Fronts d’onde 3-D Introduction ; Fronts d’onde Trame cuboctaèdrique

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1 Fronts d’onde 3-D Introduction ; Fronts d’onde Trame cuboctaèdrique
Conférence AMINA Monastir,Tunisie 13-15 novembre 2008 Labo A²SI ESIEE Un. Paris Est, France Fronts d’onde 3-D Introduction ; Fronts d’onde Trame cuboctaèdrique Extrémités et bifurcations : rein embryonnaire Nombre d’Euler-Poincaré Goulets et dénombrements : diaphyse du tibia Métriques digitales : Ostéocytes J. Serra A2SI ESIEE, Un. Paris-Est J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 1

2 Arborescence de reins embryonnaires
Arborescences du développement in vitro de reins d’embryons de rat (Prof. John Bertram, Dpt. d’anatomie, Faculté de Médecine Un. de Melbourne): Comment caractériser leurs branchements et leurs extrémités 3-D ? J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 2

3 Diaphyse du tibia d’un embryon de poulet
Deux coupes d’une série de cent (Dr. M. Staub ,M. Mendjeli, Service d’orthopédie, CHU St Louis, Paris) : Comment caractériser les cylindres emboîtés et leurs raccords ? J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 3

4 Extraction d ’ostéocytes
Deux coupes d’une série de 60 (Prof. V. Howard, Dpt d’anatomy, faculté de médecine, Un. De Liverpool) Comment extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale J. Serra Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts Image Analysis & Stereology, n° 21, sept 2002 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 4

5 Front d’onde géodésique
Lorsqu'on provoque un ébranlement en jetant un caillou dans un lac, un chapelet d'ondes se déploie et progresse, en contournant les obstacles éventuels, jusqu'aux points les plus éloignés du milieu. Le front d'onde, circulaire en l'absence de bords, lèche sinon les contours des îles et du lac pour finir par le parcourir complètement Disque géodésique Fonction distance géodésique J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 5

6 Métrique géodésique C'est pour extraire des objets connexes pointés par des marqueurs que F. Meyer et J.C. Klein a le premier transposé ces notions au cadre de la morphologie mathématique, et la première formalisation, sous le nom de ''métrique géodésique'' fut établie par C. Lantuejoul et S. Beucher. Elle repose sur le thèorème suivant de G.Choquet Théorème : Soit E un espace métrique compact et soient A et B deux parties fermées disjointes de E. S'il existe des courbes rectifiables d'extrémités dans A et B, et si l désigne la borne inférieure de leurs longueurs, alors il existe un arc simple de longueur l et d'extrémités dans A et B. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 6

7 Digitalisation: Boule => Cuboctaèdre
Les 12 projections du centre du cube sur ses arêtes génèrent un cube-octaèdre de 13 voxels. Les cube-octaèdres ne pavent pas l’espace (ils laissent les lacunes octaédriques entre eux) Cependant, ils génèrent un réseau régulier où toutes les arêtes ont la même longueur. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 7

8 Grilles en Quinconce Décomposition en quinconces des sections du cuboctaèdre En trame cubique, on construit les éléments structurants dodécaèdriques en adoptant deux modes, selon que le centre est dans un plan pair ou impair : Plans du haut et du bas : plan central impair : Plans du haut et du bas : plan central pair : J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 8

9 Eléments ultimes de fronts d'onde
Soit Bl (x) la boule géodésique ouverte de rayon l et de centre x et l0 la borne supérieure des l tels que Bl soit strictement inclus dans Z. Comme les compacts non vides Z \ Bl (x), l < l0 décroissent l'intersection È { Z \ Bl (x), l < l0 } est un compact non vide, dont tous les points sont à la distance maximale l0 de x. On appelle ''érodé ultime'' cette intersection, et Bl0 (x) dilaté ultime du point x. L'existence de points extrêmes s'envisager aussi bien dans un cadre régional, et non plus global. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 9

10 Fronts d'ondes et arborescences (I)
Soit Z un compact de Zn et xÎZ, un point de Z. Etudions la variation du nombre des composantes connexes du front d'onde F( l ,x) quand, l augmentant, l'espace Z est balayé. On suppose que les éléments critiques bifurcation ou confluent restent en nombre fini, de sorte qu'on peut toujours trouver au voisinage d'une bifurcation, un intervalle ouvert ne contenant qu’elle . F( l0,x) x Exemple de bifurcation J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 10

11 Fronts d'ondes et arborescences (II)
Le compact K (l) = Z \ B°(l,x) possède une unique composante connexe, lorsque l < l0 et davantage quand l >l0 .Pour déterminer ce qui se passe en l0 notons d'abord que s'agissant de compacts, on a È { K (l) , l < l0 } = K(l0) De plus, K(l0) est formé d'une seule composante connexe. Sinon, elles seraient séparées par une distance minimale d, ce qui est incompatible avec le fait que pour toute dilatation de taille e avec 0< e <d, le dilaté géodésique de K(l0) devient connexe. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 11

12 Fronts d'ondes et arborescences (III)
On a le résultat suivant Proposition: Soit un compact Z de Zn. Si pour tout point xÎZ, le front d'onde F( l ,x) issu de x admet un nombre fini, et à variation finie, de composantes connexes, alors quand le rayon l varie F(l ,x) partitionne Z en un nombre fini de tronçons connexes correspondant à des intervalles ouverts de l et séparés par des composantes connexes du front qui sont localisées aux points critiques des bifurcations. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 12

