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69 Unité 3: Représentation interne des informations
Objectifs : À la fin de cette unité, - vous saurez comment passer d’une base à l’autre - vous saurez comment sont représentés dans l'ordinateur les nom-bres fractionnaires et les nombres exprimés en virgule flottante. - vous saurez comment l'ordinateur effectue des calculs sur des nombres utilisant ces représentations. Pour y arriver, vous devez maîtriser les objectifs suivants : - passer d'une base à une autre par différentes méthodes : évaluation à la main, à l'aide de tables, ou à l'aide d'une calculette; 69

70 Unité 3: Représentation interne des informations
Objectifs : - passer d'une chaîne de caractères entrée au clavier pour représenter un nombre entier, et la convertir dans le format binaire que comprend l'ordinateur, en passant par la représentation intermédiaire BCD. - convertir la partie fractionnaire d'un nombre décimal dans sa représentation binaire et vice-versa; - convertir un nombre réel dans sa représentation en virgule flottante; - effectuer les quatre opérations arithmétiques sur des nombres en virgule flottante 70

71 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Le BCD Le BCD est un code dans lequel chaque chiffre d’un nombre décimal est codé en binaire sur 4 bits. Ces chiffres peuvent être représenté sur un octet individuel, c’est le BCD non compacté. Exemple : 32710  Comme chaque chiffre n’utilise que 4 bits, on peut les grouper 2 par octet. C’est le BCD compacté.  71

72 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Il s’agit d’évaluer l’expression dans la base destination. Décimal-binaire : 14210 = (1  102) + (4  101) + (2  100) = (1   10102) + (1002  10102) = 72

73 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Décimal-binaire : On peut effectuer les multiplications par 10 en remarquant que 10x = 8x + 2x, et en se rappelant qu’un décalage à gauche de 1 bit est une multiplication par 2. C’est généralement plus rapide que la multiplication binaire. Ainsi, x = = 1002 x = = On obtient finalement : 14210 = et 14210 = 73

74 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Binaire-décimal : = (1  27) + (0  26) + (0  25) + (0  24) + (1  23) + (1  22) + (1  21) + (0  20) = = = 14210 74

75 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Factorisation de Horner = anBn + an-1Bn-1 + … + a1B + a0 = (((((0 + an)B + an-1)B + an-2)B …+ a1)B + a0 75

76 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Binaire-décimal (algorithme R = b + 2R) R = 0 1 + 2  0 = 1 0 + 2  1 = 2 0 + 2  2 = 4 0 + 2  4 = 8 1 + 2  8 = 1710 1 + 2  1710 = 3510 1 + 2  3510 = 7110 0 + 2  7110 = 14210 Arithmétique BCD 76

77 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Décimal-binaire (algorithme R = c + 10R) R = 0  0 = 1  1 = 11102  = 77

78 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Dans les techniques précédentes, on effectuait la conversion en utilisant l’arithmétique de la base destination. Toutefois, on peut vouloir effectuer ces conversions en utilisant l’arithmétique de la base source. C’est le cas, par exemple, quand l’ordinateur, qui doit travailler en arithmétique binaire, désire effectuer une conversion binaire-décimal. Pour convertir une nombre N d’une base source à une base destination en utilisant l’arithmétique de la base source, on divise le nombre N par la base destination en utilisant l’arithmétique de base source, jusqu’à ce que le quotient soit nul. La représentation de N dans la base destination est alors donnée par la séquence renversée des restes. 78

79 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Exemples : Convertir 2710 en base 4 : 27 27 / 4 = 6, reste 3 6 / 4 = 1, reste 2 1 / 4 = 0, reste 1 27 = 123 10 4  79

80 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Exemples : Convertir en base 10 / = 11102, reste 00102 1110 / 1010 = 0001, reste 01002 0001 / 1010 = 0000, reste 00012  = = en BCD compacté ou en BCD non compacté 80

81 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal d’entiers à l’aide de la table de l’appendice 4.1 du supplément La table hexadécimal-décimal est basée sur le principe qu’un nombre comme 14A616 est la somme de A On va donc chercher la valeur décimal correspondante de chacun dans la table et on en fait la somme: = Cette méthode peut être utilisée pour la conversion binaire-décimal par programmation et s’avère très rapide. 81

