Propriétés mécaniques des matériaux Y. JOLIFF 1 Institut des Sciences de l’Ingénieur de Toulon et du Var Université du Sud Toulon-Var Matériaux.

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1 Propriétés mécaniques des matériaux 2012-2013 Y. JOLIFF 1 Institut des Sciences de l’Ingénieur de Toulon et du Var Université du Sud Toulon-Var Matériaux 1 ère année

2 2 Introduction

3 3 Matériaux utilisé pour élaborer des pièces usuelles ou techniques subissent des sollicitations en service  Usage approprié et optimal du matériau (choix)  Connaissance du comportement du matériau Sollicitations mécaniques Sollicitations thermiques Sollicitations autres Grand nombre de propriétés caractérise un matériau, cependant, les propriétés mécaniques apparaissent bien souvent prépondérantes pour la conception d’une pièce : l’objectif premier étant la tenue mécaniqueIntroduction

4 4 Pour une sollicitation donnée, tous les matériaux ne vont pas décrire la même évolution Etudier le comportement mécanique d’un matériau consiste : à suivre sa réponse (déformation / allongement) en fonction d’une charge (force appliquée / contrainte) Comportement des verres Comportement des élastomères Comportement des métauxIntroduction

5 2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides 5 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques

6 6 L’ensemble des lois de comportement des matériaux peut être obtenu à partir de 3 méthodes de formulation distinctes : Approche microscopique : Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides cherche à prendre en compte la microstructure du matériau en vue de déterminer ses propriétés macroscopiques  Métal considéré comme un polycristal : agrégat de grains d’orientations cristallographiques différentes et au comportement individuel parfaitement caractérisé  Composite représenté par sa matrice et ses fibres  Béton par la matrice et les granulats  …  Modéliser l’hétérogénéité des matériaux pour mieux prévoir le comportement moyen global  Lois relativement fines mais certaine lourdeur à la mise en œuvre

7 7 Approche microscopique : Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides  Utilisation est encore limitée à la prévision du comportement des matériaux, dans l’optique de mieux comprendre leur «fonctionnement» et d’améliorer leurs propriétés mécaniques Approche thermodynamique :cherche un milieu continu homogénéisé équivalent au milieu réel qui représente les phénomènes physiques microscopiques par des variables internes macroscopiques Approche fonctionnelle :repose sur l’usage de lois héréditaires de type intégral qui font intervenir des fonctions caractéristiques des matériaux utilisant des variables macroscopiques Les approches thermodynamique et fonctionnelle, à l’inverse de l’approche microscopique, cherchent simplement à caractériser le comportement d’un élément de volume représentatif (EVR)  Abstraction de la structure fine du matériau

8 8 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides  Emploi aveugle peut être dangereux s’il s’agit d’appliquer le modèle hors de son domaine de détermination initial Méthode EVR consiste à déterminer les relations de cause à effet qui existent entre les variables constituant les entrées et les sorties du processus étudié Elle trouve une justification dans le fait que des phénomènes de l’échelle microscopique très divers peuvent conduire, après des effets de moyenne, à des réponses globales de même nature  Dans bien des cas, cette méthode est la seule applicable dans un cadre industriel Le choix de l’élément de volume représentatif est fondamental  Doit être suffisamment grand par rapport aux hétérogénéités du matériau  rester petit par rapport aux gradients de contraintes et de déformations dans la structure

9 9 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides Exemple EVR : il faut une trentaine de grains dans la partie utile d’une éprouvette de traction pour déterminer les propriétés d’un métal Ordre de grandeur des éléments de volume représentatifs

10 10 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides L’utilisation de la loi de comportement pour décrire un matériau donné n’est pas intrinsèque au matériau  Cette loi va dépendre de l’utilisation du matériau  sollicité en petites déformations :  sollicité en grandes déformations Exemple : cas d’un acier à température ambiante  se comportera en suivant une loi élastique linéaire  se comportera en suivant une loi élastoplastique à température élevée :  un comportement viscoélastique pourra être utilisé…

11 11 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques Un grand nombre de matériaux présente des comportements non linéaires  des essais mécaniques Pour déterminer les paramètres (ou variables) de ces lois : Les essais qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux sont relativement nombreux Les essais simples sont bien souvent normalisés : [1] AFNOR : Association Française de NORmalisation [2] ISO : International Standardisation Organisation [3] ASTM : American Society for Testing and Materials

12 12 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques Les résultats sont sous la forme d’efforts et de déplacement qui sont ensuite convertis pour obtenir une courbe sous la forme de contrainte-déformation   f (  ) Géométrie des éprouvettes d’essai d’écrouissage : 2.2.1 - L’essai d’écrouissage C’est un essai de traction (  > 0) ou de compression (  < 0) qui réalisé avec une vitesse de déformation constante sur une éprouvette du matériau  Eprouvettes cylindriques munis en général de têtes d’amarrage filetées  > 0  < 0  Eprouvettes sous la forme de plaques de section rectangulaire  Eprouvettes sous la forme de cylindre Métaux et des matériaux composites Roches et métaux en grandes déformations

13 13 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.1 - L’essai d’écrouissage L’essai d’écrouissage en compression simple requière des précautions particulières  s’assurer du meilleur glissement possible sur les appuis de l’éprouvette  Champs de contrainte et de déformation développés dans l’échantillon ne seront pas représentatif d’un essai de compression simple  Effet tonneau t = t initial t = t final Compression simple Effet tonneau

14 14 Identification et classement rhéologiques des solides Modélisation de l’essai de compression – mise en évidence de l’effet tonneau Essai de compression simpleEssai de compression avec effet tonneau

15 15 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.1 - L’essai d’écrouissage Allure typique d’un courbe obtenue par un essai d’écrouissage :  1 ère partie linéaire  comportement élastique linéaire  2 nde partie non-linéaire  comportement plastique R e : limite d’élasticité « vraie » R 0,2 : limite d’élasticité conventionnelle, qui correspond à une déformation inélastique de 0,2% R m : résistance à la traction A h : allongement correspondant à la contrainte maximale A r : allongement à la rupture

16 16 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.1 - L’essai d’écrouissage Bien qu’étant un essai simple, l’interprétation des résultats peut devenir délicate Diminution de pente observée au-delà de R m peut traduire des phénomènes physiques très différents La pente négative est souvent liée au fait que le champ de déformation n’est plus uniforme Exemple : en traction sur un métal Phénomènes d’origine métallurgique (bandes de Lüders) ou géométrique Lorsque les déformations sont trop importantes  striction Exemple : en compression sur une roche Phénomènes d’endommagement  désordres dans le matériau

17 17 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.1 - L’essai d’écrouissage Courbe contrainte-déformation typique jusqu’à la rupture

18 18 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.1 - L’essai d’écrouissage Lorsque le matériau testé est sensible à la vitesse de chargement, l’allure de la courbe de résultat est : Les courbes expérimentales sont comprises entre deux courbes théoriques limites :  Courbe à une vitesse de déformation infinie (c-à-d très grande)  Courbe à une vitesse de déformation nulle (c-à-d très petite) Schéma du comportement d’un matériau viscoplastique en traction simple à différentes vitesses de déformation

