CONSTRUCTION DU NOMBRE

Présentation au sujet: "CONSTRUCTION DU NOMBRE"— Transcription de la présentation:

1 CONSTRUCTION DU NOMBRE

2 Le nombre ne s’apprend pas il se construit.
(Par contre on apprend la numération et le codage) Dés que le bébé a découpé le monde qui l’entoure en objets uniques et permanents son cerveau est capable de faire deux choses :traiter les quantités (c’est le nombre) traiter le nombre qualitativement (c’est la classification) Le nombre est un concept il se construit au début chez l’enfant au sein du developpement de sa pensée ncette notion se construit sans compter Savoir sa comptine des nombres est un exercice de mémorisation, cela ne veut pas dire que l’enfant s’est construit sa représentation du nombre.

3 La notion de nombre Un concept: c’est-à-dire une notion abstraite :c’est la propriété qu’ont en commun des collections qui ont la même quantité d’objets indépendamment de leur nature, de leur taille et de leur disposition

4 La notion de nombre Une représentation :c’est-à-dire un choix culturel et arbitraire .On a décidé de représenter une information au moyen de caractères Ce sont les chiffres.

5 La notion de nombre Une fonction: Il permet de dénombrer ,de classer d’ordonner ou de mesurer

6 Le nombre entier Le nombre entier permet d’indiquer une quantité
►aspect cardinal du nombre C’est aussi le moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets ►aspect ordinal du nombre

7 A quoi servent les nombres?
A comparer. A mémoriser une quantité. A partager. A agir sur les quantités :calculer C’est la question essentiel du sens La fonction ordinale et cardinale sont complémentaires Les nombres sont des outils qui servent à COMPARER comprendre que deux quantités sont comparables et passer des relation binaires (beaucoup /pas beaucoup petit/grand avant/ après)à l’établissement d’une double relation (plus que /moins que,plus petit que/ plus grand que, Comprendre qu’étant donné un nombre on peut situer tous les autres par rapport à celui là Comprendre que pour comparer deux collections on peut comparer les nombres qui y sont associès MEMORISER UNE QUANTITE Comprendre que le dénombrement est un moyen expert de construire une collection equipotente à une collection donnée hors la présence de celle-ci(deux ensembles de m^mes puissance) PARTAGER Comprendre qu’une collection peut se partager et que ce partage peut se traduire complétement avec des nombres Etablir un relation entre le tout et les parties* AGIR SUR LES QUANTITES Sans la présence explicite des collections de reference(les transformer anticiper la reunion les partager ) donc calculer Comprendre qu’une quantité peut résulter de la composition de plusieurs quantités Comprendre que l’on peut opérer sur les nombres pour prévoir le résultat d’une transformation (sur des collections ou sur une piste graduée ) Mettre en œuvre différentes procédures (comptage surcomptage calcul avec des résultats mémorisés ) pour effectués des calculs

8 Connaître les nombres Savoir les désigner Savoir les Savoir les opérer
Savoir les utiliser pour résoudre des problèmes Savoir les utiliser pour mesurer Savoir les désigner Connaître les nombres Savoir les opérer Savoir les comparer

9 De la maternelle au CM2 La construction du nombre
Désignation d’une quantité La numération décimale Le nombre : objet d’étude Différencier valeur et quantité Les grands nombres Insuffisance des nombres entiers

10 Organisation et gestion des données
Calcul Calcul automatisé Calcul réfléchi Calcul posé Calcul instrumenté Connaissance des nombres entiers naturels Apprendre les nombres entiers naturels Grandeurs et mesures Organisation et gestion des données Résoudre des problèmes d’anticipation, de partage. Utiliser des graphiques, des tableaux…

11 Les nombres et le sens Deux types de problèmes :
Ceux qui donnent du sens aux nombres en tant que quantité, mesure ou position. Ceux qui relient le nombre et sa désignation Règles du fonctionnement de notre système de numération écrite et orale Relation d’ordre entre les nombres

12 Apprentissage de la numération
De la récitation de la comptine numérique à la désignation d’une quantité L’aspect algorithmique de la suite écrite chiffrée Du dénombrement à la désignation écrite chiffrée des quantités Numération et calcul

13 Quelles difficultés repérées au CP?
La connaissances des compléments à 10 Passage de la désignation orale à la désignation écrite Les relations arithmétiques entre les nombres: double et moitié

14 Quelle difficulté au cycle 3? La numération et les grands nombres

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16 Le modèle « Planchon » Une approche « nouvelle » de la numération
Chaque graphique correspond à un nombre (lire/écrire/décomposer le nombre) Poursuivre le tableau vers la gauche : les « milliards » Poursuivre le tableau vers la « droite » : les dixièmes (colonne B’), centièmes (C’), millièmes (D’) Comparaison de nombres, conversions…

17 Les difficultés ●Numération de position : système des bases
●Codage et décodage: ●Langue ●image mentale et cardinalité :comptage/dénombrement Les difficultés sont communes aux trois cycles .elles se complexifient

18 Activités en lien avec la construction du nombre
Ce sont des opérations logico-mathématiques Elles ne s’apprennent pas, ne s’enseignent pas, mais s’installent au fil du temps. Celles-ci se construisent à partir de stratégies cognitives : explorer, comparer, trier, classer, sérier, évoquer et mettre en relation.

