PhM – CRAL-Observatoire de Lyon –

PhM – CRAL-Observatoire de Lyon – 2017-18
Orbites de transfert d'une planète à l'autre avec PhM – CRAL-Observatoire de Lyon –

Transfert d'une planète à l'autre
Aller d’une planètes à une autre à moindre coût. Utiliser l’orbite qui demande le minimum d’énergie au départ et à l’arrivée. Les orbites de Hohmann ( ) 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Rappel : caractéristique d’une orbite d’une planète N’ N w W i noeud ascendant descendant périhélie aphélie l g n e d s o u a p écliptique 1ère lois de Kepler : orbite d'une planète est une ellipse, un des foyers est occupé par l'étoile parente Paramètres de l’orbite : a demi grand-axe e l'excentricité i inclinaison de l'orbite, angle entre le plan de l'orbite et le plan du ciel NN’ ligne des nœuds de l’orbite (intersection plan de l’orbite perpendiculaire à la ligne de visée) w angle du périhélie par rapport au nœud ascendant W angle du nœud ascendant Couleur soulignante : 213;210;236 90°- i est l'angle entre le plan de l'orbite et la "ligne de visée". 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Simplification des orbites Pour avoir des constructions simples, les orbites des planètes sont simplifiées : – les orbites sont circulaires de rayon le demi-grand axe de l’orbite réelle, – les orbites sont toutes dans un même plan (coplanaires), plan de l’écliptique, – la sonde part au temps t0 = 0 – la planète au départ a pour longitude héliocentrique 0°. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Construction et tracé Le programme de tracé graphique et de calcul utilisé est le programme libre de droit Geogebra dans sa version 5 de préférence La dernière version 6 distribuée actuellement conviennent tout aussi bien. Mais, dans la nouvelle version, suivant l’adage “Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué”, les évolutionnistes de Geogebra ont choisi “Pourquoi faire en un clic ce que l’on peut faire en trois ou quatre”. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Utilisation de Geogebra Convention d’écriture pour : dans le document accompagnateur les textes en gras et police Arial sont des textes à écrire dans ou apparaissent dans la de l’application Geogebra fenêtre de saisie fenêtre algèbre Geogebra Exemple, positionnement d’un point à l’abscisse et d’ordonnées : A xa A = (xa, 0) Attention : Geogebra fait la distinction entre les majuscules et les minuscules. Les objets point Xpos = (4,8) et donnée xpos = 12 sont deux objets distincts. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Utilisation de Geogebra Déplacement des curseurs : la façon la plus commode pour faire varier la valeur d’un curseur est de le sélectionner à la souris (le bouton du curseur devient plus gros) et d’agir sur les touches flèches pour augmenter ou diminuer sa valeur. - touche CTRL appuyée, le curseur va dix fois plus vite - et la touche Majuscule (Shift), dix fois plus lentement. Zoom : Pour utiliser le ZOOM de manière efficiente, il faut : - manier la molette de la souris en douceur pour ne pas perdre l'échelle de vision se souvenir que l'endroit ou pointe la souris est le point qui reste fixe avec la touche ALT appuyée, le facteur de zoom est de 1.65 fois sinon 1.1. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Utilisation de Geogebra Aide Geogebra : consulter le document “Eléments de base dans GeoGebra” fichier d’initiation elements_geogebra5.pdf pour les commandes de base. ( Nota : tous les éléments de la version 5 existent dans la version 6, mais se présentent avec un aspect différent. Dans le texte, on se réfère au fichier elements_geogebra5.pdf et à un paragraphe par la notation [Elem. Geogebra n], n étant le numéro du paragraphe. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Données de départ Lancer Geogebra Ouvrir le fichier data_orbites.ggb Les données des planètes (périodes orbitales, demi-grands axes...) sont dans la partie Tableur du fichier de données data_orbites.ggb. L’échelle du graphique est en unités astronomiques. Les autres unités sont celles du système MKS. