Exercice Soit le polynôme P(x) = x4 + 7x3 – 238x² + 440x

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1 Exercice Soit le polynôme P(x) = x4 + 7x3 – 238x² + 440x
1°) Remplissez le tableau 2°) Déterminez les racines de P(x) 3°) Avec la calculatrice graphique à 0,01 près, déterminez les tableaux de variations et de signes de P(x) x 1 2 3 4 5 P(x)

2 Exercice x4 + 7x3 – 238x² + 440x 1°) Remplissez le tableau
= – = - 552 Même méthode pour les autres : x 1 2 3 4 5 P(x) 210 - 552 - 1344 - 2250

3 Exercice x4 + 7x3 – 238x² + 440x 2°) Déterminez les racines de P(x)
P(2) = est une racine de P(x) P(x) peut se factoriser par ( x – 2 ) P(x) = ( x – 2 ) R(x) Remarque : 0 est aussi une racine évidente ! donc P(x) = x ( x – 2 ) R(x) x et (x-2) sont de degré 1, P(x) de degré 4, donc R(x) est de degré 4 – 1 – 1 = 2, donc R(x) = ax² + bx + c

4 Exercice x4 + 7x3 – 238x² + 440x P(x) = x ( x – 2 ) ( ax² + bx + c )
= x ( ax3 + bx² + cx – 2ax² – 2bx – 2c ) = ax4 + ( b – 2a )x3 + ( c – 2b )x² + ( - 2c )x = x4 + 7x3 – 238x² + 440x a = a = 1 b – 2a = b = 9 c – 2b = – c = - 220 - 2c = c = - 220

5 Exercice x4 + 7x3 – 238x² + 440x P(x) = x ( x – 2 ) R(x) = x ( x – 2 ) ( x² + 9x – 220 ) P(x) = 0 x = 0 ou x – 2 = 0 ou x² + 9x – 220 = 0 x = x = Δ = 9² - 4(1)(- 220) = 961 = 31² x = ( )/(2(1)) = 11 x = ( )/(2(1)) = - 20 P(x) a pour racines 0 ; 2 ; 11 ; - 20

6 x4 + 7x3 – 238x² + 440x 3°) Avec la calculatrice graphique, déterminez les tableaux de variations et de signes de P(x)

7 x4 + 7x3 – 238x² + 440x 3°) Avec la calculatrice graphique, déterminez les tableaux de variations et de signes de P(x) On obtient : avec les racines 0 ; 2 ; 11 ; - 20

8 x4 + 7x3 – 238x² + 440x 3°) Avec la calculatrice graphique, déterminez les tableaux de variations et de signes de P(x) On obtient : avec les racines approchées 0 ; 2 ; 11 ; - 20

9 x4 + 7x3 – 238x² + 440x 3°) Avec la calculatrice graphique, déterminez les tableaux de variations et de signes de P(x) On obtient : avec les racines exactes 0 ; 2 ; 11 ; - 20 donc x - ∞ ∞ P(x)

10 x4 + 7x3 – 238x² + 440x 3°) Avec la calculatrice graphique, déterminez les tableaux de variations et de signes de P(x) On obtient : avec une recherche graphique donc x ≈ - ∞ ,19… ,97… ,96… ∞ P(x)