâteau rectangulaire que vous allez partager en 10 parties égales. Je veux qu’on parle de dixièmes.» Je les laisse travailler. «Puisque tout le monde a des dixièmes, je peux penser que si je prends 1/10 du gâteau de Frank j’aurai la même chose à manger que si je prends 1/10 du gâteau de Mia? Croyez-vous que j’aurai la même quantité à manger d’un étudiant à l’autre?» Les enfants ne penseront pas nécessairement à toutes les possibilités et vont possiblement me dire «OUI». Je montrerai les différences, d’abord les feuilles vont introduire une différence d’office. Ensuite les élèves auront possiblement utilisé des sections différentes pour représenter leur gâteau. Certains auront plus deux cases à chaque fois qu’ils comptent une partie sur 10, d’autres en auront pris 1 et d’autres 4 peut-être. NB: Parler des demis, des quarts etc… C’est pertinent car elles sont les fractions les plus fréquentes, mais parler des dixièmes à une importance particulière en raison du lien avec les nombres décimaux….

7 Fractionnement d’ensemble d’objets
Le fractionnement d’une figure ne nécessite pas les mêmes habiletés que le fractionnement d’un ensemble d’objets. OBSERVATION C’est en bonne partie parce que l’entier de référence est plus facile à reconstituer mentalement dans le cas de certaines figures par rapport aux ensembles d’objets. Si on vous demande de représenter ½ d’une pizza , ou de colorier ½ d’un rectangle par rapport à la représentation de ½ d’un ensemble de 64 billes, qu’est-ce qui est différent. Si je vous montre cette quantité de billes ( 4) comment savez-vous quelle fraction de la boite cela représente. Si je vous montre le quart d’une pizza, comment savez-vous ce que cela représente. «Qu’est-ce qui est différent?» Dans un cas vous n’avez pas en tête l’entier de référence alors que dans le cas de la pizza vous pouvez vous la représenter facilement. Par contre si je prends une pizza rectangulaire dont vous ne connaissez pas la grandeur et que je vous en présente un petit carré, vous avez le même problème. Est-ce pour cela que nous commençons souvent la présentation des fractions avec des tartes plutôt que des ensembles d’objets? Cela est-il si important?

8 Qu’est-ce qui est pareil entre ½ et 8/16?
Commencer par les différentes fractions qui peuvent représenter l’entier avant de passer aux représentations des parties de l’entier. SUGGESTION / / / /16 Au niveau de la manipulation on pourrait procéder par pliage. Si nous avons établi que nous pouvons parler de n’importe quelle fraction, nous pouvons partir de la demie pour l’amener vers le 2/4 par pliage. De 2/4 nous pouvons ensuite passer à 4/8 toujours par pliage. Par contre nous serons rapidement limités par les difficultés liées au pliage lui-même. Ainsi nous pourrons demander aux enfants comment pourrions-nous poursuivre. Peut-être nous diront-ils que nous pouvons faire des traits, cette suggestion nous permet de passer au mode imagé. Lorsque nous demandons aux enfants de prédire la prochaine fraction nous commençons à attirer leur attention sur les liens qui existent entre les fractions dites équivalentes et de ce fait nous préparons aussi l’abstraction… / / / /16