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Données de départ Pour les fenêtres de Geogebra voir [Elem. Geogebra 1] 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Données de départ Partie Algèbre : 3 séquences (création listes à partir du tableur voir [Elem. Geogebra 5]) – Planetes les noms des planètes – Pers les périodes en années – axes les demi-grands axes en unités astronomiques 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Données de départ Partie Algèbre : quelques constantes – G la constante de la Gravitation – MS la masse du Soleil en kg – GM le produit des deux précédentes – ua l’unité astronomique en mètres 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Données de départ Partie Graphique : – deux index i1 et i2 variant de 1 à 6 par pas de 1 pour sélectionner la planète de départ et celle d’arrivée. Création de curseurs voir [Elem. Geogebra 6] – un point H à l’origine représente le Soleil (couleur orange, taille 9). Dans les noms d’objets, les indices 1 et 2 se réfèrent aux deux planètes et l’indice S à la sonde. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Orbites des planètes Représentées par des cercles. Rayons : demi-grands axes Choisir deux planètes, par exemple i1 = 3 (Terre) et i2 = 4 (Mars) Mettre en mémoire leurs périodes et demi-grands axes : Planète 1 : a1 = Elément[axes,i1] P1 = Elément[Pers,i1] c1 = cercle[H,a1] Planète 2 : a2 = Elément[axes,i2] P2 = Elément[Pers,i2] c2 = cercle[H,a2] 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Orbite de la sonde Ellipse tangente aux deux cercles. Le dessin de la figure explicite les caractéristiques de l’orbite de la sonde : – point H Soleil, premier foyer de l’orbite, – segment AP double du demi-grand axe (P périhélie, A aphélie) – C milieu de l’ellipse – F’ deuxième foyer 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Tracé de l’ellipse Demi grand-axe AP = 2 aS : aS = (a1 + a2) / 2 Distance foyer-centre CH cS = aS – a1 Excentricité eS = cS / aS Placer les points centre et deuxième foyer de l’ellipse: C = (–cS, 0) F' = (–2cS,0) Tracé de l’ellipse elS = ellipse(H, F', aS) Écriture indices voir [Elem. Geogebra 2] 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Période de la sonde Utiliser la 3ème loi de Kepler Le rapport du cube des grands axes sur le carré de la période est une constante. En prenant comme unité - as en unités astronomiques - PS en années traduit en Geogebra : PS = sqrt(aS3) On peut aussi écrire : PS = sqrt(aS**3) 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Durée du voyage Pour aller d’une planète à l’autre, la sonde parcours la moitié de son orbite, la durée du voyage DT est la moitié de la période orbitale PS de la sonde. A exprimer en jours : Traj = PS / 2 * Sauvegarder sous un nouveau nom le travail commencé. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Temps du lancement – fenêtre de tir Pour que la planète visée soit au rendez-vous lorsque la sonde arrive, il faut, que lors du lancement, la planète cible soit dans une position déterminée par rapport à la planète de départ. Pendant la durée du voyage, la planète cible va tourner d’un angle égal au produit de sa vitesse de rotation wP par la durée du trajet. 360 wP = ─── PP Vitesse rotation Déplacement a = wP DT Le point de rencontre est à l’apogée de l’orbite de la sonde, donc à 180° du point de départ. Au moment du lancement la différence de longitudes héliocentriques entre la planète de départ et celle d’arrivée est le supplément de l’angle a. Longitude départ lD est le supplément de l’angle a. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Temps du lancement – fenêtre de tir La position relative au départ est importante. Elle impose la date de lancement. Ceci réduit généralement la période de lancement à quelques jours entre deux périodes synodiques (même configuration des deux planètes par rapport au Soleil. Cette plage de jours pour effectuer le lancement s’appelle une fenêtre de tir. - calcul de l’angle a : α = Traj * 360 / P2 - calcul de la longitde lD : lD = 180 – α Placement de la planète au départ de la sonde (en coordonnées polaires) : PD = (a2 ; lD°) 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Animations Pour des orbites circulaires, il est facile avec Geogebra d’animer, avec un curseur temps, deux points représentant les deux planètes tournant à des vitesses angulaires choisies. Il est plus difficile d’animer un point sonde car sa rotation n’est pas régulière et suit la loi des aires de Kepler (2ème loi). Il faut passer par la résolution de l’équation de Kepler, ce que l’on fait sous Geogebra de façon géométrique. La démarche sous Geogebra est explicitée dans le TD Sonde vers Mars cité en référence au début du document. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Vitesses au départ et à l’arrivée Sur son orbite, la sonde va avoir une vitesse variable, la plus grande au périhélie et la plus petite à l’aphélie (loi des aires de Kepler). Suivant le choix de la planète 1 et 2, la vitesse la plus grande peut être au départ ou à l’arrivée. Sa vitesse, en P et A, peut s’exprimer en fonction du demi-grand axe et du rayon vecteur. Connaissant le rayon vecteur au périhélie et à l’aphélie : Vitesses en ces points : 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Vitesses au départ et à l’arrivée