19 19 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.2 - L’essai de fluage Lorsqu’une éprouvette est soumise à une traction simple (essai monodimensionnel sous une contrainte  et une déformation  ) si, à partir d’un certain état, la contrainte est maintenue constante : Cas d’un matériau réel :  Observation quasi-systématique de déformations différées (phénomène de viscosité)  la déformation restera constante (absence de déformations différées dans le temps) s’il n’y a aucune viscosité  Tous les matériaux réels présentent un phénomène de viscosité, pourvu qu’une période de temps suffisamment grande soit considérée

20 20 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.2 - L’essai de fluage Courbes type en contrainte et déformation en fonction du temps d’un essai de fluage

21 21 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.3 - L’essai de relaxation Une autre manière de caractériser la viscosité d’un matériau est de le soumettre à un essai de relaxation Cette fois, la déformation de l’éprouvette est maintenue constante après une pré- déformation initiale  Cet essai est essentiellement réalisé sur les métaux et les polymères Plus le comportement du matériau présente une composante visqueuse importante, et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre éventuellement une valeur nulle

22 22 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.3 - L’essai de relaxation Courbes type en déformation et en contrainte en fonction du temps d’un essai de relaxation

23 23 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.4 - L’essai de triaxialité L’essai de triaxialité s’adresse principalement aux matériaux ne pouvant être sollicités en traction en raison de leur très faible résistance ou forte sensibilité aux défauts d’alignement  cas des bétons et des céramiques  L’échantillon est soumis latéralement à une pression hydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matériaux pulvérulents (argiles, sables) sollicités en compression simple ou en flexion 3 ou 4 points sollicités par un essai de triaxialité L’essai de triaxialité consiste à maintenir les bords latéraux des échantillons

24 24 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.5 - L’essai de flexion L’essai de flexion fait partie des essais classiquement utilisés pour caractériser les matériaux Essai de flexion 3 points  Il peut être à 3 ou 4 points d’appuis Essai de flexion 4 points

25 25 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.6 - L’essai de torsion Cet essai est principalement utilisé à haute température pour déterminer l’aptitude à la mise en forme des métaux L’intérêt de l’essai est d’éviter tout phénomène de striction Les interprétation des résultats obtenus sont difficile à interpréter  état de contrainte et déformation non uniforme  La solution est d’opter pour des tubes minces instrumentés localement par des jauges ou des extensomètres

26 26 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.7 - Les essais cycliques L’éprouvette est sollicitée en contrainte ou déformation périodiquement Exemple : Nature des matériaux  différentes évolutions Essai de traction compression cyclique sur un acier mi-dur (LMT, ENS Cachan) Essai de compression cyclique sur un béton réfractaire (Travaux de thèse H. Marzagui (2005) Ecole des Mines d’Albi-Carmaux)

27 27 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.7 - Les essais cycliques Au bout d’un certain nombre de cycle, le comportement atteint un seuil Essai de traction compression cyclique sur un acier mi-dur (LMT, ENS Cachan)  On dit alors que le matériau est stabilisé

28 28 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.8 - Les essais de dureté Point de départ un constat : certains corps ont la possibilité d’en rayer d’autres La notion de dureté est très ancienne  un corps est plus dur qu’un autre s’il peut le rayer Mohs (1812) propose la 1 ère échelle de dureté par rayure des minéraux  échelle toujours utilisée par les minéralogistes Il est logique d’adopter la même notion au niveau des matériaux en étudiant leur résistance à la pénétration d’un corps dur  se déplaçant parallèlement à la surface (scléromètres à rayure)  ou perpendiculairement à celle-ci (dispositifs d’indentation)

29 29 Identification et classement rhéologiques des solides 2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques 2.2.8 - Les essais de dureté Dispositifs d’indentation  différents indenteurs  indenteurs de Brinell (1901)  indenteurs de Vickers (1922)  indenteurs de Knoop (1939)  indenteurs de Rockwell … L'essai consiste à faire pénétrer progressivement l’indenteur de forme et de résistance appropriées (sphère, pyramide, cône...) en appliquant une force F sur la surface de l’échantillon et en la maintenant pendant un temps précis Valeurs de dureté différentes d’un process à l’autre Si le matériau est plastiquement déformable, une empreinte de surface latérale S et de profondeur e subsiste après retrait de la charge La dureté s’exprime alors par :H : nombre sans dimension (selon les normes)

30 30 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Brinell - procédure L’essai de dureté Brinell fait appel à une bille en acier ou en carbure de tungstène, maintenue pendant un temps bien défini et avec une force bien déterminée Si F est la charge d’essai (exprimée en newtons), D le diamètre (en millimètres) de la sphère (de la bille) et d le diamètre (en millimètres) de l’empreinte, la dureté Brinell est donnée par la relation :

31 31 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Brinell - notation Deux symboles sont utilisés pour indiquer une dureté Brinell :  HBS pour l’essai effectué avec une bille en acier  HBW pour l’essai effectué avec une bille en carbure de tungstène Des chiffres sont placés devant et derrière ces symboles :  Le chiffre placé devant le symbole  valeur de la dureté  Les trois chiffres placés derrière le symbole  les conditions de l’essai Le premier  le diamètre de la bille (en mm) Le second  la valeur de la charge (en N) multipliée par le facteur de proportionnalité 0,102 (autrement dit la charge exprimée en kgf) Le troisième chiffre  la durée de maintien de la charge (en s)

32 32 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Brinell - notation Exemple 350 HBS 5/750/20 Dureté Brinell de 350 mesurée avec une bille en acier de 5 mm de diamètre, sous une charge de 7355 N (750 kgf) maintenue pendant 20 secondes Valeur de la dureté Type de dureté Diamètre de la bille/Charge /Temps 600 HBW 1/30/20 Dureté Brinell de 600 mesurée avec une bille en carbure de tungstène de 1 mm de diamètre, sous une charge de 294,2 N (30 kgf) maintenue pendant 20 secondes

33 33 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Brinell - notation Les billes habituellement utilisées pour les essais Brinell ont des diamètres de : 1 - 2 - 2,5 - 5 ou 10 mm Si aucun chiffre ne figure derrière le symbole HBS ou HBW, cela signifie que l’essai a été réalisé dans des conditions “normales”  Bille de 10 mm de diamètre  Charge de 29 430 N  Appliquée pendant 10 à 15 s Remarque : Aucune comparaison universelle valable entre les valeurs de dureté Brinell et les valeurs de dureté déterminées selon d’autres méthodes de dureté ou à partir des valeurs de résistance à la traction Relations statistiques pour des cas particuliers existent  Principes fondamentaux sûrs ont été obtenus pour de telles conversions par des essais comparatifs

34 34 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Vickers - procédure Le principe de l’essai de dureté Vickers est le même que celui de l’essai Brinell, mais le pénétrateur est ici une pyramide en diamant à base carrée d’angle au sommet 136°, appliquée avec une force F de 49 à 980 N On mesure la longueur d moyenne des deux diagonales de l’empreinte, à l’aide d’un système optique approprié. La dureté Vickers HV est donnée par la relation suivante : avec F exprimée en N et d en mm

