Exercice 2 : Soit le polynôme P(x) = 2x4 – 180x² + 640x - 462

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1 Exercice 2 : Soit le polynôme P(x) = 2x4 – 180x² + 640x - 462
1°) Remplissez le tableau. 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0 x 1 2 3 4 5 P(x)

2 1°) Remplissez le tableau.
P(x) = 2x4 – 180x² + 640x – 462 P(5) = 2(5)4 – 180(5)² + 640(5) – 462 = 1250 – – 462 = - 512 Même méthode pour les autres. Remarques : il faut toujours justifier, que ce soit de l’algèbre, une construction graphique, un QCM, ou un tableau à remplir. Il est intéressant d’utiliser le tableur de sa calculatrice ( Menu → TABL → on tape P(x) dans Y1 → dans SET on fixe Start 0 End 5 Pitch 1 → Tabl ) pour remplir le tableau, ce qui oblige quand même à justifier pour prouver que les résultats affichés le sont en valeurs exactes. x 1 2 3 4 5 P(x) - 462 130 - 270 - 512

3 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0
P(x) = 2x4 – 180x² + 640x – 462 P(1) = P(3) = 0 donc 1 et 3 sont des racines de P(x), donc il peut être factorisé par (x-1) et (x-3) : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) P(x) est de degré 4, (x-1) et (x-3) sont de degré 1, donc R(x) est de degré 4 – 1 – 1 = 2, donc R(x) = ax² + bx + c Identification de R(x) :

4 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0
P(x) = 2x4 – 180x² + 640x – 462 P(1) = P(3) = 0 donc 1 et 3 sont des racines de P(x), donc il peut être factorisé par (x-1) et (x-3) : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) P(x) est de degré 4, (x-1) et (x-3) sont de degré 1, donc R(x) est de degré 4 – 1 – 1 = 2, donc R(x) = ax² + bx + c Identification de R(x) : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) ( ax² + bx + c ) = …. = ( … ) x4 + ( … )x3 + ( … )x² + ( … )x + ( … )

5 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0
P(x) = 2x4 – 180x² + 640x – 462 P(1) = P(3) = 0 donc 1 et 3 sont des racines de P(x), donc il peut être factorisé par (x-1) et (x-3) : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) P(x) est de degré 4, (x-1) et (x-3) sont de degré 1, donc R(x) est de degré 4 – 1 – 1 = 2, donc R(x) = ax² + bx + c Identification de R(x) : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) = (x² - x – 3x + 3) (ax² + bx + c) = (x² – 4x + 3) (ax² + bx + c) = ax4 + bx3 + cx² - 4ax3 – 4bx² - 4cx + 3ax² + 3bx + 3c = ax4 + ( b – 4a )x3 + ( c – 4b + 3a )x² + ( - 4c + 3b )x + 3c = 2x4 + 0 x3 – 180x² + 640x – 462

6 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0
Identification de R(x) : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) = (x² - x – 3x + 3) (ax² + bx + c) = (x² – 4x + 3) (ax² + bx + c) = ax4 + bx3 + cx² - 4ax3 – 4bx² - 4cx + 3ax² + 3bx + 3c = ax4 + ( b – 4a )x3 + ( c – 4b + 3a )x² + ( - 4c + 3b )x + 3c = 2x4 + 0 x3 – 180x² + 640x – 462 a = a = 2 b – 4a = b = 0 + 4a = 8 c – 4b + 3a = – qui donne c = b + 3a = - 154 4c + 3b = c = (640 – 3b)/(-4) = - 154 3c = – c = – 462/3 = - 154 P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) ( 2x² + 8x – 154 )

