II Fonction dérivée 1°) Définition :

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1 II Fonction dérivée 1°) Définition :
f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘.

2 II Fonction dérivée 1°) Définition :
f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘. f ‘ : a → f ‘(a) mais nous avons l’habitude …

3 II Fonction dérivée 1°) Définition :
f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘. f ‘ : a → f ‘(a) mais nous avons l’habitude de nommer x l’antécédent. Peut-on changer tout de suite a en x pour déterminer f ‘(x) ?

4 II Fonction dérivée 1°) Définition :
f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘. f ‘ : a → f ‘(a) mais nous avons l’habitude de nommer x l’antécédent. Peut-on changer tout de suite a en x pour déterminer f ‘(x) ? Non, car on utilise déjà la lettre x comme abscisse de M : f(x) – f(a) f ‘(a) = lim x → a x – a donc on remplacera a par x après avoir déterminé f ‘(a).

5 Exemple : f(x) = x² Déterminez f ‘(x)

6 f(x) = x² Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) x² – a² f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a ( x – a ) ( x + a ) = lim = lim ( x + a ) = … x → a x – a x → a

7 f(x) = x² Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) x² – a² f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a ( x – a ) ( x + a ) = lim = lim ( x + a ) = a + a = 2a x → a x – a x → a

8 f(x) = x² Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) x² – a² f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a ( x – a ) ( x + a ) = lim = lim ( x + a ) = a + a = 2a x → a x – a x → a f ‘(a) = 2a donc f ‘(x) = 2x A partir de f on a obtenu f ‘ en dérivant, qui correspond au « ’ », on peut écrire : ( x² )’ = 2x

9 Si l’on avait pris la 2ème formule …
f(x+h) – f(x) (x+h)² – x² f ‘(x) = lim = lim h → 0 (x+h) – (x) h → h (x² + 2xh + h²) – x² xh + h² = lim = lim = lim 2x + h h → h h → h h → 0 = 2x + 0 = 2x Plus besoin de faire de changement de variable ! Mais la signification de la méthode ( coefficient directeur ) n’apparaît plus !

10 Exercice 4 : Déterminez f ‘(x)
1°) f(x) = 2x² + 5 2°) f(x) = 3x - 7 3°) f(x) = 1/x définie sur R* 4°) f(x) = 6/(2x+1) définie sur R+ 5°) f(x) = √x définie sur R+* 6°) f(x) = 3√(5x+2) définie sur R+

11 1°) f(x) = 2x² + 5 Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) (2x²+5) – (2a²+5) f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a 2( x² – a² ) (x + a)(x – a) = lim = lim = lim 2( x + a ) x → a x – a x → a x – a x → a = 2(a + a) = 4a f ‘(a) = 4a donc f ‘(x) = 4x A partir de f on a obtenu f ‘ en dérivant, qui correspond au « ’ », on peut écrire : (2x² + 5)’ = 4x

12 2°) f(x) = 3x – 7 Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) (3x – 7) – (3a – 7) f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a 3x – 3a ( x – a ) = lim = lim = lim = 3 x → a x – a x → a x – a x → a f ‘(a) = donc f ‘(x) = 3 On peut écrire : ( 3x - 7 )’ = 3

13 2°) f(x) = 3x – 7 Déterminez f ‘(x)
Autre méthode ( utilisable uniquement pour cet exemple ) : La fonction est affine, donc la courbe de f est une droite, donc toutes les tangentes sont confondues avec la droite, donc elles ont le même coefficient directeur, coeff. directeur des tangentes = coeff. directeur de la droite f ‘(x) = 3

14 3°) f(x) = 1/x Déterminez f ‘(x)
a x f(x) – f(a) x a xa ax f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a x – a a - x xa a – x ( x – a ) = lim = lim × = lim x → a x – a x → a xa x – a x → a xa (x – a) ’ = lim = = f ‘(a) = donc f ‘(x) = = x → a xa aa a² a² x² x x²

15 4°) f(x) = 6/(2x+1) Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) x a+1 f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a 6(2a+1) (2x+1) (2x+1)(2a+1) (2x+1)(2a+1) = lim x → a x – a 6(2a+1) - 6(2x+1) ( x – a ) = lim = lim x → a (2x+1)(2a+1) (x – a) x → a (2x+1)(2a+1) (x – a)

16 4°) f(x) = 6/(2x+1) Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a = lim = = x → a (2x+1)(2a+1) (2a+1)(2a+1) (2a + 1)² ‘ donc f ‘(x) = et = (2x + 1)² x (2x + 1)²

17 5°) f(x) = √x Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) √x - √a √x - √a f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a (√x)² - (√a)² √x - √a = lim = lim = = x → a (√x - √a) (√x + √a) x → a √x + √a √a + √a √a f ‘(x) = donc ( √x )’ = 2 √x √x

18 6°) f(x) = 3√(5x+2) Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) x+2 – 3 5a [ 5x a+2 ] f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a x – a 3[ 5x a+2 ] × [ 5x a+2 ] = lim x → a ( x – a ) × [ 5x a+2 ] 3[ ( 5x+2 )² - ( 5a+2 )² ] = lim = … x → a ( x – a ) × [ 5x a+2 ]

19 6°) f(x) = 3 5x+2 Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a 3[ (5x+2) - (5a+2) ] x + 6 – 15a - 6 = lim = lim x → a ( x – a ) × [ 5x a+2 ] x → a (x – a)[ 5x a+2 ] 15 ( x – a ) x → a ( x – a ) × [ 5x a+2 ] x → a x a+2

20 6°) f(x) = 3√(5x+2) Déterminez f ‘(x)
f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a = lim = = x → a x a a a a+2 f ‘(x) = donc ( x+2 )’ = x x+2

21 Si l’on veut utiliser le même outil algébrique que pour la fonction √x :

22 Si l’on veut utiliser le même outil algébrique que pour la fonction √x :
f(x) – f(a) x+2 – 3 5a [ 5x a+2 ] f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a x – a 3[ 5x a+2 ] × 5 = lim x → a ( 5x+2 )² – ( 5a+2 )² 3[ 5x a+2 ] × 5 = lim = … x → a [ 5x a+2 ] × [ 5x a+2 ]

23 Si l’on veut utiliser le même outil algébrique que pour la fonction √x :
f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a = lim = = x → a x a a a a+2 etc …