19 Activités logico mathématiques en lien avec la construction du nombre
CLASSIFICATION INCLUSION SERIATION CONSERVATION ORDINALITE

20 La classification C’est la structure de penser qui nous permet de dégager des critères communs à une série d’éléments, de façon à les regrouper par collections puis de les nommer Il s’agit de classer des objets, de les regrouper selon leurs critères communs: concept de collection Le classement nécessite de la décentration car l’élève doit sélectionner, considérer deux points de vue pour organiser des groupements, des classifications. Pour les quantités ,le nom de la collection c’est le cardinal Pour Piaget il ne suffit pas de trouver un critère de le nommer et de ranger .Il faut être capable d’en changer. C’est cette mobilité ,cette souplesse de pensée qui permettra pour un même objet de le considérer sous plusieurs critères différents et donc d’organiser plusieurs rangements.(12 éléphants et un rôti à 12 euros) D’où atelier de tri dans l’animation Exemple des chapeaux des ampoules des légumes et je mets ensemble ce qui va sur la tête (casquettes kepis melon chapeau beret) quel nom donné a cette collection si je la nomme par un de ces élèments aussitôt les autres en sortent…..

21 «Classifier » je trouve les critères par moi-même ;
Précision «Classifier » je trouve les critères par moi-même ; « Classer » les critères sont déjà établis. Ces activités de classification sont basées sur la différence, la ressemblance ou l’équivalence entre les éléments d’une même classe. Une classe peut se définir : - Soit en citant tous les éléments de l’ensemble (ex : « les poires, les pommes, les abricots … » c’est la définition en extension de l’ensemble des fruits de mon jardin) ; - Soit en donnant une propriété caractérisant tous les éléments de l’ensemble et seulement ceux-là (ex : « ce sont les fruits de mon jardin » c’est la définition en compréhension qui désigne les poires, les pommes, les abricots … par un mot). La classification organise la pensée, la perception du monde réel. Il faut toujours demander aux eléves d’expliciter leurs critères et d’en trouver d’autres pour les m^me objets début de la classification à 4 ans classification partielle entre 4 et 6 ans un jeu cartes peut classer par couluers par personnages et formes des formes de tailles et couleurs diffrentes

22 L’inclusion : Elle situe les ensembles de nombres inclus hiérarchiquement les uns dans les autres. Exemple, le 1 ,représentant de la classe de tous les ensembles ayant 1 pour cardinal est inclus dans le deux, celui-ci lui-même représentant de tous les ensembles comportant deux éléments ,la suite se construit ainsi par ajout d’une unité Jeu du herisson chez acces + +

23 Activité autour de l’inclusion
On présente à l’enfant dix tulipes et deux roses .Y a t il plus de tulipes ou de fleurs? Jusqu’à 6-7 ans l’enfant se trompe et répond plus de tulipes? C’est selon Piaget un défaut d’inclusion de sous classe de tulipe dans fleurs qui inclut aussi les roses Normalement après 7 ans tout s’arrange! Tulipe est inclu dans fleur ici on fait bien de la categorisation Comment inhiber la réponse impulsive

24 La sériation: Elle concerne la capacité d’ordonner des éléments selon un ordre conventionnel et s’intéressant cette fois à leur différence. (relation d’ordre) D’un point de vue conventionnel (plus grand ,plus lourd, ou ordre alphabétique) D’un point de vue plus complexe (Annie est arrivée avant Pascale qui est arrivée la veille de l’arrivée de Valérie) Lien avec la grammaire l’emploi des adverbes………;liens étroits avec les structures logiques

25 Par exemple, les jeux à une différence conduisent à sérier un ensemble d’objets. Le rangement est une action plus complexe et donc plus contraignante que la sériation, dans la mesure où il est nécessaire de comparer chaque objet à tous les autres et non pas seulement, comme dans la sériation, à quelques d’entre eux.

26 Situation de sériation
On propose à l’enfant les deux bandes on demande à l’enfant ce qu’il pense de leur grandeur. Comment est la bleue? Comment est la rose?

27 Situation de sériation
Maintenant on introduit une jaune on la place à côté de la rose, on enlève la bleue On parle de la grandeur et on provoque le changements de statut.