35 35 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Vickers - procédure

36 36 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Vickers - notation La formulation d’une dureté Vickers est assez proche de celle de la dureté Brinell  A gauche du symbole HV se trouve un chiffre donnant la valeur de la dureté  A droite du symbole HV peuvent figurer jusqu’à deux chiffres : Le premier  la valeur de la charge d’essai (en newtons) multipliée par 0,102 (c’est-à-dire la charge en kgf) Le second  la durée (en secondes) d’application de la charge Exemple 640 HV 50/20 dureté Vickers de 640 a été obtenue en appliquant une charge de 490,3 N (50 kgf) pendant 20 secondes Valeur de la dureté Type de dureté Valeur de charge / Temps

37 37 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Vickers - notation La dureté Vickers peut être étendue aux faibles charges Pour une charge de 1,961 à 49,03 N (HV 0,2 à HV 5)  Essai de dureté Vickers sous charge réduite Pour des charges inférieures à 1,961 N (HV 0,2 et en dessous)  Essai de microdureté Vickers Remarque : Lorsqu’on a affaire à des surfaces cylindriques convexes ou concaves, la valeur de dureté donnée par la formule de l’expression de la dureté HV doit être corrigée (NF A 03-154) Après essai : aucune déformation visible sur la face opposée à celle du pénétrateur  épaisseur de la pièce ou de la couche superficielle à indenter ne doit pas être inférieure à 1,5 fois la diagonale de l’empreinte

38 38 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Rockwell - procédure Simples d’utilisation, les duretés Rockwell font appel à deux types de pénétrateurs : L’essai se ramène à une mesure de longueur de l’enfoncement rémanent e du pénétrateur après application d'une surcharge  Le premier est un cône en diamant d’angle au sommet 120 °, à pointe arrondie sphérique (rayon de 0,2 mm)  Le second est une bille en acier trempé, polie, de diamètre 1,587 mm (1/16 de pouce) ou 3,175 mm La procédure d’essai comporte trois étapes :  Pénétrateur est mis en contact avec la surface du matériau à mesurer.  Précharge F 0 = 98 N est appliquée et l’indicateur d’enfoncement est mis à 0 1  Application d’une surcharge F 1 permettant d’atteindre la charge d’essai2  Retrait de la surcharge mais conservation de la précharge et lecture de la valeur de l’enfoncement 3

39 39 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Rockwell - procédure 123

40 40 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Rockwell - procédure La combinaison de divers pénétrateurs et de diverses charges conduit à utiliser plusieurs échelles Rockwell, symbolisées par HR suivi d’une lettre  Echelle Rockwell C (HRC) : pénétrateur est un cône de diamant auquel est appliqué une charge de 1470 N  Échelle destinée aux métaux durs ayant une résistance > 1000 N.mm -2  Echelle Rockwell B (HRB) : pénétrateur est ici une bille d’acier de 1,59 mm de diamètre soumise à une charge de 980 N  Échelle destinée aux aciers dont la résistance est comprise entre 340 et 1000 N.mm -2 Il existe aussi les échelles HRE (bille de 3,175 mm de diamètre, charge de 980 N) et HRF (bille de 1,587 mm de diamètre, charge de 588 N) Les deux échelles les plus utilisées sont :

41 41 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Rockwell - procédure Si e est l’enfoncement en millimètres du pénétrateur, la dureté Rockwell est donnée par les relations : Une unité Rockwell correspond à un enfoncement de 0,002 mm HR = 100 - 5.10 2.e (Rockwell C) HR = 130 - 5.10 2.e (Rockwell B, E et F)  Dureté Rockwell - notation La dureté Rockwell est désignée par le symbole HR précédé de la valeur de dureté et suivi de l’échelle utilisée Exemple 85 HRC Valeur de la duretéType de dureté Dureté de 85 exprimée dans l’échelle C de Rockwell

42 42 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  Dureté Rockwell Pour réaliser un essai Rockwell, il est préférable de travailler sur des surfaces présentant un fini satisfaisant  exemptes de rayures L’épaisseur de la pièce ou de la couche superficielle à essayer ne doit pas être inférieure à 8e En aucun cas, une déformation ne doit être visible sur la face opposée à celle de la mesure Remarque : Dureté Rockwell peut être étendue aux faibles charges pour, par exemple, réaliser des essais sur des produits minces. Il existe notamment les échelles HRN et HRTB elles-mêmes divisées en trois sous- échelles précisant la charge appliquée Lorsqu’on a affaire à des surfaces cylindriques, les valeurs mesurées doivent être corrigées (les normes donnent les tables de correction)

43 43 Identification et classement rhéologiques des solides 2.2.8 - Les essais de dureté  L’essai Brinell sous sa forme habituelle (pour les aciers : bille de 10 mm de diamètre -charge de 29 400 N, ou bille de 5 mm - charge de 7 350 N) convient spécialement pour les mesures d’atelier L’empreinte ayant des dimensions importantes (de 2,5 à 6 mm de diamètre environ avec la bille de 10 mm, de 1,4 à 3 mm avec la bille de 5 mm), les lectures sont relativement faciles. L’état de la surface n’a pas besoin d’être particulièrement soigné  L’essai Rockwell, simple et rapide, convient pour les pièces plus petites et pour les hautes duretés (supérieures à 400 Brinell). La dispersion des résultats est nettement plus forte que pour l’essai Brinell, et il est généralement nécessaire de prendre la moyenne de deux ou trois mesures. La pièce doit être bien assise sur son support, ce qui pose parfois des problèmes d’adaptation, et l’état de surface doit être correct  L’essai Vickers convient aussi bien pour les matériaux très durs que pour les matériaux tendres, car, en raison de la constance de l’angle de pénétration, la mesure est indépendante de la charge (entre 49 et 980 N). Mais le fini superficiel doit être soigné ; la lecture au microscope est lente ; la pièce ne peut avoir que de faibles dimensions. Ce mode d’essai est plutôt du domaine du laboratoire

44 44 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.1 - Modèles analogiques Les modèles analogiques consistent à assembler des éléments mécaniques comme un ressort, un patin, un amortisseur ou une buté afin de décrire le comportement du matériau  Mécanismes physiques mis en jeux ne sont pas pris en compte par cette approche Parmi les éléments les plus utilisés on retrouve :  Le ressort qui schématise l’élasticité linéaire  L’amortisseur qui schématise la viscosité linéaire

45 45 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.1 - Modèles analogiques  L’amortisseur qui schématise la viscosité non linéaire  Le patin qui schématise un seuil de contrainte  La butée qui schématise un seuil de déformation

46 46 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.1 - Modèles analogiques Chacun des éléments analogiques décrits précédemment peut être associé avec un autre élément :  Association série : et  Association série : et  Association mixte : série / parallèle

47 47 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.2 - Fluides visqueux Un fluide visqueux définit tout corps ayant une déformation permanente une fois la sollicitation achevée Dans le cadre des solides, le comportement est dit viscoplastique On observe un écoulement dès qu’une contrainte est appliquée au corps  modèle analogique simple : modèle de Maxwell Courbe type contrainte-déformation d’un comportement fluide visqueux

48 48 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.2 - Fluides visqueux Modèle de Maxwell : association en série d'un ressort et d’un amortisseur Ce comportement s’applique aux « solides mous » comme les polymères thermoplastiques, le béton frais ou de nombreux métaux à haute température Modèle viscoélastique de Maxwell Evolution de  en fonction de temps La force dans chaque élément est la même mais les déformations individuelles sont cumulées (  totale =  ressort +  amortisseur ) La relation de la contrainte est :

