Une visite guidée dans le monde des ondelettes

Présentation au sujet: "Une visite guidée dans le monde des ondelettes"— Transcription de la présentation:

1 Une visite guidée dans le monde des ondelettes

2 plan Introduction Au royaume de Fourier SFT CWT DWT Applications

3 Introduction Pourquoi une transformée ?
Optimiser la description des signaux pour extraire les informations désirées

4 Au royaume de Fourier Toute fonction peut être représentée
par une somme de sinusoïdes Comment on peut le faire M.Fourier?!!!

5 La transformée de Fourier
Analyse Synthèse

6 Le Succès Propriétés très intéressantes Algorithme très rapide

7 Limitations :La stationnarité
Signal déterministe il peut se décomposer en une somme d'ondes sinusoïdales éternelles Signal aléatoire ses propriétés statistiques (moments) ne varient pas au cours du temps

8 La non-stationnarité C’est une « non-propriété » : elle n’est définie que par son contraire!!!!!!!!!!!!!!!!!

9 La physique et Fourier : limitations
Il est ou le « la »?!!! Caractère globale Exemple : morceau musical Interprétation physique difficile Signal transitoire Réalité physique Pas de signal en dehors d’un certain support : zéro statique Fourier Zéro dynamique Interférence d’une infinité de sinusoïdes Contribution résultante nulle

10 Inégalité de Heisenberg-Gabor

11 Des classes de solutions
Gabor transformées en ondelettes

12 Transformée de Fourier à fenêtre ou T. de Gabor
Avec g(t)=e-t²

13 Interprétation : SFT comme filtrage
f f f f f f0 B SFT temps fréquence Banc de filtre uniforme

14 Ondelettes : classification
transformée continue Transformées redondantes trame d’ondelettes paquet d’ondelttes analyse multirésolution :base orthonormée Transformées non redondantes analyse multirésolution :base bi-orthogonale paquet d’ondelttes

15 Transformée en ondelettes continue : cdt. d’admissibilité
Condition suffisante d’admissibilité pour une ondelette réelle  : avec aR+, bR Atome de base

16 Transformée en ondelettes continue
Notée généralement CWT

17 CWT: interprétation comme filtrage
B SFT fréquence SFT CWT f f f f f f0 f f f f0 B 2B 4B 8B CWT temps

18 CWT: réelle ou complexe
Ondelettes réelles détection des transitions brutales d’un signal  réelle voir l’évolution temporelle des composantes fréquentielles Ondelettes analytique  complexe

19 DWT :Analyse multirésolution
Signal construit par raffinement successive Approximation+détail Le père : f. d’échelle (t) La mère: l’ondelette (t) f.b.orth f.b.orth Coefficients Approximation à l’échelle j Coefficients de détail à l’échelle j Approximation détail

20 Rappel : bases orthonormales
uV1, V1V0 Tel que W1 est le complémentaire orthogonale de V1 V0 u Pw1 u Pv1u V1

21 Rappel : bases orthonormales
Soit {v1,v2,…,vn} une base dans l’espace V,tout vecteur (fonction)peut être écrit comme: j difficile à déterminer sauf pour une base orthonormale On peut écrire alors :

22 Analyse multirésolution
Supposons qu’on se donne une fonction f appartenant à L([0,1]), discrétisée sur 8 valeurs : [ ]

23 Analyse multirésolution
On voudrait exploiter une éventuelle corrélation entre valeurs voisines Moyennant les paires de valeurs voisines [ ] [ ] moyenne [–1 –1.5 –2 –2] Perte d’information 2+(– 1) = 1, – (– 1) = 3, 6.5+(– 1.5) = 5, 6.5 – (– 1.5)= 8 , ………………….

24 Analyse multirésolution
[9.875 – –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2] moyenne différence [ ] Résolution Moyenne détail 8 4 2 1 [ ] [ ] [ ] [9.875] [–1 –1.5 –2 –2] [–2 .25 –2.5] [–5.625]

25 Analyse multirésolution
On peut considérer la fonction précédente comme une fonction sur [0,1] constante par morceaux sur les intervalles : I3,k = [2-3k, 2-3(k + 1)[, k = 0, , En notant φ (x) = I0,1(x) et φj,k(x) = φ (2jx - k), la fonction s’écrit : [9.875 – –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2] moyenne différence [ ] V0 V1 V2 V3 (t) (t) f (x) = 1φ3,0(x) + 3φ3,1(x) + 5φ3,2(x) +8 φ3,3(x) +11φ3,4(x) + · · · 15φ3,5(x) + 16φ3,6(x) + 20 φ3,7(x). On peut re-écrire alors f (x) = 2 φ2,0(x) φ2,1(x) + 13 φ2,2(x) + 18 φ2,3(x) + · · · (-1)ψ2,0(x) + (-1.5) ψ2,1(x) + (-2) ψ2,2(x) + (-2) ψ2,3(x) où : ψ(x) = I[0,1/2[(x) - I[1/2,1[(x)

