1°) Equations de droites : équations réduites :

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1 1°) Equations de droites : équations réduites :
II Les droites 1°) Equations de droites : équations réduites :

2 1°) Equations de droites : équations réduites : y = m x + p
II Les droites 1°) Equations de droites : équations réduites : y = m x + p

3 II Les droites 1°) Equations de droites :
équations réduites : y = m x + p pour toutes les droites ?

4 II Les droites 1°) Equations de droites :
équations réduites : y = m x + p droites non parallèles à l’axe y

5 II Les droites 1°) Equations de droites :
équations réduites : y = m x + p droites non parallèles à l’axe y x = k droites parallèles à l’axe y m p 1 k

6 II Les droites 1°) Equations de droites :
équations réduites : y = m x + p droites non parallèles à l’axe y x = k droites parallèles à l’axe y m p 1 k équation cartésienne : a x + b y + c = 0

7 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = ; a = et c = , on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y.

8 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = ; a = et c = , on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y.

9 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : ...

10 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite.

11 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite. Si b = 0 : x = - c/a on obtient

12 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite. Si b = 0 : x = - c/a on obtient une droite verticale. Si a = 0 : y = - c/b on obtient

13 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite. Si b = 0 : x = - c/a on obtient une droite verticale. Si a = 0 : y = - c/b on obtient une droite horizontale. Si c = 0 : ax + by = 0 donc la droite

14 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite. Si b = 0 : x = - c/a on obtient une droite verticale. Si a = 0 : y = - c/b on obtient une droite horizontale. Si c = 0 : ax + by = 0 donc la droite passe par l’origine. Si y = 0 alors x = - c/a ( si a ≠ 0 ) on obtient

15 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite. Si b = 0 : x = - c/a on obtient une droite verticale. Si a = 0 : y = - c/b on obtient une droite horizontale. Si c = 0 : ax + by = 0 donc la droite passe par l’origine. Si y = 0 alors x = - c/a ( si a ≠ 0 ) on obtient le pt( - c/a ; 0 ). Si x = 0 alors y = - c/b ( si b ≠ 0 ) on obtient

16 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Si b = 1 ; a = - m et c = - p, on retrouve y = m x + p les droites non // à l’axe y. Si b = 0 ; a = 1 et c = - k, on retrouve x = k les droites parallèles à l’axe y. Avantage de l’équ. cartésienne : regroupe tous les types de droites. Défaut : ne permet pas d’en déduire directement le type de droite. Si b = 0 : x = - c/a on obtient une droite verticale. Si a = 0 : y = - c/b on obtient une droite horizontale. Si c = 0 : ax + by = 0 donc la droite passe par l’origine. Si y = 0 alors x = - c/a ( si a ≠ 0 ) on obtient le pt( - c/a ; 0 ). Si x = 0 alors y = - c/b ( si b ≠ 0 ) on obtient le pt( 0 ; - c/b ).

17 II Les droites 1°) Equations de droites :
équation cartésienne : a x + b y + c = Si y = 0 alors x = - c/a ( si a ≠ 0 ) pt( -c/a ; 0 ) Si x = 0 alors y = - c/b ( si b ≠ 0 ) pt( 0 ; -c/b ) y = mx + p x = k Si a = 0 : y = - c/b droite horizontale m Si b = 0 : x = - c/a droite verticale p Si c = 0 : - c/b = - c/a = 0 1 - c/b a = 0 c/a k c = 0 b = 0

18 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Déterminez son coefficient directeur ( dans le cas général de coefficients non nuls ) par une recherche graphique ; par une démarche algébrique.

19 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Recherche graphique : Si a ≠ 0 ≠ b Recherche à partir du graphe : Détermination de points : A( 0 ; yA ) donne a(0) + b yA + c = 0 donc yA = - c/b donc le point A( 0 ; - c/b ) B( xB ; 0 ) donne a xB + b 0 + c = 0 donc xB = - c/a donc le point B( - c/a ; 0 ) A - c/b B c/a

20 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Recherche graphique : Si a ≠ 0 ≠ b Recherche à partir du graphe : Détermination de points : A( 0 ; yA ) donne a(0) + b yA + c = 0 donc yA = - c/b donc le point A( 0 ; - c/b ) B( xB ; 0 ) donne a xB + b 0 + c = 0 donc xB = - c/a donc le point B( - c/a ; 0 ) Δy c/b A coeff. dir. m = = = - a/b - c/b Δx c/a B c/a