49 49 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.3 - Solides élastiques La notion d’élasticité traduit un comportement réversible du solide Comportement réversible instantané 2.3.3.1 - Solides élastiques parfaits Elastique parfait linéaireElastique parfait non-linéaire Cas comportement élastique linéaire : modèle analogique utilisé est le ressort seul  s’applique aux métaux, bétons, céramiques et roches pour des sollicitations inférieures à la limite d’élasticité

50 50 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.3.2 - Solides viscoélastiques Dans ce cas la réversibilité n’est plus immédiate mais « retardée » et n’intervient qu’après un temps infini Plusieurs modèles analogiques permettent de décrire le comportement viscoélastique: le plus simple étant les modèles de Kelvin-Voigt Courbe type contrainte-déformation d’un comportement viscoélastique

51 51 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.3.2 - Solides viscoélastiques  Modèles de Kelvin-Voigt Le modèle de Kelvin-Voigt associe en parallèle un ressort et un amortisseur Modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt Evolution de  en fonction de temps L’association en parallèle du ressort et de l’amortisseur impose que les deux éléments aient à tout instant la même position (ou déformation) La contrainte totale de cet assemblage est la somme des contraintes de chaque élément (  totale =  ressort +  amortisseur )

52 52 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.3.2 - Solides viscoélastiques  Modèles de Kelvin-Voigt La contrainte totale de cet assemblage est la somme des contraintes de chaque élément (  totale =  ressort +  amortisseur ) : et Après intégration en fonction du temps de cette relation, on obtient :

53 53 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.3.2 - Solides viscoélastiques  Modèles de Zener Un autre modèle est également utilisé pour décrire le comportement viscoélastique qui rajoute un ressort en association série au modèle de Kelvin-Voigt Modèle viscoélastique de Zener Evolution de  en fonction de temps

54 54 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3.3.2 - Solides viscoélastiques  Modèles de Zener  Sous une sollicitation instantanée :  Une déformation élastique instantanée (déformation du ressort E 1 ) se produit (jusqu’à « a »)  Suivi d’une déformation viscoélastique (cf Modèle Kelvin- Voigt) décrite entre « a » et « b »  En relâchant spontanément la contrainte :  La déformation élastique est récupérée immédiatement (segment « c-d »)  Suivi par la déformation viscoélastique (entre « d » et « e ») jusqu’au retour à la forme initiale  aucune déformation permanente Comportement caractéristique des polymères et des élastomères. Pour des petites sollicitations, il est également caractéristique du comportement du bois

55 55 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.4 - Solides plastiques La notion de solide plastique définit les solides qui conservent une déformation permanente après cessation d’une sollicitation 2.3.4.1 - Solide rigide parfaitement plastique  La déformation est nulle ou suffisamment négligeable en dessous d’une valeur seuil (  s ) Il décrit les solides dont le comportement en contrainte / déformation suit la courbe  A partir de ce seuil, la déformation est « arbitraire » et indépendante de la vitesse de la déformation Le modèle s’applique essentiellement dans les domaines de la mécanique des roches et l’analyse de la mise en forme des métaux Le modèle analogique qui traduit se comportement est le patin

56 56 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.4.2 - Solide élastique parfaitement plastique Il s’agit d’un comportement élastique linéaire (  e =  /E) suivi d’une déformation plastique (  p ) « arbitraire » et indépendante du temps une fois atteint une valeur seuil (  s ) L’association d’un ressort et d’un patin en série modélise le comportement élastique parfaitement plastique  Modèle de Saint-Venant Ce modèle s’applique aux aciers à faible teneur en carbone qui présentent un palier

57 57 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.4.3 - Solide rigide plastique Ce modèle rigide-plastique associe un ressort et un patin en parallèle :  Modèle de Prager La déformation est nulle tant que la contrainte appliquée est inférieure à la valeur seuil  s (caractéristique du patin) Au-delà, un écoulement plastique linéaire intervient  Modèle à écrouissage linéaire dit cinématique car dépendant de la valeur instantanée de la déformation plastique

58 58 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.4.4 - Solide élastoplastique parfait En ajoutant un ressort en série au modèle rigide-plastique précédent, ce dernier devient élastoplastique parfait Il représente le comportement idéalisé des matériaux métalliques dans l'approximation élastoplastique parfaite utilisée en calcul analytique

59 59 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.4.5 - Solide élastoplastique écrouissable La déformation plastique est fonction de la contrainte Ce comportement est composé :  Une première partie élastique linéaire (  e =  /E) réversible  Suivie d’une déformation plastique (  p ) permanente si la sollicitation a atteint le seuil minimal (  s ) Modèle analogique : assemblage en parallèle de modèles de Saint-Venant  permet une bonne description du comportement élastoplastique écrouissable caractéristique, en particulier, des métaux

60 60 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3.4.5 - Solide élastoplastique écrouissable  Le comportement est élastique linéaire (combinaison des contributions individuelles E i des différents ressorts) jusqu'à la valeur seuil  s imposée par le patin le moins résistant Modèle analogique : assemblage en parallèle de modèles de Saint-Venant  Au-delà de cette limite, et à chaque instant, l'écoulement plastique est gouverné par la hiérarchie des résistances  si des patins encore en service En  le nombre de motifs élémentaires du modèle de Saint-Venant,  décrire assez finement (segments linéaires) le comportement de nombre de matériaux réels

61 61 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.5 - Solides viscoplastiques On retrouve le comportement décrit dans le cas des fluides visqueux : la vitesse de déformation permanente est une fonction de la contrainte Les solides dits viscoplastiques regroupent les corps qui présentent des déformations permanentes après cessation des sollicitations et qui sous l’action d’une sollicitation tendent à s’écouler en fonction du temps (fluage) Le modèle analogique équivalent est le modèle de Norton c’est l’amortisseur 2.3.5.1 - Solide parfaitement viscoplastique Décrit de manière « très grossière » le comportement des métaux à haute température

62 62 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.5.2 - Solides élastique parfaitement viscoplastique Sous une sollicitation donnée : La déformation plastique dépend uniquement de la contrainte Il n’y a pas de phénomène d’écrouissage  Le solide va se déformer de manière élastique (réversible instantanément) si la contrainte est inférieure à une valeur seuil  Puis au-delà de ce seuil, la déformation engendrée par la sollicitation sera composée d’une déformation élastique et plastique La déformation plastique dépend uniquement de la contrainte Il n’y a pas de phénomène d’écrouissage

63 63 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.5.2 - Solides élastique parfaitement viscoplastique Sous une sollicitation donnée :  Le solide va se déformer de manière élastique (réversible instantanément) si la contrainte est inférieure à une valeur seuil  Puis au-delà de ce seuil, la déformation engendrée par la sollicitation sera composée d’une déformation élastique et plastique Modèle de Bingham-Norton

64 64 Identification et classement rhéologiques des solides 2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques 2.3.5.2 - Solides élastoviscoplastique écrouissable C’est l’un des modèles le plus complexe puisque la contrainte est fonction :  de la vitesse de déformation plastique  et cette dernière est elle-même fonction de la variable d’écrouissage Ce modèle décrit les métaux à moyenne et haute température ainsi que le bois dans le cas de sollicitations élevées

65 3.1 - Éprouvette de traction 65 L’essai de traction 3.2 - Dispositif expérimental 3.3 - Courbe contraintes - déformations

