SOLLICITATIONS janvier 2008 Henry THONIER (T6).

Présentation au sujet: "SOLLICITATIONS janvier 2008 Henry THONIER (T6)."— Transcription de la présentation:

1 SOLLICITATIONS janvier 2008 Henry THONIER (T6)

2 Généralités Méthodes  de détermination des sollicitations en fonction du comportement adopté : - comportement élastique-linéaire : la « résistance des matériaux » élastique classique (ELS et ELU) - comportement élastique-linéaire avec redistribution limitée (ELU seulement) - comportement plastique ELU : rotules plastiques et notamment la méthode des bielles et tirants pour lesquels il est possible d’effectuer des vérifications en ELS (moyennant certaines précautions) comportement non-linéaires (ELS et ELU) : par exemple la méthode de calcul au flambement avec effets du 2e ordre Dans les bâtiments, les déformations dues à l’effort tranchant et à l’effort normal peuvent ne pas être prise en compte, dans la détermination des sollicitations, si l’on prévoit qu’elles seront inférieures à 10 % des déformations de flexion Pour les poutres : OK si hauteur < L/5 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

3 CAS DE CHARGES ET COMBINAISONS [§5.1.3]
Pour les bâtiments, on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants pour les charges variables : les travées paires chargées les travées impaires chargées deux travées adjacentes quelconques chargées Sinon : lignes d’influence Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons) travées paires travées impaires travées adjacentes de l’appui 2 travées adjacentes de l’appui 3 travées adjacentes de l’appui 4 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

4 CAS DE CHARGES ET COMBINAISONS (suite)
ANF : « les simplifications dans les dispositions de charges à utiliser sont fondées sur le principe suivant : les cas de charge à utiliser sont ceux que l'on utiliserait si les éléments portés reposaient isostatiquement sur les éléments porteurs ; les actions ainsi obtenues sur les éléments porteurs sont forfaitairement majorées ou minorées en fonction de l'hyperstaticité ainsi négligée. » En clair, cela permet d'utiliser la méthode simplifiée française qui consiste à majorer forfaitairement les réactions d'appuis sur éléments porteurs de 10 % pour les appuis intermédiaires des poutres continues de plus de 2 travées et de 15 % pour l'appui central d'une poutre de 2 travées. janvier 2008 Henry THONIER (T6)

5 IMPERFECTIONS GÉOMÉTRIQUES [5.2]
À ne prendre en compte qu’en ELU. Valeurs associées à des tolérances normales d’exécution (classe 1 de l’EN 13670) Retenir : excentricité pour le calcul au flambement des poteaux isolés contreventés par ailleurs : L0/400 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

6 MODÉLISATION DE LA STRUCTURE [§5.3]
Définition des éléments [§5.3.1 et §9.6.1] Poutre si L > 3 h longueur L et hauteur h Dalle si b > 5 h largeur b et épaisseur h Poteau si b < a < 4 b et H > 3 b côtés a et b, hauteur H Voile si L > 4 h épaisseur h, longueur L Dalle portant dans deux directions si 0,5 L1 ≤ L2 ≤ 2 L1 L1 et L2 dimensions horizontales de la dalle janvier 2008 Henry THONIER (T6)

7 MODÉLISATION DE LA STRUCTURE (suite)
- Distance forfaitaire entre points de moments nuls Lo - Largeurs participantes des tables de compression des poutres en Té Débord participant (efficace) de table : - à gauche : beff,1 = Min[b1 ; 0,2 b1 + 0,1 Lo ; 0,2 Lo] à droite : beff,2 = Min[b2 ; 0,2 b2 + 0,1 Lo ; 0,2 Lo] La largeur participante de la table : beff = bw + beff,1 + beff,2 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