7 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0
P(x) = 2x4 – 180x² + 640x – 462 R(x) = 2x² + 8x - 154 Résolution de P(x) = 0 : P(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ) R(x) x – 1 = 0 ( solution 1 ) ou x – 3 = 0 ( solution 3 ) ou R(x) = 0 R(x) = 2x² + 8x – 154 = 0 Δ = b² - 4ac = (8)² - 4(2)(-154) = 1296 = 36² Δ > 0 donc deux racines [ - b + √Δ]/(2a) = [ - (8) + 36 ]/(2(2)) = ( )/4 = 7 et [ - b - √Δ]/(2a) = ( )/4 = - 11 Réponses : ensemble des solutions S = { 1 ; 3 ; 7 ; - 11 }

8 Exercice 3 : Soit le polynôme P(x) = x3 + 4x² - 52x + 80
1°) Remplissez le tableau. 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0 x 1 2 3 4 5 P(x)

9 1°) Remplissez le tableau.
P(x) = x3 + 4x² - 52x + 80 P(5) = (5)3 + 4(5)² - 52(5) + 80 = = 45 Même méthode pour les autres. 2°) Résolvez l’équation P(x) = 0 P(2) = P(4) = 0 donc 2 et 4 sont des racines de P(x), donc il peut être factorisé par (x-2) et (x-4) : P(x) = ( x – 2 ) ( x – 4 ) R(x) P(x) est de degré 3, (x-2) et (x-4) sont de degré 1, donc R(x) est de degré 3 – 1 – 1 = 1, donc R(x) = ax + b x 1 2 3 4 5 P(x) 80 33 - 13 45

10 Identification de R(x) : P(x) = ( x – 2 ) ( x – 4 ) R(x)
= (x² - 2x – 4x + 8) (ax + b) = (x² – 6x + 8) (ax + b) = ax3 + bx² - 6ax² - 6bx + 8ax + 8b = ax3 + ( b – 6a )x² + ( - 6b + 8a )x + 8b = x3 + 4x² - 52x + 80 donc : a = 1 ; b – 6a = 4 ; – 6b + 8a = – 52 ; 8b = 80 ; qui donne : a = 1 ; b = 4 + 6a = 10 ; b = (– 52 – 8a)/(-6) = 10 ; b = 80/8 = 10 donc R(x) = x + 10 Résolution de P(x) = 0 : P(x) = ( x – 2 ) ( x – 4 ) R(x) x – 2 = 0 ( solution 2 ) ou x – 4 = 0 ( solution 4 ) ou R(x) = 0 R(x) = x + 10 ( solution - 10 ) Réponses : ensemble des solutions S = { 2 ; 4 ; - 10 }

11 Exercice 4 : Résolvez 3x² - 6x + 3 ≤ 0 ( - 2x² - 2x + 12 ) ( 3x² + x + 7 )

12 Je nomme A = 3x² - 6x + 3 ; B = - 2x² - 2x + 12 ; C = 3x² + x + 7 et D = A/(BC) Signes de A : Δ = b² - 4ac = (- 6)² - 4(3)(3) = 0 Δ = 0 donc une racine – b/(2a) = - (- 6)/(2(3)) = 1 et le polynôme est du signe de a = 3 > 0 Signes de B : Δ = b² - 4ac = (- 2)² - 4(- 2)(12) = 100 = 10² Δ > 0 donc deux racines [ - b + √Δ]/(2a) = [ - (- 2) + 10 ]/(2(- 2)) = ( )/(- 4) = - 3 et [ - b - √Δ]/(2a) = ( )/(- 4) = 2 et le polynôme est du signe de a = - 2 < 0 à l’extérieur des racines.

13 A = 3x² - 6x + 3 ; B = - 2x² - 2x + 12 ; C = 3x² + x + 7 et D = A/(BC) Signes de C : Δ = b² - 4ac = (1)² - 4(3)(7) = - 83 Δ < 0 donc aucune racine et le polynôme est toujours du signe de a = 3 > 0 D ≤ 0 pour tous les x de S = ] – ∞; - 3 [ U { 1 } U ] 2 ; + ∞ [ x - ∞ ∞ A B C D