66 66 Les dimensions des éprouvettes de traction sont réglementées par les nomes : L’essai de traction en détail 3.1 - Eprouvettes de traction  NF EN 10002-1 dans le cadre d’essais de traction à température ambiante  NF EN 10002-2 pour les essais de traction à chaud Géométrie des éprouvettes d’un essai de traction :  Eprouvettes cylindriques  Eprouvettes sous la forme de plaques de section rectangulaire

67 67 L’essai de traction en détail 3.2 - Dispositif expérimental Un dispositif de traction est composé :  Un bâti rigide  Une traverse mobile Le déplacement de la traverse est assuré :  par vis sans fin  par des vérins hydrauliques L’échantillon de matériaux à caractériser est fixé entre deux mors

68 68 L’essai de traction en détail 3.2 - Dispositif expérimental Une cellule de force directement liée à l’échantillon permet de mesurer la force appliquée lors de l’essai Bâti rigide Traverse mobile Cellule de forceMors Eprouvette

69 69 L’essai de traction en détail 3.2 - Dispositif expérimental L’allongement de l’éprouvette est mesuré par :  un extensomètre  des jauges de déformation

70 70 L’essai de traction en détail 3.2 - Dispositif expérimental La courbe brute d’un essai de traction se présente sous la forme de F = f(  l)  Suivant la nature du matériau l’allure générale de cette courbe varie 3.2.1 - Matériaux au comportement fragile  Il s’agit de matériaux ne présentant aucune déformation plastique quelques soit la valeur de la sollicitation où la rupture intervient brutalement  Les matériaux concernés sont :  La courbe F = f(  l) est une droite caractéristique de l’élasticité linéaire les verres les céramiques les bétons la majorité des polymères thermodurcissables la fonte grise certains aciers bruts de trempe

71 71 L’essai de traction en détail 3.2.2 - Matériaux au comportement ductile  Les matériaux ductile décrivent : un comportement élastique linéaire (déformation réversible) jusqu’à une certaine valeur de force puis un comportement plastique (déformation irréversible) pour des efforts plus important  Comportement typique : des métaux des alliages certains polymères thermoplastiques  La courbe F = f(  l) est :

72 72 L’essai de traction en détail 3.2.3 - Matériaux au comportement élastique non linéaire  Le comportement élastique non linéaire traduit une déformation réversible non proportionnelle à la charge  Il décrit le comportement : des élastomères certains polymères thermoplastiques  La courbe F = f(  l) est :

73 73 L’essai de traction en détail 3.3 - Courbe contraintes - déformations  L’inconvénient de ces courbes brutes est qu’elles sont dépendantes de la géométrie des éprouvettes de mesure  conversion en courbe  = f(  ) à partir des relations : où S 0 est la section initiale perpendiculaire à la direction de sollicitation de l’éprouvette de traction et l 0 est la longueur initiale entre repères de l’échantillon et  Les contraintes s’expriment en Pascals (1 Pa = 1 N.m -2 ) ou mégapascal (1 MPa = 1 N.mm -2 )  Les déformations sont sans dimensions et peuvent être exprimées en pourcentage de déformation

74 74 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile  La courbe  = f(  ) d’un matériau ductile peut se décomposé en 3 parties traduisant 3 phénomènes différents : un domaine de déformation élastique  La déformation élastique linéaire obéit à la loi de Hooke :  = E   La pente de la courbe de la déformation plastique est donnée par le taux de consolidation (d  / d  ) un domaine de déformation plastique homogène un domaine de déformation plastique inhomogène (ou striction) La pente de la droite donne le module d’Young du matériau Dans cette partie l’échantillon s’allonge de manière homogène entre les deux repères Elle diminue pendant que la contrainte augmente jusqu’à atteindre une valeur nulle (traduit la valeur maximale de la contrainte)  Cet extrémum traduit le changement de comportement plastique

75 75 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile  Changement de comportement plastique au passage de l’extrémum : en dessous de cette valeur l’échantillon s’allonge de manière homogène au dessus la déformation n’est plus homogène mais se localise dans la zone de striction  L’allongement se poursuit alors que la contrainte chute jusqu’à la rupture du matériau dans la zone de striction

76 76 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile

77 77 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile  Plusieurs informations caractéristiques des propriétés du matériau sont décrites par les résultats de l’essai de traction : La limite d’élasticité Dans la notion de limite d’élasticité deux grandeurs apparaissent :  moment où apparaît la première déformation plastique - la limite d’élasticité vraie (R e ) - la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (R e0,2 ) R e0,2 correspond à la contrainte à laquelle une déformation plastique permanente de valeur égale à 0,2% existe R e correspond à la contrainte à partir de laquelle le comportement du matériau s’écarte de la loi de Hooke R e délicat à déterminer dans la pratique car la transition du domaine élastique au domaine plastique s’effectue progressivement Pour s’affranchir de cette difficulté, une limite R e0,2 est souvent utilisée

78 78 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile La limite d’élasticité - la limite d’élasticité vraie (R e ) - la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (R e0,2 )

79 79 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile La limite d’élasticité Dans certains cas, en particulier pour les aciers doux, la courbe contrainte - déformation présente un palier d’écoulement à la transition élastique / plastique  La limite d’élasticité vraie et la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% sont alors égales et représente la valeur inférieure de la discontinuité

80 80 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile La résistance à la traction La résistance à la traction R m est la contrainte maximale atteinte lors de l’essai de traction Pour les matériaux ductile elle se situe dans le domaine plastique lorsque le taux de consolidation est nul (d  / d  0)

81 81 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile L’allongement à la rupture L’allongement à la rupture correspond à la valeur de la déformation au moment de la rupture

82 82 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile La striction à la rupture La striction traduit la variation de section à l’endroit où la rupture s’est produite Elle se calcul à partir de la relation : avec S 0 la section initiale de l’échantillon S f la section finale de la surface de rupture

83 83 L’essai de traction en détail 3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f(  ) d’un matériau ductile L’énergie de déformation L’énergie de déformation par unité de volume correspond à l’aire sous la courbe  = f(  ) Elle se calcul à partir de la relation : L’énergie ainsi mesurée prend en compte : - l’énergie élastique (W e ) - l’énergie plastique (W p ) L’énergie élastique est calculée à partir de la loi de Hooke :

84 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson 84 Élasticité et plasticité 4.2 - Origine physiques de la déformation plastique – notion de dislocation 4.3 - Striction

85 85 Le module d’Young traduit la rigidité du matériau Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson  la capacité qu’à un matériau à se déformer réversiblement sous l’action d’une sollicitation Un matériau est dit d’autant plus rigide que sa déformation est faible pour un chargement donné Hiérarchisation de quelques matériaux en fonction de leur rigidité Le matériau le plus rigide est le diamant avec un module de 1 000 GPa