9 Introduire le symbolisme
SUGGESTION Déterminer ce qui vaut 1. Passer aux différentes représentations de la fraction Faire le lien entre le dessin et le symbolisme. Voici une activité nous permet d’introduire le symbolisme Sur une feuille quadrillée faites un rectangle de 8 cases de longueur par 6 cases de largeur. Séparez-le en 3, nous avons des tiers.  Coloriez une partie, celle qui est en haut de votre rectangle. Que vaut cette partie : 1/3 Pouvez-vous, en faisant un ou plusieurs traits obtenir des sixièmes?  * Que vaut la partie coloriée maintenant? On attendra les réponses des enfants. (Elle vaut encore un tiers, ou 2 sixièmes).   Que s’est-il passé? Avons-nous la même quantité? Pourtant nous n’avons pas la même fraction. Nous n’avons pas le même nombre de morceaux dans notre entier, nous n’avons pas le même nombre de parties coloriées. Qu’est-ce qui est pareil? Nous voulons amener les enfants à prendre conscience que nous avons deux fois plus de parties, mais qu’elles sont deux fois plus petites ce qui revient au même. Nous voulons introduire, mine de rien, que l’équivalence peut aussi s’obtenir par une opération mathématique qui est la suivante :   1 x = x = 4 Pouvez-vous, en faisant un ou plusieurs traits obtenir des douzièmes? Même questionnement: voir * . . Ce qui est pareil c’est le rapport entre le nombre de parties coloriées et le nombre de parties totales. C’est toujours 1/3. 1 On pourrait poursuivre avec les 24e et les 48e

10 Comparer et ordonner des fractions
SUGGESTION Déterminer ce qui vaut 1. Représenter différentes fractions (1/3, 1/6, 1/12…) Introduire l’intérêt du dénominateur commun Sur une feuille quadrillée faites un rectangle de 8 cases de longueur par 6 cases .  L’équipe 1, séparez-le en 3, vous aurez donc des ….tiers  L’équipe 2, séparez-le en 6, vous aurez donc des ….sixièmes Etc…jusqu’au 48e. Coloriez autant de parties que vous le désirez. Nous avons pensé que les enfants allaient colorier toutes les parties. Mais cela n’a pas été le cas. En fait, cela a été l’exception. Cependant même si cela avait été le cas nous aurions pu démontrer que l’entier peut s’exprimer de différentes façons : 3/3, 6/6, 12/12, 24/24. Cherchez un ami d’une autre équipe qui a la même quantité que vous.  Comment prouver que vous avez la même quantité.   Nous voulons introduire la notion d’équivalence en passant par le dénomiinateur commun. On pourrait poursuivre et introduire les opérations….  On pourrait demander de chercher une personne qui leur permettrait d’avoir un  entier tout rond…Cela nous permet de parler d’addition…Comment prouver sa réponse…Par la suite il serait facile de parler d’addition, Vous voulez ajouter des parties à votre gâteau pour en avoir le plus possible, qui choisirais-tu? Représente ce que vous avez ensemble…. On aurait des équipes qui auraient des 24e et d’autres des 48e

11 Reconstituer l’entier
SUGGESTION Progresser lentement dans le choix des formes. Cette forme représente ½, dessinez l’entier. Cette forme représente ¼, dessinez l’entier. Cette forme représente 1, dessinez l’entier. Cette forme représente 2, dessinez l’entier. Cette forme représente 4, dessinez l’entier. Ces objets représentent ½, dessinez l’entier. Ces objets représentent ¼, dessinez l’entier. Ces objets représentent 1, dessinez l’entier. Ces objets représentent 2, dessinez l’entier. Ces objets représentent 4, dessinez l’entier. Les difficultés vont être en lien avec la forme de la figure choisie. La reconstitution d’entier est-elle une compétence négligée?

12 Qu’est qu’on a dit déjà? Faire manipuler l’enfant pour qu’il découvre les différentes valeurs de l’entier et qu’il se familiarise avec le nom des fractions; Offrir des occasions pour que l’enfant traite des fractions supérieures à 1; Faire prendre conscience à l’enfant que la valeur de la fraction dépend de l’entier de référence; Laisser l’enfant explorer la notion d’équivalence; Reconnaître que le fractionnement de figures est différent du fractionnement d’ensemble d’objets; Faire une place à la reconstitution d’entier. Une grille synthèse vous a été distribuée afin de vous aider à visualiser l’essentiel de la construction du concept de fraction. Est-ce que je l’aurai vraiment donnée?

