Traitement d’images : concepts fondamentaux

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1 Traitement d’images : concepts fondamentaux
Définitions fondamentales et prétraitements :  Information représentée par un pixel, Manipulation d’histogrammes : égalisation, Filtrage passe-bas. Introduction à la morphologie mathématique (cas binaire) :  Erosion, dilatation, ouverture et fermeture binaires, Reconstruction géodésique, étiquetage en composantes connexes, Squelette. Détection de contours : filtrage passe-haut, filtrage optimal, traitement des contours : fermeture, transformée de Hough. Introduction à la classification (cas pixelique) : algorithme des k-ppv, des c-moyennes critères bayésiens : MV, MAP.

2 Classification : objectifs
Mettre en évidence les similarités/ dissimilarités entre les ‘objets’ (e.g. pixels) Obtenir une représentation simplifiée (mais pertinente) des données originales Mettre sous un même label les objets ou pixels similaires  Définitions préalables Passer de l’espace des caractéristiques à celui des classes → règle : supervisée / non supervisée, paramétrique / non paramétrique, probabiliste / syntaxique / autre, avec rejet / sans rejet Espace des caractéristiques d (sS, ysd) Espace de décision = ensemble des classes W (sS, xsW), W = {wi, i[1,c] } Règle de décision ( = d(ys) ) Critère de performance numériques ou syntaxiques

3 Ex. de classification non paramétrique
Classification k-ppv (plus proches voisins) On dispose d’un ensemble (de ‘référence’) d’objets déjà labelisés Pour chaque objet y à classifier, on estime ses k ppv selon la métrique de l’espace des caractéristiques, et on lui affecte le label majoritaire parmi ses k ppv Possibilité d’introduire un rejet (soit en distance, soit en ambiguïté) Très sensible à l’ensemble de référence Exemples : Euclidienne, Mahanolobis…  Possibilité de modélisation de loi complexes, de forme non nécessairement paramétrique (ex. en 2D disque et couronne) 1-ppv 3-ppv 5-ppv k-ppv (/24)

4 Connaissance des caractéristiques des classes
Cas supervisé Connaissance a priori des caractéristiques des classes Apprentissage à partir d’objets déjà étiquetés (cas de données ‘complètes’) Cas non supervisé Définition d’un critère, ex. : - minimisation de la probabilité d’erreur - minimisation de l’inertie intra-classe  maximisation de l’inertie inter-classes Définition d’un algorithme d’optimisation

5 Equivalence minimisation de la dispersion intra-classe / maximisation de la dispersion inter-classes

6 Algorithme des c-moyennes (cas non sup.)
Initialisation (itération t=0) : choix des centres initiaux (e.g. aléatoirement, répartis, échantillonnés) Répéter jusqu’à vérification du critère d’arrêt : t++ Labelisation des objets par la plus proche classe Mise à jour des centres par minimisation de l’erreur quadratique : Estimation du critère d’arrêt (e.g. test sur #ch(t) ) c=2 c=3 c=4 Remarques : # de classes a priori Dépendance à l’initialisation c=5

7 Variantes K-moyennes ISODATA Nuées dynamiques
Regroupement ou division de classes  nouveaux paramètres : qN=#min objets par classe, qS seuil de division (division de la classe i si : maxj[1,d]sij > qS et #objets de la classe > 2qN+1 et Iintra(i) > Iintra), qC seuil de regroupement (regroupement des classes i et j si : dist(mi, mj)qC), #max itérations Nuées dynamiques Remplacement de la mesure de ‘distance’ par une mesure de ‘dissemblance’ dis(ys,wi)  minimiser classe i représentée par son ‘noyau’, e.g. centre ( K-moyennes), plusieurs ‘échantillons’ de référence zl l[1,p] (dis(.,.) = moyenne des distances de l’objet aux  zl)

8 Probabilités et mesure de l’information
Probabilités fréquencistes / subjectivistes Physique stat. : répétition de phénomènes dans des ‘longues’ séquences  probabilité = passage à la limite d’une fréquence ≠ Modèle de connaissance a priori : degré de confiance relatif à un état de connaissance  probabilité = traduction numérique d’un état de connaissance Remarque : Quantité d’information et probabilités I = -log2(pi)  I ≥ 0, information d’autant plus importante que évènement inattendu (de faible probabilité)

9 Théorie bayésienne de la décision
La théorie de la décision bayésienne repose sur la minimisation du ‘risque’ Soit Ct(x,x’) le coût associé à la décision de x’ alors que la réalisation de X était x La performance de l’estimateur x’ est mesurée par le risque de Bayes E[Ct(x,x’)] = Coût marginal (conditionnel à y) à minimiser Or x’P(x’/y)=1 et x’, P(x’/y)≥0, La règle qui minimise le coût moyen est donc celle telle que P(x’/y)=1 si et seulement si xP(x/y)Ct(x,x’)=1 P(x’/x,y)=P(x’/y) car décision selon y seul

10 Exemple Détection d’un véhicule dangereux (V)
Décider V si et seulement si  Cas où a>b, on va décider plus facilement V que V en raison du coût plus fort d’une décision erronée en faveur de V que de V

