Analyses de Sensibilité

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1 Analyses de Sensibilité
Applications en Ordonnancement Eric Sanlaville Université Blaise Pascal Clermont Ferrand Laboratoire LIMOS-UMR 6158 CNRS

2 Plan Place de l’analyse de sensibilité
Les limites de l’Analyse de Sensibilité classique Exemples d’ A. S. en ordonnancement 2 machines sans communication 2 machines avec communication 1 machine, minimisation du flow time Nombre non borné de machines parallèles Conclusions ??

3 Optimisation / Aide à la décision sous incertitudes
Fonction z à minimiser sous des contraintes dépendant de paramètres numériques I instance du problème : ensemble de valeurs pour les paramètres. S solution de I : vérifie les contraintes pour I Incertitudes sur un paramètre : sa valeur est inconnue. Estimée par une valeur Restreinte sur un intervalle ou un ensemble de valeurs Définie par une variable aléatoire BUT : Construire des solutions pas trop mauvaises quelles que soient l’instance réalisée Cadre : on suppose que certaines décisions, voire toutes, doivent être prises avant la levée de l’incertitude (cadre Proactif).

4 Analyse de Sensibilité
Soient une instance I et une solution S fixées QUESTION : Que devient la solution S quand I varie? S est –elle toujours une solution? S reste-t’elle optimale? Si non quelle est sa dégradation de performances? Quelle est la nouvelle solution optimale ? Au fait, comment mesurer la dégradation de performances??

5 Objectifs de l’Analyse de Sensibilité
Cadre Proactif pour l’optimisation sous incertitudes. Répondre à la question : Etant donné une solution S calculée au moins en partie avant la levée des incertitudes (première phase), quelle sera la performance de S pour l’instance réalisée ?

6 Analyse de Sensibilité
Robustesse Ré-optimisation Mesures de robustesse Nouvelle solution ?

7 Robustesse Soit un ensemble d’instances P
BUT : calculer la solution de robustesse maximum sur P. 2 Approches : Stochastique : des probas sur les instances, et une mesure probabiliste Par scénarios : mesure au pire sur l’ensemble P On a un nouveau problème d’optimisation. Peut-on le résoudre? Est-il possible de trouver un algorithme calculant toujours la solution la plus robuste quelle que soit l’instance?

8 Ré-optimisation Soit une instance I, S* optimum sur I
Soit une instance I’, «voisine» de I BUT : Calculer une nouvelle solution optimale pour I (à partir de S* ?) Problème : il n’est pas toujours possible d’intervenir librement après la levée des incertitudes (Ce serait plutôt le contraire !!) Objectif moins ambitieux : la réparation ?

9 A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes
A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes? Vision optimiste AS en PL, PLNE : étendue des changements sur UN paramètre (coefficient de l’objectif, partie droite) sans perte de l’optimalité de S* ou de z*. Etude de Stabilité (rayon de stabilité) HOURRAH : Avec le simplexe, on a en même temps la solution et sa stabilité, donc ON SAIT REPONDRE AUX INCERTITUDES ! Inutile de chercher plus loin et d’étudier des modèles plus élaborés, stochastiques ou autres. Marche à suivre si un paramètre varie. Soit on reste optimal. Soit on ré-optimise (et c’est facile avec le simplexe).

10 A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes
A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes? Vision pessimiste : à rien Ce n’est pas aussi simple pour tous les problèmes Ré-optimisation pas toujours possible (rarement?): Il faut prendre des décisions avant la levée des incertitudes Exemples: affectation en ordo parallèle; dimensionnement de réseaux La solution proposée peut être TRES sensible à certaines perturbations quand on dépasse le rayon de stabilité Cela ne répond pas du tout à une véritable INCERTITUDE sur les données (pas de valeur privilégiée, plusieurs paramètres incertains).

