Module: Logique Mathématique. SOMMAIRE 1- Notions d’ensembles 2- Constructions d’ensembles 3- Cardinal d’ensembles 4- Relations d’ensembles ordonnées.

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1 Module: Logique Mathématique

2 SOMMAIRE 1- Notions d’ensembles 2- Constructions d’ensembles 3- Cardinal d’ensembles 4- Relations d’ensembles ordonnées 5- Trellis 6- Algèbre de Boole 7- Fonctions booléennes 8- Calcul propositionnels

3 Chapitre1: Notions d’ensembles

4 Quelques ensembles usuels  l’ensemble des entiers naturels N = {0,1,2,3,...}.  l’ensemble des entiers relatifs Z = {..., −2, −1,0,1,2,...}  l’ensemble des nombres complexes C.

5 1- les ensembles 1-1 Définition:  Informellement, Un ensemble est une collection d’éléments Exemple:{0,1}, {rouge,noir}, {0,1,2,3,...} = N.  Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément.  On note:  Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient une propriété. Exemple:

6 1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire  L’inclusion: E ⊂ F si tout élément de E est aussi un élément de F. Autrement dit : ∀ x ∈ E (x ∈ F ). On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F.  L’égalité: E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.  Complémentaire. Si A ⊂ E,

7  Union: Pour A, B ⊂ E, 1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire  Intersection:

8 1.3. Règles de calculs  Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

9 1.3. Règles de calculs Voici les dessins pour les deux dernières assertions. (7) (8) (9) (10) (11)

10 Correspondance entre propriétés et ensembles  On se donne un ensemble E et trois propriétés P,Q,R susceptibles d'être vérifiées par des éléments de l'ensemble E.  À chacune des propriétés, on associe un sous ensemble de E. P et Q P(x) et Q(x) P ou Q P(x) ou Q(x) non P non(non(P)) ⇔ P non(P et Q) ⇔(non(P) ou non( Q)) non(P ou Q) ⇔(non(P) et non( Q)) P ou (non P) P et (non P) Impossible

11 Les preuves sont pour l’essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques- unes : x ∈ A∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A∩ B) ou (x ∈ A∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A∩ B) ∪ (A∩ C). Preuve de A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C): Remarquez que l’on repasse aux éléments pour les preuves. 1.3. Règles de calculs

12 1.4. Produit cartésien  Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F, est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F. Exemple 1.

13 Exo d’application

14 2. Applications 2.1. Définitions  Une application (ou une fonction) f : E → F, c’est la donnée pour chaque élément x ∈ E d’un unique élément de F noté f ( x).  Nous représenterons les applications par deux types d’illustrations : les ensembles « patates », l’ensemble de départ (et celui d’arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points. L’association x → f ( x) est représentée par une flèche.

15 2. Applications  L’autre représentation est celle des fonctions continues de R dans R (ou des sous-ensembles de R). L’ensemble de départ R est représenté par l’axe des abscisses et celui d’arrivée par l’axe des ordonnées. L’association x → f ( x) est représentée par le point ( x, f ( x)).  Égalité. Deux applications f, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout x ∈ E, f ( x ) = g ( x ). On note alors f = g.

16 2. Applications  Le graphe de f : E → F est  Composition. Soient f : E → F et g : F → G alors g o f : E → G est l’application définie par g o f ( x ) = g f ( x )

17 2. Applications Exemple 2. 2. Définissons f, g ainsi

18 2.2. Image directe, image réciproque Soient E, F deux ensembles. Définition 1.  Soit A ⊂ E et f : E → F, l’image directe de A par f est l’ensemble

19 2.2. Image directe, image réciproque Définition 2. Soit B ⊂ F et f : E → F, l’image réciproque de B par f est l’ensemble

20 2.2. Image directe, image réciproque 2.3. Antécédents  Fixons y ∈ F. Tout élément x ∈ E tel que f (x ) = y est un antécédent de y. Sur les dessins suivants, l’élément y admet 3 antécédents par f. Ce sont x 1, x 2, x 3.