Placer les points du périhélie et de l’aphélie : Peri = (a1, 0) Aph = (–a2, 0) Calcul des vitesses orbitales des planètes en km/s : v1 = 2π a1 ua / (P1 * * 24 * 3600) / 1000 v2 = 2π a2 ua / (P2 * * 24 * 3600) / 1000 Calculer les vitesses de la sonde en km/s au départ et à l’arrivée sur son orbite et les différences de vitesses qui demanderont de l’énergie : vdep = sqrt(GM / (aS * ua) * (1 + eS)/(1 – eS)) / 1000 varr = sqrt(GM / (aS * ua) * (1 – eS)/(1 + eS)) / 1000 Les différences de vitesses entre la sonde et les planètes demanderont de l’énergie que ce soit pour accélérer ou freiner. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Représentation des vitesses
Porter ces vecteurs vitesses sur le graphique avec une échelle convenable et leur module sur la feuille récapitulative (fichier tab_transferts.pdf). – facteur d’échelle des vecteurs : gv = 40 – vecteur vitesse planète de départ : vv1 = Vecteur(Per, Per + (0, v1 / gv)) – vecteur vitesse planète d’arrivée : vv2 = Vecteur(Aph, Aph + (0,–v2 / gv)) – vecteur vitesse sonde de départ : vvdep= Vecteur(Per, Per + (0, vdep / gv)) – vecteur vitesse sonde d’arrivée : vvarr = Vecteur(Aph, Aph + (0, –varr / gv)) Mettre des couleurs sur les orbites et les vecteurs pour la lisibilité. Sauvegarder. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Observations 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Observations Regarder les différents voyages entre différentes planètes en changeant les valeurs des index i1 et i2. Quels sont ceux qui sont les plus faciles à réaliser ? Ils demandent : – des changements de vitesses minimums – des durées raisonnables 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Assistance gravitationnelle Après avoir calculé et vu, pour les différents voyages en orbites de Hohmann, les valeurs de la vitesse qu’il faut donner à la sonde pour se mettre en orbite de transfert au départ et à l’arrivée, on s’aperçoit que seules les planètes Vénus et Mars demande une dépense d’énergie (quantité de carburant) dans les possibilités des lanceurs actuels. Pour aller plus loin et/ou aller plus vite, on peut, entre autre, utiliser la force de gravité que peut exercer une planète sur une sonde qui passe à proximité. C’est ce que l’on appelle l’assistance gravitationnelle ou rebond gravitationnel. Elle permet de changer la direction de la trajectoire, mais surtout de changer la vitesse d’une quantité négative ou positive qui peut correspondre, lorsque la sonde est dans la zone d’influence de la planète, à deux fois la différence de vitesse sonde-planète. Zone d’influence : zone où la force de gravitation de la planète sur la sonde est plus grande que celle exercée par le Soleil. 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Assistance gravitationnelle 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Assistance gravitationnelle Si la planète rattrape la sonde, celle-ci après le rebond va voir sa vitesse augmentée sur sa trajectoire par rapport au Soleil, si la planète est rattrapée par la sonde, celle-ci après le rebond va voir sa vitesse diminuée sur sa trajectoire par rapport au Soleil. Dans les deux cas, la direction et l’amplitude du vecteur vitesse sont changées. L’orbite képlérienne est modifiée. L’art des spécialistes est de calculer avec une très grande précision la trajectoire optimale pour arriver au but : – à l’arrivée sur la planète : vitesse (direction, amplitude), position par rapport à la planète – les corrections de trajectoires minimales à faire pour réaliser les conditions précédentes : moment de la correction, amplitude, direction... 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Exemples d’assistance gravitationnelle 1 – Trajectoire de la sonde Rosetta 4 mars 2005 – 6 août 2014 Fin mission : 30 septembre 2016 Chaque survol de la Terre (2 survols) et Mars (1 survol) correspond à une assistance gravitationnelle. 2 – Trajectoire de la sonde Cassini – 15 octobre 1997 – 11 juin 2004 Fin mission : 15 septembre 2017 Quatre assistances gravitationnelles : 1 Terre 2 Vénus 1 Jupiter 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

Trajectoire de la sonde Cassini 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre 

En… Fin 09/09/2017 Transfert d'une planète à l'autre

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