86 86  Valeurs de module d’Young pour des métaux purs Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson MatériauxE (MPa) Rhodium (Rh) 275 000 Rubidium (Rb) 2 400 Ruthénium (Ru) 447 000 Scandium (Sc) 74 000 Sélénium (Se) 10 000 Sodium (Na) 10 000 Tantale (Ta) 186 000 Titane (Ti) 114 000 Tungstène (W) 406 000 Uranium (U) 208 000 Vanadium (V) 128 000 Zinc (Zn) 78 000 Zirconium (Zr) 68 000 MatériauxE (MPa) Indium (In) 110 000 Iridium (Ir) 528 000 Lithium (Li) 4 900 Magnésium (Mg) 45 000 Manganèse (Mn) 198 000 Molybdène (Mo) 329 000 Nickel (Ni) 214 000 Niobium (Nb) 105 000 Or (Au) 78 000 Palladium (Pd) 121 000 Platine (Pt) 168 000 Plomb (Pb) 18 000 Plutonium (Pu) 96 000 MatériauxE (MPa) Aluminium (Al) 69 000 argent (Ag) 83 000 Baryum (Ba) 13 000 Béryllium (Be) 240 000 Bismuth (Bi) 32 000 Cadmium (Cd) 50 000 Césium (Cs) 1 700 Chrome (Cr) 289 000 Cobalt (Co) 209 000 Cuivre (Cu) 124 000 Étain (Sn) 41 500 Fer (Fe) 196 000 Germanium (Ge) 89 600

87 87  Valeurs de module d’Young pour des Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson MatériauxE (MPa) Béton27 000 Brique 14 000 Calcaire (CaCO 3 ) 20 à 70 000 Carbure de chrome (Cr 3 C 2 ) 373 130 Carbure de silicium (SiC) 450 000 Carbure de Titane (TiC) 440 000 Carbure de tungstène (WC) 650 000 Diamant (C) 1 000 000 Graphite 30 000 Granite 60 000 Marbre 26 000 MatériauxE (MPa) Mullite (Al 6 Si 2 O 13 )145 000 Alumine (Al 2 O 3 ) 390 000 Oxyde de béryllium (BeO) 30 000 Oxyde de magnésium (MgO) 250 000 Oxyde de zirconium (ZrO) 200 000 Saphir 420 000 Silice (oxyde de silicium SiO 2 ) 107 000 Titanate d'aluminium (Ti 3 Al) 140 000 Titanate de baryum (BaTiO 3 ) 67 000 Verre 69 000

88 88  Valeurs de module d’Young pour des Bois Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson MatériauxE (MPa) Acajou (Afrique)12 000 Bambou 20 000 Bois de rose (Brésil) 16 000 Bois de rose (Inde) 12 000 Chêne 12 000 Épicéa 13 000 Érable 10 000 Frêne 10 000 Papier 3 000 - 4 000 Séquoia 9 500 Module d’Young mesuré dans le sens des fibres

89 89  Valeurs de module d’Young pour des Polymères, fibres Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson MatériauxE (MPa) caoutchoucs 700 à 4 000 Fibre de carbone 190 000 Kevlar 34 500 Nanotubes (Carbone) 1 100 000 Nylon 2 000 à 5 000 Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle) 2 380 Polyamide 3 000 à 5 000 Polycarbonate 2 300 Polyéthylène 200 à 700 Polystyrène 3 000 à 3 400 Résines époxy 3 500

90 90  Valeurs de module d’Young pour des biomatériaux Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson MatériauxE (MPa) Cartilage 24 Cheveux 10 000 Collagène 6 Fémur 17 200 Humérus 17 200 Piquant d'oursin 15 000 à 65 000 Radius 18 600 Soie d'araignée 60 000 Tibia 18 100 Vertèbre cervicale 230 Vertèbre lombaire 160

91 91 Le module d’Young n’est pas le seul paramètre pour quantifier la rigidité d’un matériau Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson avec E le module d’Young et le coefficient de Poisson En effet, le module de cisaillement G ainsi que le module de compressibilité volumique K le permettent également Le module K est la constante de proportionnalité entre le changement relatif de volume  V d’un matériau soumis à une pression hydrostatique P et la valeur de cette pression Pour comprendre les phénomènes physiques mise en jeu lors de l’élasticité il faut se placer au niveau des atomes constituant le matériau  Des modèles plus ou moins complexes permettent de décrire ces phénomènes

92 92 4.1.1 - Modèle des ressorts Élasticité et plasticité 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson Ce premier modèle, un des plus simples représente le matériau comme un ensemble d’atomes relié entres eux par des ressorts  Modèle des ressorts sans contraction latérale Pour simplifier le modèle on considère que le matériau ne subit pas de contraction latérale sous une sollicitation de traction Le matériau peut alors être représenté par : I.S.I.T.V. 2009 - 2010

93 93 4.1.1 - Modèle des ressorts Élasticité et plasticité  Modèle des ressorts sans contraction latérale Sous l’action d’un force de traction, n ressorts sont en tension, la contrainte sur le matériau est alors égale à : etavec Ce qui s’écrit sous la forme : Un matériau soumis à une déformation élastique va emmagasiner l’énergie de déformation. Par analogie avec le ressort l’énergie emmagasinée est : avec  raideur du ressort et  a l’allongement du ressort I.S.I.T.V. 2009 - 2010

94 94 4.1.1 - Modèle des ressorts Élasticité et plasticité  Modèle des ressorts sans contraction latérale En fonction de la raideur des ressorts, la courbe W = f(  a) sera plus ou moins ouverte. Plus la courbe sera ouverte plus la rigidité est faible et inversement I.S.I.T.V. 2009 - 2010

95 95 4.1.1 - Modèle des ressorts Élasticité et plasticité  Modèle des ressorts avec contraction latérale Le modèle précèdent supposait que sous l’action d’un effort de traction, le matériau ne subissait aucune contraction latérale En réalité les atomes ne sont pas connectés de manière aussi simple  Il existe 2 réseaux de ressorts : un premier qui relit chaque atome à ses plus proches voisins  connexions horizontales et verticales un second qui relie chaque atome à ses voisins secondaires atomes  connexions diagonales I.S.I.T.V. 2009 - 2010

96 96 4.1.1 - Modèle des ressorts Élasticité et plasticité  Modèle des ressorts avec contraction latérale I.S.I.T.V. 2009 - 2010

97 97 4.1.1 - Modèle des ressorts Élasticité et plasticité  Modèle des ressorts avec contraction latérale Lors d’une sollicitation de traction, l’allongement longitudinal s’accompagne d’une contraction latérale Cette contraction est caractérisée par le coefficient de Poisson Il se calcul à partir de la relation : Le coefficient de Poisson est compris entre 0,2 et 0,5 Les métaux ont des coefficients proches 0,3 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

98 98 Élasticité et plasticité 4.1.2 - Modèle électrostatique 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson Le modèle électrostatique s’appuie sur la nature des atomes et utilise le modèle atomique de Bohr Le potentiel électrostatique correspond la somme des potentiels de répulsion et d’attraction I.S.I.T.V. 2009 - 2010

99 99 Élasticité et plasticité 4.1.2 - Modèle électrostatique 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson  une courbe qui est caractérisée par : une valeur de force nulle lorsque d = a 0  atomes en équilibre un extremum (F th, a f ) La force qui s’exerce entre les deux atomes peut aisément être calculée à partir de la relation : I.S.I.T.V. 2009 - 2010

100 100 Élasticité et plasticité 4.1.2 - Modèle électrostatique 4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson La fonction F(d) peut être interpolée entre a 0 et a f par la fonction : Dans le cadre des petites déformations et petits déplacements, la relation peut être simplifié et s’écrit alors : La contrainte est alors : Le module d’Young s’écrit alors : Plus le puit de potentiel a un rayon de courbure faible plus le matériau est rigide I.S.I.T.V. 2009 - 2010