21 Exercice d’application

22 Cardinal d’ensembles

23 3. Injection, surjection, bijection 3.1. Injection, surjection Soit E, F deux ensembles et f : E → F une application. Remarque: Définition 4. f est surjective si pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x ). Autrement dit : ∀ y ∈ F ∃ x ∈ E (y = f (x ))  f est injective si et seulement si tout élément y de F a au plus un antécédent (et éventuellement aucun).  f est surjective si et seulement si tout élément y de F a au moins un antécédent.

24 3.2. Bijection 3. Injection, surjection, bijection Définition 5. f est bijective si elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E tel que y = f (x ). Autrement dit : ∀ y ∈ F ∃ ! x ∈ E (y = f (x )) L’existence du x vient de la surjectivité et l’unicité de l’injectivité. Autrement dit, tout élément de F a un unique antécédent par f.

25 Cardinal d’ensemble fini Définition 6.  Un ensemble E est fini s’il existe un entier n ∈ N et une bijection de E vers {1, 2,..., n}. Cet entier n est unique et s’appelle le cardinal de E (ou le nombre d’éléments) et est noté Card E. Quelques exemples : 1. E = { rouge, noir} est en bijection avec {1,2} et donc est de cardinal 2. 2. N n’est pas un ensemble fini 3. Par définition le cardinal de l’ensemble vide est 0

26 3. Si A est un ensemble fini et B ⊂ A alors Card (A/ B ) = Card A− Card B. En particulier si B ⊂ A et Card A = Card B alors A = B. Enfin quelques propriétés : 2. Si A, B sont des ensembles finis disjoints (c’est-à-dire A∩ B = ∅ ) alors Card (A ∪ B ) = Card A + Card B. 4. Enfin pour A, B deux ensembles finis quelconques : Card (A ∪ B ) = Card A + Card B − Card (A∩ B ) Cardinal d’ensemble fini

27 Voici une situation où s’applique la dernière propriété : La preuve de la dernière propriété utilise la décomposition A ∪ B = A ∪ (B \ (A∩ B )) Les ensembles A et B \ (A∩ B ) sont disjoints, donc Card (A ∪ B ) = Card A + Card (B \ (A∩ B )) = Card A + Card B − Card (A∩ B ) par la propriété 2, puis la propriété 3.

28 Injection, surjection, bijection et ensembles finis Proposition 3. Soit E, F deux ensembles finis et f : E → F une application. Proposition 4. alors les assertions suivantes sont équivalentes : i. Si f est injective ii. Si f est surjective iii. Si f est bijective

29 4- Relations d’ensembles ordonnées

30 Introduction  Une relation est définie par son graphe.  Etude des relations : 1- Relation d'équivalence 2- Relation d'ordre

31 Introduction Définition  Soit un ensemble E, on dit qu'on a défini une relation R sur l'ensemble E, si on s'est donné un ensemble G ⊂ E x E appelé graphe de la relation.  Cette définition revient à dire que pour définir une relation, on se donne l'ensemble des couples (x,y) d'éléments de E qui vérifient la relation. On constate que l'on a ici le même mode de définition que pour une application, qui est un cas particulier de relation, appelée relation fonctionnelle. Au lieu de noter (x,y) x ∈ G, nous noterons xRy Notation:  Dans ce chapitre, nous étudions deux type classiques de relations : 1- les relations d'équivalence 2- les relations d'ordre

32 1-Relations d’équivalence Définition  On dit qu'une relation est une relation d'équivalence si elle est :  symétrique symétrique  réflexive réflexive  transitive transitive  Dans le cas d'une relation d'équivalence, deux éléments en relation sont aussi dits équivalents.

33 1-Relations d’équivalence Exemple : Voici des exemples basiques. 3. La relation « être perpendiculaire » n’est pas une relation d’équivalence (ni la réflexivité, ni la transitivité ne sont vérifiées). 2. La relation « être du même âge » est une relation d’équivalence.