26 Analyse multirésolution
V0 le sous-espace vectoriel de L2([0, 1[) engendré par les fonctions constantes sur [0, 1[ Vj l’espace vectoriel des fonctions constantes par morceaux sur les intervalles Ij,k, k = 0, 2j – 1 V0  V1  V2  V3 Pour chaque Vj, la famille{ φ j,k, k = 0, , 2j - 1} forme une base , et est orthogonale. la famille {j,k, k = 0, , 2j - 1} est une base de l’espace vectoriel Wj supplémentaire orthogonal de Vj dans Vj+1.

27 Analyse multirésolution
une analyse multirésolution de L2(R) est une famille M=VjjZ de sous espaces vectoriels fermés emboîtés · · ·  V-2  V-1  V0  V1  V2  · · · , [1] telle que [2]  jZ, f (x) Vj , f (2x)  Vj+1 [3] Il existe une fonction   V0 telle que : [4] {k, k  Z} est une base “stable” de V0, c’est à dire que : Vj=Vj+1Wj+1

28 Algorithme de Mallat La clef : équations aux deux échelles Le père
(t) dans V0  V1 avec La mère (t) dans V1 avec

29 Algorithme de Mallat: décomposition
Relation entre l’approximation au niveau j+1 et l’approximation et le détail au niveau j ~ ~ aj+1,k H 2 aj,k 1-niveau de décomposition ~ G 2 dj,k h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n] ~ j<=0

30 Algorithme de Mallat: reconstitution
Par projection de cette égalité sur j+1,k ,on trouve 2 G H + aj,k dj,k aj+1,k

31 Analyse multirésolution
h[n]: Reconstruction, filtre passe-bas g[n]: Reconstruction, filtre passe-haut h[n]: Decomposition, filtre passe-bas g[n]: Decomposition, filtre passe-haut ~ ~ ~ ~ h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n] Filtre QMF

32 Analyse multirésolution
x[n] x[n] ~ G H 2 2 G H + ~ ~ G H 2 2 G H + ~ 2 Decomposition Reconstruction

33 Analyse multirésolution: construction
Choisir une famille de base orthonormée de fonctions d’échelle Déterminer le filtre h Vérifier la convergence de l’analyse avec l’algo. en cascade Définir le filtre g à partir de h et déduire l’ondelette associée à l’aide de l’algorithme en cascade Choisir h (passe bas) (orthogonal) Algo. en cascade pour vérifier la convergence Construire g à partir de h Remarque : L’analyse est discrète mais l’ondelette et la fonction d’échelle restent continuent

34 Ondelettes : Deux degrés de liberté : Le choix de l’ondelette
Le nombre de niveaux de décomposition

35 Ondelettes : le choix nombre de moments nuls
Tout polynôme d’ordre m  M M nombre de moments nuls dj0 DWT Le lien entre un polynôme et un signal quelconque : série de Taylor utile pour la compression , suppression des signaux

36 Ondelettes : le choix Support :
quantifie resp. la localisation en temps et en fréquence Support compact Support non compact En temps En fréquence Bande étroite Bande limitée non étroite Filtre FIR Filtre IIR Daubechies, Symlets, Coiflets, etc. Meyer

37 Meilleurs sont les propriétés de
Ondelettes : le choix Régularité Plus le nombre de moments nuls augmente plus l’ondeltte est régulière Meilleurs sont les propriétés de reconstruction esthétisme Utile pour obtenir des signaux ou images reconstruits lisses et réguliers

38 Ondelettes orthogonales
Ondelettes : le choix Symétrie Utile pour éviter le déphasage (filtres à phase linéaire) Ondelettes orthogonales + Support compact O. asymétriques Ondelettes biorthogonales O. symétriques

39 Ondelettes : propriétés principales et classification
Ondelettes à filtres Ondelettes sans filtres A support compact A support non compact réelles complexes Orthogonales Biortho-gaunales orthogaunales gaus, mexh, morl cgau, shan, fbsp, cmor db, haar, sym,coif bior meyr,dmeyr,btlm

40 Une rampe+un bruit colore(ARMA)
db3 Applications :

41 Discontinuité dans le signal
db1 Chapeau mexicain

42

43 Variante : transformée de Stokwell
Ondelette de Morlet