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Exercice 2 : Soit le tétraèdre SABC dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté a, et de base ABC horizontale. 1°) Déterminez la hauteur d’un triangle équilatéral. 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ). 3°) Déterminez la hauteur du tétraèdre. 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ).
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1°) Déterminez la hauteur d’un triangle équilatéral.
A Pythagore dans ABD : AB² = AD² + DB² a² = h² + (½ a)² B D C h² = a² - ¼ a² = ¾ a² h = ½ a√3 ≈ 0,866 a
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Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ). a
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Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ). a ½a√ a
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Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ). a ½a√ a
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Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ).
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Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ).
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Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et que le sommet S est à la verticale du centre de gravité de la base ). ≈ 0,82a
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Déterminez sa perspective cavalière, ≈ 0,82a
Exercice 2 : Déterminez sa perspective cavalière, ≈ 0,82a
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3°) Déterminez la hauteur du tétraèdre.
S SH ≈ 0,82a A B H C
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3°) Déterminez la hauteur du tétraèdre.
S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le cdg, SH ≈ 0,82a donc il est situé aux ⅓ ⅔ de [BD] : BH = ⅔ BD = ⅔ (½a√3) A B = a/√3 D H C
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3°) Déterminez la hauteur du tétraèdre.
S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le cdg, SH ≈ 0,82a donc il est situé aux ⅓ ⅔ de [BD] : BH = ⅔ BD = ⅔ (½a√3) A B = a/√3 h² + (a/√3)² = a² D H h² = a² - (a/√3)² = a² - ⅓ a² C = ⅔ a² h = a √(⅔) ≈ 0,816 a
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). S la base A B A B C C
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). S la base A B A B C C
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). S S les faces latérales A B A B C S C S
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). S A B A B C S C S
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). S A B A B C S C S
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). A S B C A B C A D A Aire = 4 × ( aire d’un triangle ) = 4 ( ½ base × hauteur ) = 4 ( ½ a × ½ a√3 ) = a² √3 = 8² √3 ≈ 110,9 cm²
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Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron, l’aire de son enveloppe, et son volume ( arrondis à 0,1 cm² et 0,1 cm3 en prenant a = 8 cm ). V = ⅓ Base × hauteur S = ⅓ Aire de ABC × h = ⅓ ( ½ base × hauteur ) × h A B = ⅓ ( ½ a × ½a√3 ) × a √(⅔) C H = a3 (√2)/12 = 83 (√2)/12 ≈ 60,3 cm3
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