11 La solution finalement construite sera robuste
A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes? Vision optimiste Les solutions optimales ont de bonnes propriétés Construisons un ensemble de solutions optimales Choisir des instances parmi les possibles échantillonner Prenons des décisions compatibles avec ces solutions (extraction d’une structure commune) Conséquence : La solution finalement construite sera robuste S1, S2,…,Sn

12 Comment mesurer la robustesse d’une solution ?
(Hypothèse : ensemble P d’instances possibles) Modèle stochastique sous jacent : les paramètres : variables aléatoires Une proba pour chaque instance Minimiser un critère stochastique : E(z) Déviation / optimal déterministe ex : E (zI(S) / zI*) Modèle par scénarios, ou par intervalles : analyse au pire Max zI(S) (robustesse absolue ) Déviation / optimal ex : Max zI(S) / zI*

13 Exemple 1 (Wallace 00) Max Z = 3A + 2B + C
3 produits A, B, C. production =1 demandes pour A et B : a et b inconnues, mais leur somme vaut 1. demande pour z : 1 a connue après la décision Solution optimale pour a fixée : (a,1-a,0) Max Z = 3A + 2B + C A  a B  1-a A+B+C  1 Infaisable ! Solution robuste (pour espérance) : (0,0,1) Les solutions optimales ont une structure indésirable : A,B >0, C =0

14 Exemple 2 (Mahjoub 04) 1/ / SUj : Ordonnancement sur une machine, minimiser le nombre de tâches en retard. Indisponibilité possible de la machine au démarrage Cas de deux scénarios : pas d’indispo, ou une indispo sur [0,3] S1 S2 S3 OK [0,3] Max (z - z*) 7 4 3 1 1 2 3 4 5 6 7 d1 = 3 d4 =6 d7=9

15 Il faut utiliser des mesures plus complètes.
Quelles conclusions ?? L’objectif de stabilité est insuffisant pour obtenir des solutions robustes Il faut utiliser des mesures plus complètes. Les solutions robustes : pas forcément issues des solutions optimales en déterministe. L’AS classique ne permet pas une réelle prise en compte de l’incertitude. Elle est adaptée pour des problèmes intrinsèquement déterministes, avec perturbations (aléas) mineures. Le choix : analyse au pire ou modèle stochastique?

16 Méthodologie (proposition !)
Déterminer les instants de décision. Modèle proactif imposé ou pas? (Flexibilité a priori du problème) Modèle stochastique ou non? Déterminer l’ensemble d’instances pour l’étude P. Choisir une mesure de la robustesse.

17 Méthodologie II HYP :on dispose d’une méthode de calcul A
Effectuer une AS de A pour P et R Resultats satisfaisants ? OUI STOP NON 1/ Améliorer la robustesse de A : A’ 2/ Optimiser la robustesse A*

18 Exemples d’Analyse de sensibilité au pire en Ordonnancement
Compromis entre AS et Maximisation de la Robustesse

19 2 / / Cmax (Hall Posner 2000) Analyse de stabilité
n tâches, de durées pj. Perturbations sur les durées. Soit S* un ordonnancement optimal. On suppose que la tâche Tn peut augmenter sa durée. Tn est placée en dernier sur la machine M2 (supposée sans oisiveté). 3 6 M1 P4 = 2 + D 1 2 S* M2 3 4 5 7 Pour conserver une solution optimale, il faut faire un échange de tâches entre les machines dès que D > 1 M1 M2 S’ 1 4 3 2

20 2 / / Cmax Analyse de sensibilité
HP : heuristique qui teste certains de ces échanges. Cette heuristique donne également une borne supérieure sur D / S* reste optimal : Du 3 6 M1 2 Ici le rayon de stabilité de S* est nul S* M2 3 4 6 7 + D P6 = 1 + D TH : si D  Du, z(S*)/z*  8/7 M1 3 4 S’ Du = 1, la borne est atteinte M2 2 6 7

21 2 / / Cmax Robustation Si on utilise leur heuristique d’échange, on peut perdre l’optimalité mais gagner en robustesse TH (HP simplifié): si D  Du’, z(S’)/z*  8/7 avec Du  Du’  10/3 Du’ La garantie 8/7 est conservée plus longtemps pour S’. Mais les bornes sur D dépendent De S* et de l’instance !!