8 MODÉLISATION DE LA STRUCTURE (suite)
Portées de calcul des dalles et poutres Les calculs sont à effectuer avec la portée entre axes des poutres avec un correctif pour le cas des appuis très larges et en tenant compte de la participation du béton de l’appui dans le calcul des aciers nécessaires Pour des poutres ou dalles appuyées sur des éléments en béton (poutre, poteau, voile) qui leur sont liés monolithiquement, on peut considérer l’existence d’une diffusion de l’effort de compression de la partie inférieure (moment négatif) dans l’appui. Le bras de levier au milieu de l’appui étant alors plus grand qu’au droit de l’appui, la section d’acier nécessaire est la plus grande des deux valeurs. C’est ce qu’admet l’EC2 en permettant de retenir la section d’acier trouvée avec le moment au nu de l’appui. janvier 2008 Henry THONIER (T6)

9 MODÉLISATION DE LA STRUCTURE (suite)
A défaut d’être monolithe : La réaction d’appui FEd,sup correspond à une charge répartie (uniforme, trapézoïdale ou triangulaire) sur la largeur t de l’appui dont la moyenne vaut : q = FEd,sup / t. A toute charge uniforme appliquée sur une longueur t correspond une amplitude de moment  : DM = q.t2/8 = FEd,sup . t /8 Cette réduction de moment existe dans tous les cas et est appelée « écrêtage du moment sur appui ». Moments aux nus pour une charge uniforme p sur toute la travée : Mn1 = (1 – 1) Ma1 + 1.Ma2 + 4 1 (1 – 1) . Mo Mn2 = (1 – 2) Ma2 + 2.Ma1 + 4 2 (1 – 2) . Mo avec : 1 = a1 / Leff ; 2 = a2 / Leff Mo = p.Leff2 / 8 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

10 Portée utile des poutres et dalles de bâtiment [§5.3.2.2]
janvier 2008 Henry THONIER (T6)

11 CALCUL DES MOMENTS SUR APPUIS DES POUTRES CONTINUES - Équation des trois moments
Mêmes portées et mêmes inerties. Charges uniformes totales Mi Mi + Mi+1 = - 0,25 (pi + pi+1) L2 Mêmes inerties. Charges uniformes totales Mi-1 Li + 2(Li + Li+1) Mi + Li+1 Mi+1 = - 0,25 (pi Li3 + pi+1 Li+13) Inerties constantes. Charges uniformes totales (Li / Ii) Mi [(Li / Ii) +(Li+1 / Ii+1)] Mi + (Li+1 / Ii+1) Mi+1 = - 0,25 [pi.Li3 / Ii + pi+1.Li+13 / Ii+1] Inerties constantes. Charges quelconques (Li / Ii) Mi [(Li / Ii) + (Li+1 / Ii+1)] Mi + (Li+1 / Ii+1)] Mi+1 = - 6E (Ii wg - Ii+1 wd) Inerties variables Charges quelconques bi Mi-1 + (ai+1 + ci) Mi + bi+1 Mi+1 = - wg + wd janvier 2008 Henry THONIER (T6)

12 Redistribution des moments (en ELU seulement) [§ 5.5]
- le rapport des portées est compris entre 0,5 et 2 - les éléments sont sollicités principalement en flexion (donc pas pour les poteaux) - le coefficient de redistribution d = Maprès/Mavant est fonction de l’état de sollicitation de la section (plus la section est sollicitée, moins on peut redistribuer) par l’intermédiaire de la hauteur comprimée xu Classe d’acier fck ≤ 50 MPa fck > 50 MPa A (peu ductile d = 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,8 d = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/ecu2) (xu/d) ≥ 0,8 B ou C (ductile ou très ductile) d = 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,7 d = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/ecu2) (xu/d) ≥ 0,7 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