21 équation cartésienne : a x + b y + c = 0
Recherche graphique : cas général si a, b et c non nuls m = (yB-yA)/(xB-xA) = [ 0 - (- c/b) ] / [ (- c/a) – 0 ] = [ c/b ] / [ - c/a ] = (c/b) × (- a/c) = - a/b Recherche algébrique : ax + by + c = 0 donc by = - ax – c donc y = (- a/b) x + (- c/b) A - c/b B c/a

22 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( ; ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( ; ) Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( ; ) donc aussi v = ( ) u = ( ; ) m 1 - c/b c/a k

23 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( ; ) Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( ; ) donc aussi v = ( ) u = ( ; ) m 1 - c/b c/a k

24 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( ; ) donc aussi v = ( ) u = ( ; ) m 1 - c/b c/a k

25 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = ( ) u = ( ; ) m 1 - c/b c/a k

26 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = (ab/c) u = ( - b ; a ) m 1 - c/b c/a k

27 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = (ab/c) u = ( - b ; a ) si a = 0 : m 1 - c/b c/a k

28 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = (ab/c) u = ( - b ; a ) si a = 0 : y = - c/b et u( z ; 0 ) m avec tout réel z non nul. 1 - c/b c/a k

29 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = (ab/c) u = ( - b ; a ) si a = 0 : y = - c/b et u( z ; 0 ) m avec tout réel z non nul. si b = 0 : - c/b c/a k

30 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = (ab/c) u = ( - b ; a ) si a = 0 : y = - c/b et u( z ; 0 ) m avec tout réel z non nul. si b = 0 : x = - c/a et u( 0 ; z ) - c/b avec tout réel z non nul. c/a k

31 2°) Les vecteurs directeurs.
Si la droite a pour équation y = m x + p, par exemple u( 1 ; m ) Si la droite a pour équation x = k, par exemple u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, si a ≠ 0 ≠ b par exemple u( - c/a ; + c/b ) donc aussi v = (ab/c) u = ( - b ; a ) si a = 0 : y = - c/b et u( z ; 0 ) m avec tout réel z non nul. si b = 0 : x = - c/a et u( 0 ; z ) - c/b avec tout réel z non nul. Conclusion : u( - b ; a ) c/a k pour ax + by + c = 0 convient dans tous les cas

32 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : A B L’équation d’une courbe est la relation entre …

33 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : A B L’équation d’une courbe est la relation entre les coordonnées, valable pour …

34 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : A B L’équation d’une courbe est la relation entre les coordonnées, valable pour tous les points de la courbe : il faut donc …

35 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : A M B L’équation d’une courbe est la relation entre les coordonnées, valable pour tous les points de la courbe : il faut donc un 3ème point, qui va représenter tous les autres points. Soit M( x ; y ) un point quelconque de (AB), donc représentatif de tous les points de (AB). M appartient à (AB), donc

36 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : A M B L’équation d’une courbe est la relation entre les coordonnées, valable pour tous les points de la courbe : il faut donc un 3ème point, qui va représenter tous les autres points. Soit M( x ; y ) un point quelconque de (AB), donc représentatif de tous les points de (AB). M appartient à (AB), donc M, A et B alignés, donc AM et AB colinéaires.

37 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : exemple A( 3 ; 2 ) et B( 5 ; 8 ). A M B Soit M( x ; y ) un point quelconque de (AB), donc représentatif de tous les points de (AB). M appartient à (AB), donc M, A et B alignés, donc AM et AB colinéaires.

38 3°) Equation de droites :
Droite passant par 2 points : exemple A( 3 ; 2 ) et B( 5 ; 8 ). A M B Soit M( x ; y ) un point quelconque de (AB), donc représentatif de tous les points de (AB). M appartient à (AB), donc M, A et B alignés, donc AM et AB colinéaires. AM = ( x – 3 ; y – 2 ) AB = ( 5 – 3 ; 8 – 2 ) = ( 2 ; 6 ) x y’ – x’ y = 0 donc 2 ( y – 2 ) – 6 ( x – 3 ) = 0 donc 2y – 4 – 6x + 18 = 0 donc 2y = 6x – donc y = ( 6x – 14 )/2 donc y = 3x - 7

39 3°) Equation de droites :
Droite de vecteur directeur u passant par 1 point A : A par exemple u( 4 ; 2 ) et A( - 2 ; 6 ) u M AM

40 3°) Equation de droites :
Droite (AB) de vecteur directeur u passant par 1 point A : A par exemple u( 4 ; 2 ) et A( - 2 ; 6 ) u M AM Soit M( x ; y ) un point quelconque de (AB), donc représentatif de tous les points de (AB). AM et u colinéaires. AM = ( x + 2 ; y - 6 ) u = ( 4 ; 2 ) x y’ – x’ y = 0 donc 4 ( y - 6 ) – 2 ( x + 2 ) = 0 donc 4y - 24 – 2x - 4 = 0 2x + 28 donc 4y = 2x donc y = donc y = ½ x + 7 4