101 101 Élasticité et plasticité 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation Certains matériaux comme les métaux ou les alliages continue de se déformer au- delà de la limite d’élasticité Ce comportement est dû à la ductilité des matériaux sollicités Ces matériaux sont dits élastoplastique L’intérêt de la plasticité est d’avoir une sécurité avant la rupture Dans cette zone plastique, la pièce va continuer de s’allonger sans rompre 4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal Sollicité en traction pure ou en compression pure, un monocristal va faire se déformer plastiquement par une succession de cisaillement faisant intervenir des plans de glissement préférentiels ou facile I.S.I.T.V. 2009 - 2010

102 102 Élasticité et plasticité 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation Les matériaux cristallins sont anisotropes à l’échelle des cristaux 4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal  les plans de glissements préférentiels qui apparaissent suivant les matériaux Des études cristallographiques ont montré que les plans de glissement actifs, dans les métaux et les alliages sont des plans de plus forte densité atomique Par ailleurs dans ces plans, la direction de glissement correspond à la direction cristallographique de plus grande densité atomique Ces observations expérimentales permettent de supposer que la déformation plastique de ces matériaux cristallins ductile est due à un glissement irréversible de certains plans les uns par rapport aux autres Déformation plastique par glissement (monocristal de Zinc) - J.P. Baïlon, Des matériaux, 3ème édition, Ecole Polytechnique de Montréal, 2004, p. 42 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

103 103 Élasticité et plasticité 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation plans et direction de glissement cristallographique pour quelques métaux La déformation plastique a pour unique origine ces phénomènes de glissement 4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal  Ils prennent naissance sous l’effet des contraintes de cisaillement qui apparaissent lorsqu’un cristal est sollicité en traction et/ou compression La déformation est marquée par des glissements relatifs d’atomes au sein de la structure I.S.I.T.V. 2009 - 2010

104 104 Élasticité et plasticité Déformation plastique par glissement des plans atomiques 4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal Les atomes qui ont glissé se retrouve dans une nouvelle position d’équilibre : État initialÉtat déformé plastiquement  plus de raison de revenir à leur ancienne position (  irréversible) Le matériau se trouve alors dans un état en équilibre avec une déformation permanente mais en conservant sa cohésion

105 105 Élasticité et plasticité La déformation plastique étant lié à du cisaillement, il faut considérer non plus la contrainte nominale de l’essai de traction mais uniquement la composante tangentielle de cette dernière 4.2.2 - Notion de cission de glissement La contrainte de traction appliquée au solide est : 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation S 0 section de l’éprouvette La contrainte normale au plan de cisaillement est : S section de matière dans le plan de cisaillement I.S.I.T.V. 2009 - 2010

106 106 Élasticité et plasticité La contrainte de cisaillement (ou contrainte de cission) s’écrit alors : Équation connue sous le nom de loi de Schmid et le terme "cos  cos  " est appelé facteur de Schmid 4.2.2 - Notion de cission de glissement 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation I.S.I.T.V. 2009 - 2010

107 107 Élasticité et plasticité 4.2.2 - Notion de cission critique théorique 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation Supposons une cission  direction x tel que la moitié supérieure du cristal glisse sur sa moitié inférieure On considérera que la distance inter-atomique dans la direction x est égale à b Sous l’effet de cette cission, tout atome est déplacé de la position d’équilibre qu’il occupait dans le réseau (position où le niveau d’énergie était minimal) à une position de plus forte énergie Dans une première approximation supposons que la variation de niveau d’énergie évolue suivant une fonction sous la forme d’une sinusoïdale I.S.I.T.V. 2009 - 2010

108 108 Élasticité et plasticité 4.2.2 - Notion de cission critique théorique 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation J.P. Baïlon, Des matériaux, 3ème édition, Ecole Polytechnique de Montréal, 2004 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

109 109 Élasticité et plasticité 4.2.2 - Notion de cission critique théorique 4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation Par définition, le glissement s’écrit : En supposant que le comportement du matériau est élastique jusqu’à la valeur  th  au moment où un glissement irréversible se produit (c-à-d quand x = b/4), on peut écrire : Cette relation apporte une justification quand au glissement des plans contenant la plus forte densité atomique et les directions des glissements En effet, les premiers sont caractérisés par des distances inter-réticulaires les plus grandes et les secondes sont caractérisées par les distances inter-atomiques les plus petites  rapport b/a minimal I.S.I.T.V. 2009 - 2010

110 110 Élasticité et plasticité 4.2.2 - Notion de cission critique théorique En supposant que le matériau à une structure cubique simple, la cission théorique s’écrit alors : Lorsque l’on compare les résultats obtenus par mesures expérimentales de la cission et les calculs analytiques utilisant les formules précédentes on obtient les résultats suivants : I.S.I.T.V. 2009 - 2010

111 111 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux Une explication pour justifier les écarts observés au Tableau précédent repose sur l’existence de défauts dans les matériaux L’architecture atomique proposée par la théorie (répétitivité parfaite de la maille élémentaire) se rencontre rarement sur les matériaux réels Les défauts peuvent être classé suivant leur dimension de l’espace affecté par leur présence  Défauts ponctuels (dimension 0)  Défauts linéaires (dimension 1)  Défauts surfaciques (dimension 2)  Défauts en 3 dimensions I.S.I.T.V. 2009 - 2010

112 112 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux Les défauts ponctuels regroupent les perturbations du réseau à l’échelle atomique o Lacunes o Les lacunes  Défauts ponctuels (dimension 0) o Atomes auto-interstitiels o Impuretés dans les solides Défaut ponctuel le plus simple, la lacune, correspond à l’absence d’un atome dans la structure atomique I.S.I.T.V. 2009 - 2010

113 113 Élasticité et plasticité o Les lacunes  Défauts ponctuels (dimension 0) La pratique révèle qu’il est impossible de produire un cristal exempt de lacune Tous les solides cristallins comportent dans leur réseau des lacunes L’explication de ce phénomène se trouve par les principes de la thermodynamique Dans un métal, la concentration atomique n 1 /N en lacune en équilibre est donné par la loi d’Arhenius : n 1 : nombre de lacune présentes dans un ensemble de N atomes à la température T k : constante de Boltzmann T : température absolue Q 1 : l’énergie de formation d’une lacune (≈ 1 eV dans les métaux) Les lacunes jouent un rôle de principal dans la diffusion à l’état solide : facilité à déplacer des atomes sur de longues distances I.S.I.T.V. 2009 - 2010

114 114 Élasticité et plasticité o Atomes interstitiels  Défauts ponctuels (dimension 0) Un atome auto-interstitiel est un atome qui occupe un site interstitiel (petit espace vide entre deux atomes du réseau) La conséquence de cet atomes est, par exemple, dans les métaux la distorsion du réseau : Atome occupe un espace bien plus important que celui proposé par l’interstice La formation de ce défaut est assez faible à causes des fortes énergies mises en jeux I.S.I.T.V. 2009 - 2010

115 115 Élasticité et plasticité o Impuretés dans les solides  Défauts ponctuels (dimension 0) Tous les solides contiennent des traces d’impuretés Ces impuretés vont générer dans le réseau des défauts soit de type insertion Les deux types de défauts causés par ces impuretés sont : soit de type substitution Le mode va dépendre des caractéristiques en solution des impuretés I.S.I.T.V. 2009 - 2010