22 2 /com, tree/ Cmax (Moukrim Sanlaville Guinand 03)
Les tâches exécutées sur des machines différentes communiquent si elles sont liées par une contrainte de précédence (info parallèle, atelier et temps de transport) : Délais de communication c Version déterministe : le problème est polynômial si : 2 machines Communications unitaires, durées des tâches unitaires Graphe : arbre On a alors 4 algorithmes différents pour le résoudre! Incertitudes : sur les durées des communications

23 a c b e 3 x 2 y d R z 1 e x b c d R y a z M1 M2 S1 7 x y z R e a b c d M1 M2 S2 7 Processeur ordonné

24 Les délais de communication ne sont pas tous égaux à 1 !!
Supposons que les délais valent 2 entre : e et 2, 3 et 2, 2 et 1, 1 et R, d et R (1 ailleurs) e x b c d R y a z S1 10 x y z R e a b c d 8 S2 S2 x y d R e a b c z S3 7

25 2 /com, tree/ Cmax Analyses de sensibilité
C : valeur maximum des délais de com c : valeur minimum S* quelconque : z(S*) / z*  (C+1)/2 La borne est atteinte pour 3 des 4 algos Déviation relative S* P-O : z(S*) – z*  C – c (car : ils sont stables) Déviation absolue Quand les algorithmes P-O sont-ils dominants ? OUI : délais nuls; délais 1. NON : c [0,1]; c1; m >2

26 1/ / S Cj (Penz et al 2001, Daniels et Kouvelis 95, Averbakh et Lebedev 03)
Problème déterministe : SPT (Shortest Processing Time) est optimal. Incertitudes sur les durées. (PRT) Analyse de Sensibilité de SPT: borne sur la déviation relative z/z* en fonction de l’amplitude de la perturbation (DK) Robustesse dans le cas d’un ensemble discrèt de scénarios (AL) Robustesse dans le cas d’intervalles continus

27 1//S Cj : Analyse de Sensibilité
Durées réelles : pj = (1+ej)qj ou qj durées estimées Amplitude de la perturbation e : 1+e = (1+e+) / (1-e-) , e+ = max(ej); e- = max(-ej) TH 1(PRT) : sous des conditions très générales et pour Cmax et SCj , La déviation relative au pire est bornée : z / z*  (1+ e). TH 2 (PRT) : Pour SPT et 1// S Cj , z(S) / z*   (1+ e). La borne est atteinte dans le cas où toutes les estimations sont égales

28 1//S Cj : Maximisation de la robustesse
Mesure de robustesse : Déviation absolue au pire z – z* (DK) Dans le cas de 2 scénarios, trouver l’ordonnancement qui minimise (z –z*) est NP-difficile (AL) Dans le cas d’intervalles continus pour les durées, aussi. Le problème est polynômial pour des intervalles centrés et n pair : l’algorithme place en milieu de séquence les tâches de plus grand intervalle.

29 1//S Cj : Quelles conclusions ?
D’un côté, on a un algorithme SPT peu sensible aux perturbations, avec un bon comportement pour la mesure de la déviation relative. De l’autre, un résultat négatif sur la maximisation de la robustesse pour une deuxième mesure, la déviation absolue. QUESTION 1: SPT minimise la déviation relative? QUESTION 2 : la déviation absolue est-elle un bon critère pour un critère additif?

30 Retour sur les exemples
1(indispo)//S Uj : une solution robuste ne doit pas forcément être cherchée parmi les solutions optimales en déterministe. 2//Cmax : une analyse de sensibilité classique (paramétrique) sur une solution optimale quelconque, avec une tentative pour rendre l’ordonnancement plus robuste. 2/com,tree/Cmax :une analyse de sensibilité au pire comparée pour différents algorithmes optimaux en déterministe. 1//SCj : une analyse de sensibilité au pire, une maximisation de robustesse

31 Conclusions ??? Pas de jugement péremptoire.
Je me suis placé dans un cadre proactif. L’hypothèse implicite : l’incertitude peut être complètement décrite. Si ce n’est pas le cas, ou si l’AS ou la maximisation de la robustesse n’apportent pas de réponses probantes: Approche proactive/prédictive. Importance du choix de la mesure de robustesse privilégier les mesures au pire (déviations) ? Modèle stochastique ?

32 REFERENCES Daniels Kouvelis. Management Science 1995
Guinand Moukrim Sanlaville. Parallel Computing 2003 Hall Posner. www-iwse.eng.ohio-state.edu/ISECourses/ise824 Lebedev Averbakh. Discr. Appl Math, à paraître 2003. Mahjoub A. These GILCO Grenoble 2004 Penz Rapine Trystram. EJOR 2001 Wallace S. Operations research 2000