28 Correspondance terme à terme ou bijection en mathématique:
●Conservation Correspondance terme à terme ou bijection en mathématique: capacité à faire correspondre 1 par 1 les éléments de deux collections et ensuite de considérer ces collections comme identiques du point de vue du nombre d ’éléments Problème des dispositions spatiales Typiquement ,il s’agit de synchroniser le pointage et la récitation de la comptine orale

29 Conservation o o o o o o o o o o o o o On place un jeton sur les croix
Capacite de terme à terme On ramasse tous les pions et on les montre dans notre main Puis on les remets tous sauf un que l’on garde dans la main On demande à l’enfant ce que l’on a dans la main déduction :1 Puis on déplace un pion sur celle qui était non couverte et même question Si la réponse est 2 ou 0 il n’y a pas de conservation du nombre o o

30 ●Ordinalité La conservation de la quantité discontinue
Une fois la correspondance terme à terme installée et reconnue ,il faut que cette notion de quantité identique soit conservée indépendamment des modifications physiques perceptibles effectuées sur la matière. 1 Difficulté de modifications topologiques Ne pas se laisser influencer sa perception visuelle pb de schématisation pour l’ensemble 9 éléphants est ce plus gros que 9 fourmis pb de modifications topologiques A A A A 2

31 Epreuve sur l’ordinalité
Au tableau une série de cartons blancs .On dispose en dessous des cartons de couleurs variées de façon aléatoire Le bleu est l’ami de celui qui est placé au dessus etc

32 Epreuve sur l’ordinalité
Les cartons vont aller se promener et on espace les cartons en créant des espaces plus grands .Et on questionne ;qui est l’ami de qui ?On continue avec d’autres espacements

33 Confusion dénombrement et comptage
D’après Brissiaux il faut faire attention entre Dénombrement :désigne toute procédure permettant d’accéder au nombre Comptage: désigne l’énumération des objets à l’aide de la comptine numérique ,la notion de tous les objets n’est pas forcément effective

34 La correspondance terme à terme
Le dénombrement (Depuis 78 R Gelman)(principe innéiste) Il y a 5 principes La correspondance terme à terme ‘(à chaque unité on fait correspondre un mot nombre) L’ordre stable de la comptine numérique (les mots nombres doivent être toujours récités dans le même ordre ) La cardinalité le dernier mot nombre prononcé se réfère à l’ensemble) L’abstraction (toute sorte d’éléments peuvent être comptés) La non pertinence de l’ordre de comptage (les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre) Pour compter les enfants doivent mettre en œuvre tous les principes simultanément ,de façon coordonnée .C’est donc par surcharge que des erreurs sont commises

35 Les différentes écritures du nombre de la PS au CM2
CYCLE 1

36 Ce qui devient au cycle 2

37 Et au cycle 3…..

38 Les 3 points essentiels à travailler
3 points essentiels à travailler..sur l'ensemble des 3 cycles et tout au long de l'année : - l'aspect cardinal et ordinal du nombre : le nombre pour mémoriser, le nombre pour comparer - les notions de groupements et d'échanges - la relation entre les nombres et le calcul : le nombre pour calculer

39 Groupements et échanges
Difficultés pour les élèves: - regrouper pour dénombrer - échanger un tas contre « quelque chose » d'unique qui lui est équivalent - comprendre la signification des chiffres en fonction de leur position (ex : 15 et 51) → Donner l'occasion aux élèves de voir et de comprendre dans une activité de groupement, comment chacune de ces écritures a été produite .

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47 Des exemples d'activités
● Des situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges: histoires de comptes, les craies, les trombones, les carrelages ● Des situations de groupements: Freddy la grenouille, les fourmillons, ● Des situations d'échange pour travailler l'écriture chiffrée du nombre: échange 2 contre 1, banquier 5 pour 1 puis 10 pour 1

48 Le matériel de numération
- Faciliter l'appropriation de la situation - Valider et justifier Permettre aux élèves de se construire une représentation mentale des nombres Le boulier au cycle 2 et au cycle 3 : → vidéo

49 Relation entre nombre et calcul
- aider à l'installation de représentations mentales des nombres chez l'élève 29 = = 10 -1

50 Quelles sont plus-values de la manipulation?
- amener à faire le lien entre les nombres et le calcul. - entrer dans l'univers numérique sans nombre - l'objet est un vecteur d'explicitation - travail de la mémoire à court terme - outils de différenciation

51 Quand et comment utiliser ces manipulations?
- en rituel, rapide, avec ou sans trace écrite - Contextualisation de la situation de départ - importance de la justification - utilisation au cycle 3 pour les nombres décimaux - une utilisation illimitée au cycle 1