Exercice 1°) Soit la fonction f polynôme degré 2

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1 Exercice 1°) Soit la fonction f polynôme degré 2
définie sur R par f(x) = bx² - 3x Soit S le sommet de la courbe de f. Soient les fonctions g et h définies par : g(b) = xS et h(b) = yS Déterminez leurs ensembles de définition. Déduisez-en l’évolution du sommet sur le graphe lorsque b varie. idem l’évolution de la courbe de f.

2 Exercice 1°) Soit la fonction f polynôme degré 2
définie sur R par f(x) = bx² - 3x Soit S le sommet de la courbe de f. Soient les fonctions g et h définies par : g(b) = xS et h(b) = yS Déterminez leurs ensembles de définition. Dh = Dh = R* car si b = 0 la fonction n’est plus polynômiale de degré 2, donc la courbe n’est plus une parabole, donc il n’y a plus de sommet.

3 1°) f(x) = bx² - 3x - (- 3) 1,5 g(b) = xS = = 2b b
- (- 3) ,5 g(b) = xS = = 2b b g(b) est du signe de b : donc S à gauche pour b négatif, à droite pour b positif.

4 1°) f(x) = bx² - 3x - (- 3) 1,5 g(b) = xS = = 2b b
- (- 3) ,5 g(b) = xS = = 2b b g(b) est du signe de b : donc S à gauche pour b négatif, à droite pour b positif. 1,5 ‘ ‘ ,5 g’(b) = = 1, = 1, = < 0 b b b² b² Th. de la monotonie : lorsque b augmente xS diminue donc le sommet se déplace vers la gauche.

5 1°) f(x) = bx² - 3x 1,5 1,5 ² 1,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b - 3 b b b
1, ,5 ² ,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b b b b 1,5² , ,5² , ,25 = b = = b² b b b b h(b) est du signe de - b : donc S en haut pour b négatif, en bas pour b positif.

6 1°) f(x) = bx² - 3x 1,5 1,5 ² 1,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b - 3 b b b
1, ,5 ² ,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b b b b 1,5² , ,5² , ,25 = b = = b² b b b b + 2,25 h’(b) = > 0 b² Th. de la monotonie : lorsque b augmente yS augmente donc le sommet se déplace vers le haut.

7 idem l’évolution de la courbe de f.
f(x) = ax² + Bx + c avec a = b ; B = - 3 et c = 0, donc f est une fonction polynôme degré 2, donc sa courbe est une parabole. Cette parabole est resserrée lorsque |b| est grand, épanouie lorsque |b| petit. Elle est orientée vers le haut lorsque b > 0 et vers le bas lorsque b < 0 Elle a un axe de symétrie et un sommet ( étudiés précédemment ). Elle croise l’axe des y toujours en l’origine puisque f(0) = c = 0

8 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

9 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

10 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

11 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

12 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

13 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

14 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

15 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

16 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

17 1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

18 Exercice 2°) La fonction f est définie sur R par f(x) = bx² - 3x
Déterminez b et a pour qu’une tangente T en un point A d’abscisse a de la courbe de f satisfasse les conditions suivantes : T est parallèle à la droite d’équation 2y – 34x + 5 = 0 T passe par le point B( 3 ; 31 ) 3°) Quelle est alors l’aire du triangle formé par T et les axes x et y ?

19 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

20 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

21 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

22 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

23 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

24 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

25 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

26 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

27 2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

28 coeff. directeur de la tgte = xM - xA y – f(a) f ‘(a) = x – a
M( x ; y ) est un point quelconque de T, donc représentatif de tous les points de T. yM - yA coeff. directeur de la tgte = xM - xA y – f(a) f ‘(a) = x – a y – f(a) = f ‘(a) ( x – a ) y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a)

29 f(x) = bx² - 3x y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) f ‘(x) = 2bx – 3 donc f ‘(a) = 2ba – 3 Equation de la tangente en a : y = (2ba – 3)x + (ba² - 3a) – a(2ba – 3) = (2ba – 3)x + ba² - 3a – 2ba² + 3a = (2ba – 3)x – ba²

30 T : y = (2ba – 3)x – ba² T est // à la droite d d’équation 2y – 34x + 5 = 0 2y – 34x + 5 = y = 34x – y = 17x – 2,5 T // d elles ont le même coeff. directeur f ‘(a) = ba – 3 = ba = 10 T passe par le point B( 3 ; 31 ) 31 = (2ba – 3)3 – ba²

31 T : y = (2ba – 3)x – ba² T est // à la droite d d’équation 2y – 34x + 5 = 0 2y – 34x + 5 = y = 34x – y = 17x – 2,5 T // d elles ont le même coeff. directeur f ‘(a) = ba – 3 = ba = 10 T passe par le point B( 3 ; 31 ) 31 = (2ba – 3)3 – ba² 31 = (17)3 – ba² ba² = 20