82 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal d’entiers à l’aide de la table de l’appendice 4.1 du supplément On pourrait faire une table décimal-hexadécimal pour la conver-sion inverse. On peut également utiliser la même table que plus haut avec quelques calculs supplémentaires. On cherche dans la table la plus grande valeur décimale qui soit inférieure au nombre à convertir. On soustrait ce nombre, et on recommence avec le reste. = > = > = 610 -> + A016 = 0 -> + 616 = 14A616 82

83 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Conversion à partir l’ASCII Exemple : Supposons que l’utilisateur a tapé 327. On retrouve en mémoire les caractères ASCII ‘3’, ‘2’ et ‘7’ qui ont la représentation : On soustrait (3016 ou ‘0’) de chacun de ces caractères, ce qui nous donne la représentation en BCD non compacté : On utilisera ces octets pour faire la conversion BCD-binaire. 83

84 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base Conversion vers l’ASCII De la façon inverse, après qu’on a effectué une conversion binaire décimal, on a une série d’octets qui constituent la représentation BCD non compacté du résultat. On n’a qu’à ajouter 3016 à chacun pour obtenir la représentation ASCII du nombre. Par exemple : = ‘3’ ‘2’ ‘7’ 84

85 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base N  anBn + an-1Bn-1 + … + a1B1+ a0 B0+ a-1B-1 + a-2B-2 + … En binaire, ai = 0 ou 1 et B = 2 N  an2n + an-12n-1+ … + a1.2 + a0 + a a … Cette dernière formule peut donc servir de conversion binaire-décimal. Exemple : 85

86 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base 0,562510 Réponse : 0, Pour passer du décimal à une autre base, il suffit de multiplier par la base en question au lieu de 2. 86

87 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base Pour un nombre constitué d’une partie entière et d’une partie fractionnaire, on convertit les deux parties séparément, la partie entière avec l’une des méthodes de conversion des entiers, la partie fractionnaire avec les méthodes présentées dans la présente section. Exemple: convertir 123,214 en décimal 1234 = 1   = 2710 0,214 = 2   4-2 = 2 x 0,  0,0625 = 0,562510 Réponse : 27,562510 87

88 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base Convertir 27, en base 4 : 27 / 4 = 6, reste 3 6 / 4 = 1, reste 2 1 / 4 = 0, reste 1 -> 1234 0, x 4 2, 25 x 4 1, 0 x 4 0, 0 Réponse : 123, 88

89 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Conversion décimal-binaire et binaire décimal à l’aide de la table de l’appendice 4.2 du supplément Même principe que pour les entiers. 89

90 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule fixe Inconvénients : étendue de représentation limitée 32 bits seulement dans la partie entière 32 bits seulement dans la partie fractionnaire Perte de précision pour les petits nombres Complexité de traitement de la virgule lors d’opé-rations telles que la multiplication et la division Partie entière Partie fractionnaire 32 , 32 90

91 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule fixe Exemples : 1,0 = , -1,0 = FFFFFFFF, 0,5 = , -0,5 = FFFFFFFF, Plus petit nombre positif : , = 1 / Plus grand nombre positif : 7FFFFFFF,FFFFFFFF = , Plus grand nombre négatif : , = , Plus petit nombre négatif : FFFFFFFF,FFFFFFFF = -1 / 91

92 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante N = (1)s  M  BE où : M = mantisse B = base E = exposant s = signe de la mantisse Exemples: 10110 = 1,01  102 - 510 = = - 1,01  22 510 = 1012 = 516 = 0,0101  161 92

93 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et l’exposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 23 bits. On ajoute 127 à E et le total est codé sur 8 bits. s est le signe de la mantisse. N = (-1)s  2E  1,f s E+127 f 8 23 32 93

94 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision Exemple : = 3E816 = = 1,  29 s = 0 car nombre positif E = 9 donc E = 136 = M = 1, donc f = , qu’on peut écrire 447A0000IEEE en groupant les bits 4 par 4 et en les codant en hexadécimal. 94

95 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision Exemple : Convertir le nombre de simple précision IEEE en décimal. s = 0 donc signe = + E = 128, donc E = 1 M = 1,f = 1,101 N = +1,1012  21 = 11,012  20 = 3,2510 95

