Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices

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1 Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices
ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices

2 A.L. et Base Dans le terme général , i correspond à un vecteur de la base de F et j à un vecteur de la base de E.

3 Matrice d’une A.L. Matrice de l’application linéaire E  F relativement aux bases BE et BF

4 Exemple

5 Opérations

6 Théorème Une application linéaire f est bijective si et seulement si sa matrice associée relativement à deux bases quelconques est inversible.  On rappelle qu’une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul.

7 Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables (A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) :   Foin   Ensilé   Farine A 1 B C Sachant que chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C, on peut alors chercher les doses x de foins, y d'ensilé et z de farine que doit lui fournir l'éleveur. Pour cela, il faut résoudre le système suivant :

8 Recherche des solutions
(S) admet une solution unique si et seulement si A est inversible c’est-à-dire det(A)  0 : Sinon (S) admet soit 0 solution, soit une infinité de solutions.

9 Résolution pratique Par combinaison de lignes et de colonnes
Par inversion de matrice : voir cours Par la méthode de Cramer

10 La méthode de Cramer On appelle système de Cramer un système de n équations à n inconnues dont la matrice est inversible (une solution unique), c’est-à-dire telle que : D est appelé déterminant du système. Di est le déterminant issu de D en remplaçant la i-ième colonne par B.

11 Exemple

12 Changement de base La matrice d’une application linéaire f est toujours construite relativement à un choix de bases dans E et dans F. Comment relier deux matrices qui représentent la même application linéaire lorsque l’on change de bases pour E et F ? P est une matrice carrée d’ordre égal à la dimension de E. Elle est toujours inversible.

13 Si f est un endomorphisme de E, f : E  E, alors :
On dit que les matrices et sont semblables.

14 Exemple