11 Critère du Maximum A Posteriori
Ct(x,x’) = 0, si x = x’ = 1, si x  x’

12 Cas d’un mélange de lois normales
Exemples

13 Estimation de seuils (cas supervisé)
Image = ensemble d’échantillons suivant une loi de distribution de paramètres déterminés par la classe ex. : distribution gaussienne Cas 1D (monocanal), si seuil de séparation des classes wi et wi+1, probabilité d’erreur associée : Maximum de vraisemblance :

14 Maximum de vraisemblance (suite) :
Maximum A Posteriori : 

15 Lien c-moyennes / théorie bayésienne
Maximum de vraisemblance sur des lois de paramètres qi (e.g. qi=(mi,Si)) inconnus : Cas d’échantillons indépendants : max. de la logvraisemblance d’où : (*) or : d’où (*)  Cas gaussien, Si connus, mi inconnus  résolution itérative c-moyennes : Si=Id i[1,c] et P(wi | ys,q) = 1 si wi = xs, = 0 sinon en effet : en effet : d’où :

16 Classification SVM (Séparateurs à Vastes Marges) (Vapnik, 1995)
Exemple de classification à base d’apprentissage Hyp. :  1 classifieur linéaire dans un espace approprié  utilisation de fonctions dites à noyau pour projetter les données dans cet espace Exemple simplissime (cas binaire) : Supervisé / Semi-supervisé Critère d’optimalité  maximisation de la marge distance entre hyperplan et ens. des échantillons Vecteurs de support Marge = 2/||w||

17 Cas séparable : il ‘suffit’ de maximiser la marge
Ex. de noyaux : polynômial, sigmoïde, gaussien, laplacien. Cas non séparable  projection dans 1 espace de dimension supérieure :

18 Calcul de l’hyperplan (cas linéaire, 2 classes)
xi{-1,1} Éq. de l’hyperplan séparateur : h(y) = wTy + w0 = 0 Condition de séparabilité : Problème sous sa forme ‘primale’ marge =  minimiser sous contrainte  minimiser lagrangien : Nombre d’échantillons d’apprentissage

19 Calcul de l’hyperplan (cas linéaire, 2 classes)
Problème sous sa forme ‘duale’ en annulant les dérivées partielles du lagrangien : à introduire dans (1) Ne fait intervenir que les vecteurs de support Soluble par programmation quadratique 

20 Nécessaire de connaître uniquement le produit scalaire
SVM Cas non linéaire Transformation non linéaire f Nécessaire de connaître uniquement le produit scalaire Fonction à noyau Exemples de noyaux polynômial gaussien

21 Utilisation des SVM pour la classif. d’image
Principalement cas de données de grande dimension  Niveau pixel caractéristiques multi-échelles caractéristiques spectrales  Niveau objet caractéristiques de forme caractéristiques de texture  Niveau image caractéristiques en termes de pixels d’intérêt À comparer avec k-ppv, & réseaux de neurones. En entrée de la classif. : 1 image des données + 1 segmentation  labelisat° des segments Classification de l’image, e.g. en terme de type de scène Difficulté principale : choix des caractéristiques en entrée, du noyau de la stratégie pour passer en multi-classes (1 contre 1, 1 contre tous)  SVM  boite ‘noire’ efficace mais interprétation a posteriori limitée

22 Classification : exercices (I)
Soit l’image à deux canaux suivante : Soit les pixels de référence suivants : label 1 : valeurs (1,03;2,19) (0,94;1,83) (0,59;2,04) label 2 : valeurs (2,08;0,89) (2,23;1,16) (1,96;1,14) Effectuer la classification au k-ppv. Commentez l’introduction d’un nouveau pixel de référence de label 1 et de valeurs (1,32;1,56) 2,48 1,68 2,24 2,55 2,36 1,64 2,20 1,42 1,96 2,43 1,95 1,61 2,23 1,55 2,50 1,57 1,65 1,92 2,34 1,41 2,45 1,50 2,28 2,53 2,11 2,08 2,27 1,63 1,32 0,80 1,20 0,59 0,94 1,36 1,59 1,03 1,14 1,26 1,04 0,83 1,10 1,09 0,64 1,52 0,40 0,55 1,30 1,33 0,95 0,50 1,13 0,70 0,76 1,16 0,56 1,60 1,06 1,33 0,67 0,55 1,32 0,80 1,42 1,44 1,23 0,51 0,95 0,81 1,04 1,03 1,16 0,43 0,45 1,35 0,91 1,21 1,55 1,53 0,60 1,18 0,83 0,89 0,58 1,14 1,47 1,06 1,56 1,52 1,78 2,04 1,79 2,50 1,72 1,83 2,19 2,14 1,76 2,49 1,46 1,41 1,80 2,31 1,68 2,54 1,62 2,44 2,41 2,40 2,56 2,48 2,35 2,28 1,95 1,51 2,24 2,53 1,50

23 Exercices (I) : correction

24 Classification : exercices (II)
Sur l’image à deux canaux précédente : Déterminer les seuils de décision pour chacun des canaux si l’on suppose 2 classes gaussiennes de caractéristiques respectives : canal 1 : (m1,s1)=(2.0,0.38), (m2,s2)=(1.0,0.34) canal 2 : (m1,s1)=(1.0,0.36), (m2,s2)=(2.0,0.39) Effectuer la classification par seuillage. Effectuer la classification c-means pour c=2. Comparer avec les résultats précédents. Comparer avec la classification c-means pour c=3.

25 Exercices (II) : correction

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27 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions.
J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse d’images : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.