13 Les opérations sur les fractions et les décimaux
AQETA Les opérations sur les fractions et les décimaux Colette Picard (Ph.D) Préalables Identifier l’entier. Reconnaître que l’entier est divisible à l’infini. Reconnaître l’importance de l’égalité des parties. Représenter des fractions. Passer des fractions familières aux fractions décimales. Comparer des fractions décimales. Passer de la forme a/b aux nombres à virgule. Comprendre le système de numération. Fractions décimales: dont le dénominateur est une puissance de 10 (Petit Larousse)

14 Difficultés avec la représentation et l’interprétation de la réponse
½ + 1/4 = ? Difficultés avec la présentation de réponse 4/8, 5/15, 7/21 12/15 8/16    Difficultés avec la diversité des algorithmes 1/ /3 = □ 1/ /6 = □ / /4 = □ ½ /10 = □ ¾ □ L’enfant doit tenir compte de beaucoup d’éléments en même temps ce qui augmente le risque d’erreurs.

15 Passage aux décimaux : lien entre ½ , 5/10, 5/100 et 0,5
50/100 Le travail déjà effectué sur le concept d’équivalence va nous servir de base. Le passage des fractions familières aux dixièmes et ensuite aux centièmes, va nous permettre d’introduire les décimaux. Comment Faire le lien entre l’entier et la fraction. Revenir à l’entier permet à l’enfant de mieux interpréter la fraction. De même lorsqu’on peut faire la progression d’une fraction à une autre: voici l’entier, voici 1/10, 2/10 , 3/10 etc… jusqu’à 10/10 donc l’entier…. De même pour les centièmes mais sans exagération …. Quand même…. D’abord se rendre aux centièmes et montrer l’équivalence avec plusieurs exemples, le fait de montrer que l’entier peut se diviser de différentes façons est très important. Ainsi on montre comment on passe des dixièmes au centièmes et comment elles sont équivalentes. Le papier quadrillé sera notre meilleur ami! ¼ + ¼ 10/ /100 0, ,10 1/ /10

16 Progression pour ce qui est de la multiplication
2 8/10 x 2 6/10 2 x 2 2 ½ x 2 ½ 2 ¼ x 2 ¼ 4 4 4 1 4 1 1/16 Pourrait-on vraiment expliquer la multiplication des décimaux sans passer par la fraction. Pourtant le programme… Il faut donc rester vigilant en tout temps… 12/10 16/10 48/100 Lorsqu’on travaille la multiplication par la représentation rectangulaire, on favorise la réussite des élèves sur les fractions et les décimaux en plus de les préparer pour l’algèbre. En sommes-nous conscients?

17 400 4 Passage à l’abstrait 728 7,28 28 x 26 2,8 x 2,6 1, 6 1,2 0, 48
160 4 1, 6 120 48 1,2 0, 48 28 x 26 2,8 x 2,6 48 (6 x 8) La technique explicite nous permet de travailler l’addition de fraction et de donner du sens à la multiplication. Par la suite nous pouvons faire le lien entre les représentations, la technique explicite et ce que nous faisons. Ainsi nous pouvons passer de: 2,2 x 2,3 À 2/ x /10 22 X = ?? Ce diviser par 100 est très important pour nous car il explique pourquoi, nous allons reculer la virgule. On voit aussi rapidement pourquoi on travaille la multiplication et la division des décimaux par 10, 100, 1000…. C’est exercice prépare l’enfant à diviser par 100 rapidement… Ce qui sera très utile. 0,48 (0,6 x 0,8) 120 (6 x 20) 1,2 (0,6 x 2) 160 (20 x 8) 1,6 (2 x 0,8) 400 (20 x 20) 4,00 (2 x 2) 28 X 26 = 728 = 7,28 728 7,28

18 6 - 4,1 - - Diviser : de la représentation à algorithme
Recommandation du programme Garder à l’esprit que le programme considère que l’enfant doit être en mesure de diviser les décimaux par un nombre naturel inférieur à 11… - La manipulation, la représentation et la discussion sont au cœur de la réussite.