Les ondes électromagnétiques dans un conducteur

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1 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur

2 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal

3 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge

4 Conducteur ohmique Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M, à la date t :  = 0 Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant

5 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation a) Cas général

6 Les équations locales de Maxwell :
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday :

7 Les équations locales de Maxwell :
L’équation locale de Maxwell – Gauss : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

8 L’équation de propagation de E :
rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

9 L’équation de propagation de E :
Finalement :

10 L’équation de propagation de E :
ou

11 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation a) Cas général b) Cas des basses fréquences

12 L’équation de propagation de E :
En M, à la date t :

13 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation 4) Relation de dispersion a) Cas général

14 La relation de dispersion dans un métal

15 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 4) Relation de dispersion a) Cas général b) Cas des basses fréquences : l’effet de peau

16 pour t = et T

17 Tableau récapitulatif
Fréquences (Hz) 50 104 106 108 1010  (m) 104 = 1 cm 650 = 0,65 mm 65 6,5 0,65

18 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation 4) Relation de dispersion 5) Structure de l’onde

19 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 6) Aspect énergétique en basse fréquence

20 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait

21 Conducteur parfait :  << distances caractéristiques du matériau
Modèle du conducteur parfait Définition physique : On appelle modèle du conducteur parfait la limite obtenue lorsque l’épaisseur de peau est négligeable devant toutes les grandeurs macroscopiques caractéristiques du problème : Conducteur parfait :  << distances caractéristiques du matériau

22 Modèle du conducteur parfait
Définition mathématique : Un conducteur parfait est un conducteur idéal de conductivité électrique infinie. L’épaisseur de peau est donc nulle. C’est un modèle limite.

23 Modèle du conducteur parfait
Dans un conducteur parfait, en régime variable : E = 0, j = 0,  = 0 et B = 0 A la surface du conducteur parfait : js  0.

24 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait 2) Réflexion d’une O.E.P.P.M. en incidence normale a) Position du problème

25 Première relation de passage du champ électrique
 et js (1) (2) M

26 Seconde relation de passage du champ électrique
 et js (1) (2) M Et2(M) – Et1(M) = 0

27 Première relation de passage du champ magnétique
 et js (1) (2) M Bn2(M) – Bn1(M) = 0

28 Seconde relation de passage du champ magnétique
 et js (1) (2) M Bt2(M) – Bt1(M) = 0.js  n12

29 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait 2) Réflexion d’une O.E.P.P.M. en incidence normale a) Équation de propagation b) L’onde réfléchie

30 Lors de la réflexion sous incidence normale sur un conducteur parfait, l’onde réfléchie a même pulsation, même amplitude que l’onde incidente mais elle se propage en sens inverse. Au niveau de la surface réfléchissante, les champs électriques incident et réfléchi sont en opposition de phase tandis que les champs magnétiques incident et réfléchi sont en phase.

31 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait 2) Réflexion d’une O.E.P.P.M. en incidence normale 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert

32 Les ondes stationnaires
ventre de vibration nœud de vibration

33 Une O.P.P.M. peut se décomposer en deux ondes stationnaires de même pulsation, de même amplitude et en double quadrature

34 Une onde stationnaire peut se décomposer en deux O. P. P. M
Une onde stationnaire peut se décomposer en deux O.P.P.M. de même pulsation, de même amplitude et se propageant en sens opposés

35 Le choix de l’écriture de la solution dépend du problème à étudier en particulier des conditions aux limites (nœud).

36 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert b) Retour sur la réflexion de l’onde

37 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert b) Retour sur la réflexion de l’onde c) État surfacique du conducteur parfait

38 Champ incident Vide Conducteur parfait Champ créé par les courants surfaciques x = 0

39 Champs résultants Vide Conducteur parfait x = 0

40 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
II) Réflexion sur un métal parfait 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert b) Retour sur la réflexion de l’onde c) État surfacique du conducteur parfait d) Aspect énergétique

41 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait III) La cavité unidimensionnelle 1) Position du problème

42 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait III) La cavité unidimensionnelle 1) Position du problème 2) Exploitation des conditions aux limites

43

44

45 Les ondes électromagnétiques dans un conducteur
I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait III) La cavité unidimensionnelle 1) Position du problème 2) Exploitation des conditions aux limites 3) Les modes propres

46 Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

47 Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

48 Mode fondamental : 1 N V n = 1

49 Harmonique 2 : 2 = 2 1 N V n = 2 L = 2 2

50 Harmonique 3 : 3 = 31 N V n = 3 3

51 Harmonique 4 : 4 = 41 N V n = 4 4 L = 24