Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE.

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2 Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE.

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14 Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone.

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21 Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme.

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23 Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme. Nommons les intersections des droites.

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30 Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

31 Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

32 Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

33 Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

34 Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

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41 Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme. Nommons les intersections des droites. Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. Nommons les intersections des cercles.

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48 Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme. Nommons les intersections des droites. Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. Nommons les intersections des cercles. Nous voulons prouver que toutes ces intersections sont cocycliques.

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51 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles

52 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α

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56 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α,

57 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β

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61 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et

62 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω

63 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω.

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67 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme.

68 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme. Commençons par langle α.

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71 Cet angle α 1 est égal à α car

72 ils sont inscris dans un même cercle

73 Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle

74 Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

75 Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

76 Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. α 1 = α

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79 Cet angle α 2 est égal à α car

80 Ils ont le même angle supplémentaire θ.

81 Cet angle α 2 est égal à α car Ils ont le même angle supplémentaire θ.

82 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN

83 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN

84 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit.

85 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit.

86 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

87 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

88 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180°

89 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires :

90 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : θ + α 2 = 180°

91 Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : θ + α 2 = 180° Donc α 2 = α

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94 Cet angle α 3 est égal à α car

95 α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle

96 Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle

97 Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

98 Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

99 Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. α 3 = α 2 = α

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101 Observons le quadrilatère NHBK

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103 Observons langle supplémentaire de α 3

104 Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ.

105 Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α.

106 Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α. On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère NHBK.

107 Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α. On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère NHBK. NHBK est donc inscriptible.

108 Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α. On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère. NHBK est donc inscriptible.

109 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme. Commençons par langle α. Poursuivons par langle β.

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112 Cet angle β 1 est égal à β car

113 Ils ont le même angle supplémentaire

114 Cet angle β 1 est égal à β car Ils ont le même angle supplémentaire : ψ.

115 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF

116 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF

117 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF : cest un quadrilatère inscrit.

118 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF : cest un quadrilatère inscrit.

119 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

120 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

121 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180°

122 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180° Mais on voit aussi que β 1 et ψ sont supplémentaires

123 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180° Mais on voit aussi que β 1 et ψ sont supplémentaires : ψ + β 1 = 180°

124 Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180° Mais on voit aussi que β 1 et ψ sont supplémentaires : ψ + β 1 = 180° Donc β 1 = β

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127 Cet angle β 2 est égal à β car

128 β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle

129 Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle

130 Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

131 Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

132 Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. β 2 = β 1 = β

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134 Observons le quadrilatère NBFK

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136 Observons langle supplémentaire de β 2

137 Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ.

138 Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β.

139 Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β 2. On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK.

140 Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β 2. On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK. NBFK est donc inscriptible.

141 Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β 2. On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK. NBFK est donc inscriptible.

142 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.

143 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.

144 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.

145 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.

146 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.

147 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques. Par conséquent, le quadrilatère NHFK est aussi inscriptible.

148 Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques. Par conséquent, le quadrilatère NHFK est aussi inscriptible.

149 Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.

150 Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α

151 Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ

152 Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α 4 égal à α.

153 Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α 4 égal à α.

154 Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α 4 égal à α. Ils possèdent le même angle supplémentaire: θ

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156 Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme. Commençons par langle α. Poursuivons par langle β. Terminons avec langle Ω.

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159 Cet angle Ω 1 est égal à Ω car

160 ils sont inscris dans un même cercle

161 Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle

162 Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

163 Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

164 Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. Ω = Ω 1

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167 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car

168 Ω 2 et Ω 1 ont le même supplémentaire

169 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Ω 2 et Ω 1 ont le même supplémentaire : langle η.

170 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE

171 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE

172 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit.

173 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit.

174 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

175 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

176 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180°

177 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : η + Ω 2 = 180°

178 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : η + Ω 2 = 180°

179 Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : η + Ω 2 = 180° Donc Ω 2 = Ω 1 = Ω

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182 Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle

183 Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle

184 Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

185 Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

186 Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. Ω 3 = Ω 2 = Ω

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188 Observons le quadrilatère FJIH

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190 Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3

191 Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ

192 Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1.

193 Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1. On voit que τ et α 1 + Ω 1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH.

194 Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1. On voit que τ et α 1 + Ω 1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH. FJIH est donc inscriptible.

195 Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1. On voit que τ et α 1 + Ω 1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH. FJIH est donc inscriptible.

196 Pentagramme de Miquel Puisque FJIH est un quadrilatère inscriptible, F, J, I et H sont des points cocycliques.

197 Pentagramme de Miquel Puisque FJIH est un quadrilatère inscriptible, F, J, I et H sont des points cocycliques. Pour terminer la démonstration de ce théorème, il nous reste à prouver que G se trouve aussi sur ce cercle.

198 Pentagramme de Miquel En plaçant les 3 angles α, β et Ω différemment dans le pentagramme,

199 Pentagramme de Miquel En plaçant les 3 angles α, β et Ω différemment dans le pentagramme, Par exemple :

200 Pentagramme de Miquel Et en suivant le même raisonnement, nous trouveront 4 points cocycliques.

201 Pentagramme de Miquel Et en suivant le même raisonnement, nous trouveront 4 points cocycliques. Dans lexemple: GHIJ

202 Pentagramme de Miquel En superposant nos 2 conclusions : Les points F, J, I et H sont cocycliques. Les points G, H, I et J sont cocycliques. On prouve que les intersections des cercles circonscrits aux triangles du pentagramme (F G H I J) sont cocycliques.

203 Pentagramme de Miquel En superposant nos 2 conclusions : Les points F, J, I et H sont cocycliques. Les points G, H, I et J sont cocycliques. On prouve que les intersections des cercles circonscrits aux triangles du pentagramme (F G H I J) sont cocycliques.