13 Redistribution des moments (suite)
janvier 2008 Henry THONIER (T6)

14 Redistribution des moments (suite)
d pour fck ≤ 50 MPa maprès 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ≤ 0,2 0,7 0,21 0,7001 0,7024 0,22 0,7046 0,7069 0,7092 0,7115 0,7138 0,7162 0,7186 0,721 0,7234 0,7259 0,23 0,7284 0,7309 0,7334 0,7360 0,7386 0,7412 0,7438 0,7465 0,7492 0,7519 0,24 0,7547 0,7575 0,7603 0,7632 0,7661 0,7690 0,7720 0,7750 0,7781 0,7812 0,25 0,7843 0,7875 0,7907 0,7939 0,7972 0,8006 0,8040 0,8074 0,8109 0,8145 0,26 0,8181 0,8218 0,8255 0,8293 0,8331 0,8370 0,8410 0,8450 0,8492 0,8533 0,27 0,8576 0,8620 0,8664 0,8709 0,8756 0,8803 0,8851 0,8900 0,8951 0,9002 0,28 0,9055 0,9109 0,9165 0,9222 0,9280 0,9341 0,9403 0,9467 0,9533 0,9601 0,29 0,9672 0,9746 0,9822 0,9902 0,9985 ≥ 0,3 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

15 Équation des 3 moments de poutres continues en Té
Clause (4) de l’EC2 : « Pour l’analyse structurale, dans les cas où une grande précision n’est pas requise, on peut admettre une largeur constante sur toute la longueur de la travée. Il convient alors d’adopter la valeur applicable en travée. » Mais, si l’on veut diminuer les moments sur appui, sans avoir à (ou avant de) procéder à une redistribution, il suffit de calculer les moments avec des sections d’inerties variables : - le moment d’inertie de la section rectangulaire dans les zones de moments négatifs - le moment d’inertie de la section en Té dans les zones de moments positifs On décompose la longueur L en trois parties : - section rectangulaire entre l’appui gauche et le premier point de moment nul (0,15 L0 ou 0) - section en Té entre les deux points de moments nuls (longueur 0,70 L0 ou 0,85 L0) section rectangulaire entre le deuxième point de moment nul et l’appui droit (0,15 L0 ou 0) l1 distance relative entre l’appui gauche et le premier point de moment nul (0,15 ou 0) l2 distance relative entre le deuxième point de moment nul et l’appui droit (0,70 ou 0,85) l3 distance relative entre l’appui gauche et le deuxième point de moment nul = 1 – l2 l4 distance relative entre le premier point de moment nul et l’appui droit = 1 – l1 I1 moment d’inertie de la section brute rectangulaire I2 moment d’inertie de la section brute en Té janvier 2008 Henry THONIER (T6)

16 Poutres en Té (suite) I1 : moment d’inertie de la section rectangulaire I2 : moment d’inertie de la section en Té wg = rotation à gauche de l’appui janvier 2008 Henry THONIER (T6)

17 Poutres en Té (suite) janvier 2008 Henry THONIER (T6)

18 Poutres en Té (suite) janvier 2008 Henry THONIER (T6)

19 Analyse plastique des poutres, portiques et dalles
- Les méthodes basées sur l’analyse plastique ne doivent être utilisés qu’en ELU. - On peut utiliser une méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité) ou une méthode statique (borne inférieure de la plasticité). - On pourra négliger les chargements antérieurs et admettre un chargement progressif monotone. - Pour un chargement monotone croissant, la contrainte de l’acier augmente progressivement jusqu’à atteindre eso = fyd / Es, seuil à partir duquel la rotule plastique commence à fonctionner. On devra vérifier que les sections critiques (rotules plastiques) ont une capacité de rotation suffisante pour que le mécanisme envisagé puisse se produire. Vérification explicite de la capacité de rotation janvier 2008 Henry THONIER (T6)

20 Rotules plastiques janvier 2008 Henry THONIER (T6)

21 Rotules plastiques (suite)
janvier 2008 Henry THONIER (T6)

22 Rotules plastiques (suite)
Rotation calculée qs : clause (3) « Il convient de déterminer qs à partir des valeurs de calcul des actions et des propriétés des matériaux et à partir de la valeur moyenne de la précontrainte à l’instant considéré. » Pour l’appui n° i d’une poutre continue, encadrée par deux travées Li et Li+1, nous supposerons que le moment résistant MRd,i, fonction de la section d’acier qui y a été disposé, est inférieur au moment calculé par l’équation des 3 moments MEd,i. Soit DMi, la diminution de moment en résultant : DMi = MEd,i – MRd,i janvier 2008 Henry THONIER (T6)