41 3°) Equation de droites :
Droite d parallèle à une droite (AB) et passant par 1 point C : C par exemple A( 2 ; 5 ), B( - 3 ; 20 ) et C( 1 ; 12 ) A CM M B AM

42 3°) Equation de droites :
Droite d parallèle à une droite (AB) et passant par 1 point C : C par exemple A( 2 ; 5 ), B( - 3 ; 20 ) et C( 1 ; 12 ) A CM M B AM Soit M( x ; y ) un point quelconque de d, donc représentatif de tous les points de d. d parallèle à (AB), donc AB et CM colinéaires. AB = ( (-3) - 2 ; 20 – 5 ) = ( - 5 ; 15 ) CM = ( x – 1 ; y – 12 ) x y’ – x’ y = 0 donc (-5) ( y – 12 ) – 15 ( x – 1 ) = 0 donc - 5y + 60 – 15x + 15 = 0 donc - 5y = 15x – donc y = ( 15x – 75 )/(-5) donc y = - 3x + 15

43 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation y = m x + p, elle a pour vecteur directeur u( ; ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v( ; ) p m

44 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation y = m x + p, elle a pour vecteur directeur u( 1 ; m ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v( m ; - 1 ) p m m -1

45 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation x = k, elle a pour vecteur directeur u( ; ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v( ; ) k

46 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation x = k, elle a pour vecteur directeur u( 0 ; z ) avec tout réel z non nul. et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v( z ; 0 ) k

47 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, et si a ≠ 0 ≠ b elle a pour vecteur directeur u( ; ) donc aussi ( ) u = ( ; ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v = ( ; ) et ( ) v = ( ; ) - c/b c/a

48 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, et si a ≠ 0 ≠ b elle a pour vecteur directeur u( - c/a ; + c/b ) donc aussi (ab/c) u = ( - b ; a ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v = ( c/b ; c/a ) et (ab/c) v = ( a ; b ) - c/b c/a

49 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, et si a ≠ 0 ≠ b elle a pour vecteur directeur u( - c/a ; + c/b ) donc aussi (ab) u = ( - b ; a ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v = ( c/b ; c/a ) et (ab) v = ( a ; b ) si a = 0 : y = - c/b et u( ; ) v( ; ). si b = 0 : x = - c/a et u( ; ) - c/b et v( ; ). c/a

50 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, et si a ≠ 0 ≠ b elle a pour vecteur directeur u( - c/a ; + c/b ) donc aussi (ab) u = ( - b ; a ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v = ( c/b ; c/a ) et (ab) v = ( a ; b ) si a = 0 : y = - c/b et u( z ; 0 ) avec tout réel z non nul, et v( 0 ; z ). si b = 0 : x = - c/a et u( 0 ; z ) - c/b et v( z ; 0 ). c/a Conclusion : a x + b y + c = 0 a pour vecteur orthogonal v( a ; b )

51 4°) Droites orthogonales dans un repère orthonormé.
Si la droite a pour équation a x + b y + c = 0, et si a ≠ 0 ≠ b elle a pour vecteur directeur u( - c/a ; + c/b ) donc aussi (ab) u = ( - b ; a ) et la droite orthogonale a pour vecteur directeur v = ( c/b ; c/a ) et (ab) v = ( a ; b ) si a = 0 : y = - c/b et u( z ; 0 ) avec tout réel z non nul, et v( 0 ; z ). si b = 0 : x = - c/a et u( 0 ; z ) - c/b et v( z ; 0 ). c/a Conclusion : a x + b y + c = 0 a pour vecteur orthogonal v( a ; b ) quels que soient a, b et c

52 Résumé : y = m x + p donne un vecteur directeur u( 1 ; m ) x = k u( 0 ; z ) avec tout réel z ≠ 0 a x + b y + c = 0 u( - b ; a ) y = m x + p donne un vecteur normal u( - m ; 1 ) x = k u( z ; 0 ) avec tout réel z ≠ 0 a x + b y + c = 0 u( a ; b )

53 Résumé : dans un repère orthonormé !
y = m x + p donne un vecteur directeur u( 1 ; m ) x = k u( 0 ; z ) avec tout réel z ≠ 0 a x + b y + c = 0 u( - b ; a ) y = m x + p donne un vecteur normal u( - m ; 1 ) x = k u( z ; 0 ) avec tout réel z ≠ 0 a x + b y + c = 0 u( a ; b ) On intervertit les 2 coordonnées et on multiplie une seule par - 1