13 Fronts d'ondes et arborescences (IV)
Remarques: L'application «arborescence» x®P(x) qui, à tout point xÎZ associe un partition, varie évidemment avec le choix du point x. Un arbre (végétal) est une partition pour laquelle il n'existe pas de confluents pour x convenablement choisi (i.e. dans le tronc). C'est de connexité qu'il est ici question, et non pas d'homotopie: les tronçons peuvent présenter des pores fermés ou être percés de trous. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 13

14 Arborescence de rein embryonnaire
Problème : Caractériser l’arborescence du développement In vitro du rein d’un embryon de rat Méthode : en quatre étapes: 1/ construction d'un ensemble à partir des données initiales 2/ fonction distance géodésique du point d’ancrage 3/ extrémités; 4/ branchements. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 14

15 Arborescence de rein embryonnaire
Rein binarisé (vue perspective) Fonction distance du pied J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 15

16 Arborescence de rein embryonnaire
Maxima de la distance (non filtrés) Extrémités (filtrées) J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 16

17 Arborescence de rein embryonnaire
Bifurcations tridimensionnelles vues en perspective sur la projection du rein J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 17

18 Nombre d’ Euler -Poincaré
Les graphes spatiaux sont le point de passage obligé entre espaces euclidien et digital pour toutes les questions d’homotopie. Définis dans Å3 , ils peuvent être réinterprétés dans Í3 , et les notions qui en dérivent possèdent le même sens dans les deux espace. C’est en particulier le cas pour le nombre n (Y) d’Euler-Poincaré (ou ECP) de l’ensemble Y = X ~ E ~ F formé des sommets, arêtes, faces et blocs du graphe X , et qui vaut n (Y) = N (sommets) + N (faces) - N (arêtes) - N (blocs) Du point de vue digital, le problème consiste alors à associer des graphes convenables aux objets étudiés . J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 18

19 Nombre d’ Euler -Poincaré Digital
Dans Z1 on a n1 (Y) = N (sommets) - N (arêtes) = N ( ) - N ( ) . Dans Z2 il vient pour la grille carrée, n2 (Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) = N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( ) . Par comparaison entre n1 et n2 , on trouve n2 (Y) = n1 (Y) - n1 (Y , ) . J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 19

20 Nombre d’ Euler -Poincaré Cubique
De même, dans Z3 il vient pour la grille cubique n3 (Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) - N (blocs) = N ( ) - N ( ) N ( ) N ( ) - N ( ) + N ( ) + N ( ) N ( ) On retrouve le même accroissement que précédemment, puisque n3 (Y) = n2 ( Y ) - n2 ( Y , ) ( 1 ) . J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 20

21 Segmentation du tibia Problème :(diaphyse du tibia d’un embryon de poulet) : - L’os se structure en cylindres co-axiaux : les segmenter ; - Ces cylindres sont à peu près équidistants et connectés entre eux par des ponts étroits : les extraire ; - Des trous sont répartis sur l’os : les compter. Tibia (vue du dessus) et marqueur interne J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 21

22 Segmentation du tibia Description quantitative : On envahit le tibia à partir du centre, par dilatations géodésiques. On mesure à chaque pas le volume du front d’onde et on en trace la courbe. Les minima indiquent la traversée des zones « ponts » J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 22

23 Segmentation du tibia Les minima indiquent la traversée des zones « ponts », d’où la segmentation en enveloppes cylindriques emboîtées. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 23

24 Nombre d’Euler du tibia
Tibia : pour la pile des 100 sections, nous avons n3 (tibia) = (une composante connexe unique, mais percée de trous) J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 24

25 Nombre d’Euler du tibia
Ponts: Par différence entre les dilatations géodésiques n° 6 et 5 on obtient le premier jeu de ponts. On peut régulariser par une petite dilatation 3-D de taille un n3 (ponts) = 1447 n3 (ponts +B ) = 32 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 25

26 Extraction d ’ostéocytes
b) But : extraire les ostéocytes présents dans une séquence de sections, en microscopie confocale - Clichés a) et b) : sections 15 et 35 ; - Image c) : supremum M des 60 sections. J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 26

27 Extraction d ’ostéocytes
f) d) d) : seuil de c) au niveau 60 ; e) : ouverture connexe de d) f) : dilatation géodésique infinie de la séquence seuillée au niveau 200 , dans le masque e) ( visualisation en perpective ) J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 27

28 Conclusions Certaines structures 3-D sont à peu près visibles, d’autres pas; Les structures de type géométrico-topologique, comme: bifurcations, extrémités, étranglements sont accessibles par front d’onde 3-D, associé à des mesures du nombre d’Euler-Poincaré; On implémente ces fronts par des dilatations géodésiques cube-octaèdriques; La méthode , présentée pour des exemples d’anatomie, s’applique aussi bien à l’imagerie radiologique (scanner X, RMN). J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 28

29 Merci de votre attention !
J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 29

30 Référence J. Serra "Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts"  Image Analysis & Stereology - Special issue "Looking at Measurement from Various Operations of Image Analysis", dedicated to 8th ECS, Bordeaux, sept. 2001, (Supplt 1): p. S13-S21 J. Serra, AMINA, Monastir Fronts d’onde 30