23 Prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant
janvier 2008 Henry THONIER (T6)

24 Prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant (suite)
janvier 2008 Henry THONIER (T6)

25 Prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant (suite)
Poutre-cloison : L/h < 3 Coefficient réducteur du moment sur appui : m2 pour 2 travées, m3 pour 3 travées identiques Déformations non prises en compte si j < 0,10 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

26 Comment réduire les moments sur appuis des poutres en Té
L’équation des 3 moments est démontrée en supposant les matériaux élastiques (rotations élastiques et moments d’inertie) Les moments sur appuis obtenus sont généralement supérieurs (en valeur absolue) aux moments maximaux en travée et conditionnent le dimensionnement des sections des poutres. Il en est a fortiori pour les poutres en Té Si l’on veut limiter la hauteur des poutres pour des raisons de coût ou de gain de hauteur sur le bâtiment, on essaye de diminuer les moments sur appuis. On peut utiliser les méthodes suivantes : a) prise en compte des déformations d’effort tranchant § (8) de l’EC2 b) prise en compte des inerties variables des sections en Té en travées et des sections rectangulaires dans les zones d’appui § (4) de l’EC2 c) redistribution limitée des moments § 5.5 de l’EC2 d) méthode des rotules plastiques § 5.6 de l’EC2 Les méthodes a) et b) sont cumulables avec la méthode c) ou la méthode d). janvier 2008 Henry THONIER (T6)

27 Comment réduire les moments sur appuis des poutres en Té (suite)
Exemple. Poutre en Té de 2 travées identiques et identiquement chargées Données b = 3 m bw = 0,35 m h = 1,40 m hf = 0,15 m portée entre axes : L = 6 m charge uniforme en ELU pEd = 680 kN/m béton : fck = 25 MPa et acier : fyk = 500 MPa beff = 1,90 m : largeur efficace de table bw + 2 bi,eff moment d’inertie de la section en Té : 0,14206 m4 d = 0,9 h = 1,26 m M0 = -p.L2 / 8 = -3,06 MNm : moment sur appui de base m0 = M0 / (b.d2.fcd) = 0,330 : moment réduit correspondant Redistribution impossible car mo > 0,294 janvier 2008 Henry THONIER (T6)

28 Comment réduire les moments sur appuis des poutres en Té (suite)
Moment sur appui en tenant compte des inerties différentes sur appui et en travée et des déformations d'effort tranchant I1 = bw.h3 / 12 = 0,08003 m4 : inertie de la section rectangulaire I2 = 0,14206 m4 : inertie de la section brute en Té Équation des 3 moments : (b1 – d1) . M1 + (a2 + c1 + d1 + d2) . M2 + (b2 – d2) . M3 = - wg + wd avec a2 = c1 = L / (24E) . (3,087 / I1 + 4,913 / I2) = 18,289 pour E = 1 b1 = b2 = 0 d1 = d2 = 1 / (L.G.S’) = 2,76 / (bw.h.L.E) = 0,939 wg = -wd = p.L3 / (24E) . (0,1095 / I1 + 0,8905 / I2) = 46,735 D’où : 2 (18, ,939) . M2 = -2  46,735 et M2 = -2,431 MNm (diminution de 21 % du moment sur appui). Redistribution de moment selon EC2 § 5.5 : d = 0,44 + 1,25 xu/d mavant = M / (bw.d2.fcd) = 2,431 / (0,35  1,262  16,7) = 0,2625 < 0,292 : on peut redistribuer Tableau donne la valeur de d en fonction du mavant : d = 0,8277 D’où maprès = 0,8277 x 0,2625 = 0,2172 Maprès = maprès . bw . d2 . fcd = 2,012 MNm Soit 66% du moment d’origine janvier 2008 Henry THONIER (T6)