34 Définition : Classe d'équivalence 1-Relations d’équivalence  Étant donné un ensemble E muni d'une relation d'équivalence R, on appelle classe d'un élément x l’ensemble: Propriété: Théorème:

35 1-Relations d’équivalence Démonstration Montrons que la classe y est contenue dans celle de x.

36 1-Relations d’équivalence Définition : Représentant d'une classe  Ceci justifie d'appeler tout élément d'une classe représentant de cette classe. Partition d'un ensemble L’ensemble E est partagé en une réunion disjointe de classes.  Les classes forment une partition de l'ensemble Chaque élément de E appartient à une classe au moins Chaque élément de E appartient à une seule classe.

37 Exemples : 1. Pour la relation « être du même âge », la classe d’équivalence d’une personne est l’ensemble des personnes ayant le même âge. Il y a donc une classe d’équivalence formée des personnes de 19 ans, une autre formée des personnes de 20 ans,... Les trois assertions de la proposition se lisent ainsi : On est dans la même classe d’équivalence si et seulement si on est du même âge. Deux personnes appartiennent soit à la même classe, soit à des classes disjointes. Si on choisit une personne de chaque âge possible, cela forme un ensemble de représentants C. Maintenant une personne quelconque appartient à une et une seule classe d’un des représentants. 2. Pour la relation « être parallèle », la classe d’équivalence d’une droite est l’ensemble des droites parallèles à cette droite. À chaque classe d’équivalence correspond une et une seule direction. 1-Relations d’équivalence

38 EXERCICE D’APPLICATION

39 2-Relation d’ordre

40 2-Relations d’ordre Définition Soit E un ensemble. Une relation binaire R dans E est une relation d'ordre, si elle est : relation d'ordre  réflexive réflexive  antisymétrique antisymétrique  transitive transitive

41 2-Relations d’ordre Exemple La relation d'inclusion ⊂ sur les parties d’un ensemble. Remarque : Notation

42 2-Relations d’ordre Attention  On dit cependant quelquefois que c'est une relation d'ordre strict, ce qui est dangereux puisque ce n'est pas une relation d'ordre. Même problème pour l'inclusion stricte des ensembles. Définition : Ordre total

43 Définition : majorant 2-Relations d’ordre  Si M est un majorant de F, tout élément plus grand que M est aussi un majorant. Définition : minorant  Si m est un majorant de F, tout élément plus petit que m est aussi un majorant.

44 Définition : ensemble majoré 2-Relations d’ordre  On dit qu'un sous-ensemble F de E ensemble ordonné est majoré s'il possède un majorant. (d'après les règles d'usage des quantificateurs) Définition : ensemble minoré  On dit qu'un sous-ensemble F d’un ensemble ordonné E est minoré s'il possède un minorant.

45 Définition : ensemble borné 2-Relations d’ordre Un sous-ensemble F d'un ensemble ordonné E est borné si il possède à la fois un majorant et un minorant, c'est-à-dire s'il est à la fois majoré et minoré. Définition : plus grand élément On définit de la même façon, plus petit élément m de F:

46 2-Relations d’ordre Définition: borne supérieure Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E. On suppose que F est majoré. Si l'ensemble des majorants de F admet un plus petit élément, il est appelé borne supérieure de F et est noté sup F. Définition: borne supérieure Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E. On suppose que F minoré. Si l'ensemble des minorants de F admet un plus grand élément, il est appelé borne inférieure de F et est noté inf F.

47  Il est facile de montrer les implications suivantes qui résultent simplement des définitions. 2-Relations d’ordre Propriété: Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E  Si F admet un plus grand élément M, alors M est la borne supérieure de F  Si F admet une borne supérieure a, alors a est un majorant de F  Si F a une borne supérieure qui appartient à F, alors c'est aussi le plus grand élément de F  Si F admet un plus petit élément m, alors m est la borne inférieure de F  Si F admet une borne inférieure a, alors a est un minorant de F  Si F a une borne inférieure qui appartient à F, alors c'est aussi le plus petit élément de F