Examen partiel #2 Mercredi le 15 novembre de 13h30 à 15h20

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1 Examen partiel #2 Mercredi le 15 novembre de 13h30 à 15h20
Salles 2850 du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2. - Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10. - Devoirs: 4 à 7.

2 Rappel... Déterminants: définition; propriétés; règle de Cramer;
calcul de l’inverse d’une matrice; aire et volume; transformations linéaires.

3 Aujourd’hui Valeurs propres et vecteurs propres. Définitions;
Propriétés; Équations aux différences; Équation caractéristique; Matrices similaires; Applications aux systèmes dynamiques.

4 10. Valeurs propres et vecteurs propres
Av Au u v

5 Définition: Vecteur propre
Un vecteur propre d’une matrice A n  n est un vecteur non nul x tel que Ax = lx pour un scalaire l quelconque.

6 Définition: Valeur propre
Un scalaire l est appelé une valeur propre de A s’il existe une solution non triviale x du système Ax = lx; un tel x est appelé vecteur propre correspondant à l.

7 Matlab: eig x = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A. [U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.

8 Équation (A - lI)x = 0 L’ensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - lI). C’est donc un sous-espace de Rn. On appelle ce sous-espace l’espace propre correspondant à l.

9 Valeurs propres d’une matrice triangulaire
Soit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale principale de A.

10 Suite du théorème des matrices inversibles
Soit A une matrice n  n. Alors A est inversible si et seulement si Le nombre 0 n’est pas une valeur propre de A.

11 Vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes
Si v1,...,vr sont des vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes l1,...,lr d’une matrice A n  n, alors l’ensemble {v1,...,vr} est linéairement indépendant.

12 Équations aux différences
Équations représentant des systèmes dynamiques. Équation du premier ordre: xk+1= A xk, k = 0,1,2,...

13 L’équation caractéristique
L’équation caractéristique est une équation scalaire à une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.

14 Propriétés des déterminants
Soit A et B des matrices n  n. a. A est réversible si et seulement si det A  0. b. det AB = (det A)(det B). c. det AT = det A.

15 Propriétés des déterminants (suite)
d. Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

16 Propriétés des déterminants (suite)
- Une opération de remplacement d’une ligne de A ne change pas le déterminant. - Un échange de deux ligne change le signe du déterminant. - La multiplication d’une ligne par un scalaire multiplie le déterminant par le même scalaire.

17 Définition: équation caractéristique
(A - lI)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - lI est non inversible (théorème sur les matrices inversibles). A - lI est non inversible si et seulement si det(A - lI) = 0.

18 Définition: équation caractéristique (suite)
Ceci nous amène donc à définir l’équation caractéristique de A. det(A - lI) = 0

19 Définition: matrice similaire
Si A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire à B s’il existe une matrice réversible P telle que P-1AP = B ou, de manière équivalente, A = PBP-1.

20 Matrice similaire (suite)
Si on remplace P-1 par Q on a Q-1BQ = A. B est donc similaire à A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.

21 Théorème: Matrices similaires et valeurs propres
Si A et B, des matrices n  n, sont similaires, alors elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).

22 Prochain cours... Diagonalisation et transformations linéaires.