32 T : y = (2ba – 3)x – ba² Il faut résoudre le système T // d ba = 10 B Є T ba² = 20

33 T : y = (2ba – 3)x – ba² Il faut résoudre le système T // d ba = 10 B Є T ba² = 20 ba² = 20 (ba)a = 20 10a = 20 a = 2 On peut aussi diviser la 1ère équation par la 2ème : ba² 20 = a = 2 ba 10

34 T : y = (2ba – 3)x – ba² Il faut résoudre le système T // d ba = 10 B Є T ba² = 20 ba² = 20 (ba)a = 20 10a = 20 a = 2 On peut aussi diviser la 1ère équation par la 2ème : ba² = a = 2 puis b = = = 5 ba 10 a a²

35 f(x) = bx² - 3x T : y = (2ba – 3)x – ba²
a = 2 et b = 5 donnent y = (2(5)(2) – 3)x – 5(2²) = 17x - 20 Réponse : la tangente parallèle à d et passant par B est la tangente d’équation y = 17x - 20 au point d’abscisse 2 de la courbe de la fonction f(x) = 5x² - 3x

36 3°) Quelle est alors l’aire du triangle formé par T et les axes x et y ?
tangente d’équation y = 17x – 20 au point d’abscisse 2 de la courbe de f(x) = 5x² - 3x 0,3 20/ Aire = ½ Base × hauteur = ½ (20/17) × 20 = 200/17

37 4°) b n’est plus qu’un entier positif. Soit la suite définie par un = l’aire du triangle délimité par les axes x et y et la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse b = n. Déterminez le sens de variation de la suite.

38 4°) b n’est plus qu’un entier positif. Soit la suite définie par un = l’aire du triangle délimité par les axes x et y et la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse b = n. Déterminez le sens de variation de la suite. Question 2° : f(x) = bx² - 3x Tangente en a : y = (2ba – 3)x – ba² Qui donne y = (2b² – 3)x – b3

39 4°) b3/(2b² – 3) tangente d’équation y = (2b² – 3)x – b3
au point d’abscisse b de la courbe de f(x) = bx² - 3x b3/(2b² – 3) b un = Aire = ½ Base × hauteur n3 - b = × × n3 n² – 3

40 Sens de variation de la suite :
1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 1ère méthode : (n+1)6 n6 un+1 - un = - 4(n+1)² – 6 4n² – 6

41 Développement de (n+1)6 = ?
Pour faciliter l’opération, j’utilise le triangle de Pascal : 1

42 Développement de (n+1)6 = ?
Pour faciliter l’opération, j’utilise le triangle de Pascal : (n+1)6 = 1x x x x313 x x x016 = x6 + 5x5 + 15x4 + 20x3 x2 + 6x1 + 1

43 Sens de variation de la suite :
1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 1ère méthode : n6+6n5+15n4+20n3+15n2+6n+1 n6 un+1 - un = - 4(n² + 2n +1) – 6 4n² – 6

44 Sens de variation de la suite :
1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 1ère méthode : n6+6n5+15n4+20n3+15n2+6n+1 n6 un+1 - un = - 4n² + 8n – 2 4n² – 6 etc… ( méthode bien difficile algébriquement ! )

45 Sens de variation de la suite :
1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par n6 6n5 (4n² – 6) – 8n(n6) f(x) = f’(x) = 4n² – 6 (4n² – 6)² grâce à la formule (u/v)’ = (u’ v – v’ u) / v²

46 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 6x5 (4x² – 6) – 8x(x6) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² 24x7 – 36x5 – 8x7 16x7 – 36x5 4x5(4x²-9) f’(x) = = = (4x² – 6)² (4x² – 6)² (4x² – 6)²

47 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ , , ∞ x5 4x² - 9

48 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ ,5 -√1, √1, , ∞ x5 4x² - 9 f ‘(x)

49 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ ,5 -√1, √1, , ∞ x5 4x² - 9 f ‘(x)

50 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ ,5 -√1, √1, , ∞ x5 4x² - 9 f ‘(x) f(x)

51 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ ,5 -√1, √1, , etc + ∞ x5 4x² - 9 f ‘(x) f(x)

52 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par
x6 u0 = 0/(- 6) = 0 f(x) = u1 = 1/(- 2) = - 0,5 4x² – 6 u2 = 64/10 = 6,4 u0 > u1 et u1 < u2 < etc… la suite est strictement croissante sur N*. x - ∞ ,5 -√1, √1, , etc + ∞ x5 4x² - 9 f ‘(x) f(x)