96 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de simple précision Exemples : +0 = IEEE -0 = IEEE +1 = 3F800000IEEE -1 = BF800000IEEE +2 = IEEE -2 = C IEEE + = 7F800000IEEE - = FF800000IEEE 96

97 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Norme IEEE 754 de double précision La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et l’exposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 52 bits. On ajoute 1023 à E et le total est codé sur 11 bits. s est le signe de la mantisse. s E+1023 f 11 52 64 97

98 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Étendue de représentation En simple précision, la représentation des nombres normalisés positifs non nuls va de IEEE à 7F7FFFFFIEEE, soit : 1, … x à 1, … x 2127 9,  à 3,  En double précision, elle va de IEEE à 7FEFFFFFFFFFFFFFIEEE, soit : 1,  à 1,  21023 2,  à 1,  10308 98

99 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Nombres dénormalisés En simple précision, si l’exposant E est -127 (représentation ) et que les bits de la mantisse ne sont pas tous nuls, le nombre représenté est : N = (s)-1 x  0,f On peut ainsi, malgré une perte de précision, étendre la représen-tation jusqu’à 2-149, i.e 99

100 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Les NaN Les représentations commençant par 7F ou FF en simple préci-sion et dont les autres bits ne sont pas tous 0 représentent des NaN (Not a Number). Ces NaN sont utilisés pour signaler des messages d’erreur. 100

101 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Sources d’erreur Erreur d’arrondi ou de troncature Débordement de capacité Sous-débordement de capacité Division par 0 Opérations invalides : , 0, 0 / , 0 / 0, etc. 101

102 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Addition et soustraction On doit : 1. Extraire les mantisses et les exposants 2. Ajuster les exposants et les mantisses pour que les deux nombres aient l’exposant du plus grand des deux. 3. Effectuer l’addition ou la soustraction des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante s’il y a lieu 5. Replacer le résultat, mantisse et exposant, dans le format IEEE. 102

103 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Addition et soustraction Exemple : IEEE + 3F000000IEEE = =  1,100000…  1, = 1,1  ,0  2-1 = 1,1  ,01  21 = 1,11  21 = = IEEE 103

104 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Multiplication et division A = a  2p et B = b  2q, alors : A  B = ab  2p+q A / B = (a/b)  2p-q On doit : 1. Extraire les mantisses, les signes et les exposants 2. Additionner ou soustraire les exposants suivant le cas 2. Effectuer le produit ou le quotient des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante s’il y a lieu 5. Ajuster le signe s’il y a lieu 6. Replacer le résultat, signe, mantisse et exposant, dans le format IEEE. 104

105 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante Multiplication et division Exemple: 40A00000  C0C00000 =  … =  1,01   1,1 = - 1,01  22  1,1  22 = - 1,1110  24 = = C1F00000IEEE 105

106 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.4 Décimaux codés en binaire Code BCD = code pondéré comme le binaire naturel Code excédent-3 : chiffre = binaire + 3 Code 2 dans 5 : chiffre décimal codé sur 5 bits dont deux sont 1 Code biquinaire : chiffre décimal codé sur 7 bits, dont 1 dans les deux positions de gauche et 1 dans les 5 positions de droite est 1. Les deux derniers codes permettent la détection d’erreurs. 106

107 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques 3.3.4 Décimaux codés en binaire décimal BCD excédent-3 2 dans 5 biquinaire 107

108 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire Nous utilisons l'algorithme de la division par la base destination en arithmétique de base 10, sauf que nous choisissons la base (216). Exemple : Convertir en binaire 1e étape / = , reste / = 8, reste 8 / = 0, reste 8 Donc : = 8 x x 108

109 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 2e étape Comme = 2562, on représente ensuite chacun des termes en base 256. / 256 = 97, reste 196 / 256 = 104, reste 0 Donc : = 8 x x x 2562 + 104 x x 2560 109

110 Unité 3: Représentation interne des informations
3.3 Données numériques Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 3e étape Comme 256 = 162, on représente ensuite chacun des termes en base 16. 97 / 16 = 6, reste / 16 = 12, reste 4 104 / 16 = 6, reste 8 0 / 16 = 0, reste 0 Donc = 8 x x x x 165 + 4 x x x x x 160 Et finalement : = 861C 110