116 116 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux Les défauts linéaires sont des dislocations : mauvais alignement des atomes dans le réseau o dislocation-coin  Défauts linéaires (dimension 1) On retrouve deux types de dislocation o dislocation-vis o Dislocation-coin Il s’agit d’un défaut centré autour d’une ligne le long de laquelle se termine un demi-plan atomique supplémentaire dans le réseau cristallin Au voisinage de la ligne de dislocation, la structure du réseau est déformée I.S.I.T.V. 2009 - 2010

117 117 Élasticité et plasticité  Défauts linéaires (dimension 1) o Dislocation-coin Ce type de défaut va faire apparaître des contraintes dans le réseau : Au dessus de la ligne de dislocation, les atomes sont dans un état de compression En dessous de la ligne de dislocation, les atomes sont dans un état de tension William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

118 118 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux  Défauts linéaires (dimension 1) o Dislocation-vis Une dislocation-vis traduit un défaut linéaire qui résulte du cisaillement du cristal La partie supérieure du réseau a subit un déplacement dans une direction d’une distance équivalente à la distance entre deux atomes William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

119 119 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux  Défauts linéaires (dimension 1) o Dislocation-vis Il en résulte une déformation linéaire et une ligne de dislocation matérialisée par le segment AB Le nom de vis est du au fait que les plans atomiques ont subi un déplacement qui décrit une rampe hélicoïdale William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

120 120 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux  Défauts linéaires (dimension 1) o Dislocation mixte En réalité, les dislocations que l’on rencontre sont rarement parfaites : coins ou vis mais plutôt mixtes William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

121 121 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux  Défauts linéaires (dimension 1) o Dislocation mixte Au point A la dislocation est exclusivement du type dislocation-vis William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001 Au point B, elle exclusivement du type dislocation-coin Entre A et B, la dislocation est mixte I.S.I.T.V. 2009 - 2010

122 122 Élasticité et plasticité 4.2.3 - Défauts dans les matériaux Dans les défauts de surfaces on va retrouver : o les joints de grains  Défauts de surfaces (dimension 2) o les plans de maclage o Joints de grains Les matériaux sont généralement constitués d’un ensemble de grains et de joints de grains (éléments à la frontière des grains) Ces derniers assurent la cohésion du solide. La taille des joints est de quelques distances interatomiques Un joint est une disparité entre l’orientation cristallographique d’un grain et celle du grain adjacent voisin En fonction de l’angle de désorientation des grains on parle de joints de gains à faible angularité ou à forte angularité I.S.I.T.V. 2009 - 2010

123 123 Élasticité et plasticité  Défauts de surfaces (dimension 2) o Joints de grains I.S.I.T.V. 2009 - 2010

124 124 Élasticité et plasticité  Défauts de surfaces (dimension 2) o Plans de maclage Dans un réseau cristallin, on parle de plan de maclage lorsqu’une symétrie (miroir) bien précise est présente Chaque atome situé d’un côté du plan de maclage occupe une position correspondant à l’image spéculaire d’un atome situé de l’autre côté du plan William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001 I.S.I.T.V. 2009 - 2010

125 125 Élasticité et plasticité  Défauts à trois dimensions o Pores Les défauts à 3 dimensions sont des défauts de grandes tailles (bien plus grand que tous les défauts mentionnés précédemment) Ils sont fréquemment liés aux différentes phases du procédé d’élaboration o Fissures o Inclusions o Précipités 4.2.3 - Défauts dans les matériaux On trouve : I.S.I.T.V. 2009 - 2010

126 126 Élasticité et plasticité 4.2.4 - Dislocations et déformation plastique La déformation plastique correspond au déplacement d’un grand nombre de dislocations Une dislocation-coin va se déplacer lorsqu’une contrainte de cission est appliquée dans une direction perpendiculaire à sa ligne de dislocation Dès que la contrainte de cission est appliquée le plan A se déplace vers la droite et pousse sur les demi-plans voisins (B, C et D) I.S.I.T.V. 2009 - 2010

127 127 Élasticité et plasticité 4.2.4 - Dislocations et déformation plastique Une fois la contrainte de cission atteint une certaine valeur, les liaisons inter- atomiques du plan se rompent le long du plan de cisaillement et créent un nouveau demi plan B, le plan devenant un plan entier exempt de dislocation Cette mécanique se reproduit pour les plans C et D  Au final une marche de glissement apparaît à la surface I.S.I.T.V. 2009 - 2010

128 128 Élasticité et plasticité 4.2.4 - Dislocations et déformation plastique Le cheminent de déplacement d’une dislocation s’apparente aux déplacement d’une chenille ou d’un tapis I.S.I.T.V. 2009 - 2010

129 129 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux Les propriétés mécaniques des matériaux polycristallins varient en fonction de la taille des grains de la structure 4.2.5.1 - Durcissement par réduction de la taille des grains On vu précédemment qu’entre deux grains existe un joint Lors de la déformation plastique un glissement doit se produire de par et d’autre de ce joint Le joint de grain fait office d’obstacle à ce déplacement pour deux raisons :  Comme deux grains voisins auront des orientations différentes, la direction du déplacement d’une dislocation sera forcement modifié  Au joint grain existe un désordre atomique qui va engendrer une discontinuité dans le passage des plans de glissement d’un grain à l’autre I.S.I.T.V. 2009 - 2010

130 130 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux Un matériau à grains fins est plus dur et résistant qu’un matériau à gros grains 4.2.5.1 - Durcissement par réduction de la taille des grains Le déplacement de dislocations est entravé en raison de plus fort taux de joints de grains La limite conventionnelle d’élasticité R e0,2 de nombreux métaux varie en fonction de la taille du grain : équation de Hall-Petch d diamètre moyen des grains  0 et k y constantes fonction du matériau Les joints de macles vont également arrêter le glissement et augmenter la résistance des matériaux I.S.I.T.V. 2009 - 2010

131 131 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux Le renforcement peut intervenir en alliant le métal avec des impuretés en solution solide d’insertion ou de substitution 4.2.5.1 - Durcissement par solution solide Un métal pur sera toujours plus mou et moins résistant que ce même métal sous la forme d’un alliage Une augmentation de impureté entraîne une augmentation de la limite d’élasticité et de la résistance à la traction I.S.I.T.V. 2009 - 2010

132 132 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux 4.2.5.1 - Durcissement par solution solide Les atomes d’impureté présents dans la solution solide imposent des déformations réticulaires aux atomes voisins Ces impuretés vont interagir avec la dislocation et limiter son déplacement I.S.I.T.V. 2009 - 2010

133 133 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux 4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage Le durcissement par écrouissage est le procédé par lequel un métal devient plus dur et plus résistant lors de sa déformation plastique On parle d’ampleur de déformation plastique au moyen du taux d’écrouissage plutôt que de la déformation Ce taux, noté E, se calcul à partir de : S 0 aire initiale de la section transversale qui subit la déformation S d l’aire après déformation I.S.I.T.V. 2009 - 2010

134 134 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux 4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage I.S.I.T.V. 2009 - 2010

135 135 Élasticité et plasticité 4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux 4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage I.S.I.T.V. 2009 - 2010