Laboratoire A2SI - Groupe ESIEE

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MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES Représentation Externe des systèmes dynamiques linéaires à temps continus (Méthodes fréquentielles) Tarik AL ANI Laboratoire A2SI - Groupe ESIEE 18/09/2018

Représentation Externe des systèmes dynamiques linéaires à temps continus (Méthodes fréquentielles)
III.1 Introduction L ’avantage des méthodes externes, dites fréquentielles (voir ) est de permettre la définition naturelle de notions de robustesse telle que les marge de gain et de phase à partir de descriptions graphiques comme les diagrammes de Nyquist et de Bode. Notons aussi que l ’approche fréquentielle est naturellement adaptée au cas de systèmes pour lesquels il n ’est pas possible d ’obtenir un modèle mathématique satisfaisant à partir d ’équations de la physique. Les résultats ou les analyses de cette représentation seront essentiellement valides dans le cas de systèmes monovariables (une entrée et une sortie). Des généralisations au cas multivariables (plusieurs entrées et plusieurs sorties) ont été développées [4],[5]. 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace En général, même si la réponse impulsionnelle d ’un système est connue, le maniement du produit de convolution pour obtenir l ’expression de la sortie n ’est pas toujours aisé. C ’est une des raisons essentielles qui justifie l ’utilisation du calcul opérationnel en automatique notamment la Transformée de Laplace pour les systèmes à temps continu et Transformée en z pour les systèmes en temps discret. Ces transformations ont la propriété essentielle de transformer un produit de convolution en un produit simple. 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) Le principe consiste à remplacer une fonction f(t) par sa transformée dans le domaine fréquentielle F(p), où p est une variable complexe Définition III.1 Transformée de Laplace Soit f(t) une fonction réelle d ’une variable réelle t définie pour t>0 (ou 0+). Alors la transformée de Laplace de cette fonction est l ’intégrale : 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) Définition III.2 Transformée de Laplace La transformée inverse de Laplace F(p) d ’une fonction scalaire du temps, f(t), est l ’intégrale : 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) Propriétés de la Transformée de Laplace linéarité dérivation intégration convolution Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale Théorème du retard Etalonnage du temps Etalonnage de la fréquence 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) Tableau de des Transformées de Laplace de certaines fonctions utiles dans le domaine de systèmes de commande impulsion retardée F(t), t> F(p) impulsion unité u(t) échelon unité /p t rampe unité /p2 impulsion retardée tn polynomial n!/pn+1 exponentiel /(p+a) 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) Tableau de des Transformées de Laplace de certaines fonctions utiles dans le domaine de systèmes de commande impulsion retardée F(t), t> F(p) signal sinusoïdal signal cosinus signal sinusoïdal amorti signal cosinus amorti 1/(n-1)![ tn ] n=1, 2, 3, … /(p+a)n 1/(b-a)[ ] /[(p+a)(p+b)] 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) Tableau de des Transformées de Laplace de certaines fonctions utiles dans le domaine de systèmes de commande F(t), t> F(p) 1/(a-b)[a b ] p/[(p+a)(p+b)] 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.1 Solution des équations différentielles ordinaires par la transformée de Laplace 1. Solution de l ’équation x est l ’entrée du système et y sa sortie. Les conditions initiales sont constantes En utilisant la transformée de Laplace de l ’équation différentielle, nous obtenons est appelé polynôme caractéristique (III.5) Ce terme dépend de l ’entrée Ce terme dépend des conditions initiales 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.1 Solution des équations différentielles ordinaires par la transformée de Laplace A. Solution de l ’équation (suite) En utilisant la transformée inverse de Laplace, la solution est Réponse forcée (dépend de l ’entrée Réponse libre (dépend de la condition initial de la sortie 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.1 Solution des équations différentielles ordinaires par la transformée de Laplace A. Solution de l ’équation (suite) Exemple III avec Par identification, nous obtenons et en appliquant les propriétés 1 et 2 de la transformée de Laplace La solution est Une méthode permettant la résolution de ce type d ’équation sera présentée au paragraphe III.2.1. 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.1 Solution des équations différentielles ordinaires par la transformée de Laplace B. Solution de l ’équation x est l ’entrée du système et y sa sortie. Les conditions initiales sont constantes A: dépend de l ’entrée B: dépend des conditions initiales à l ’entrée C: dépend des conditions initiales à la sortie 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.2 Développement partiel des fonctions rationnelles Soit L ’équation caractéristique possède n racines. Certaines de ces racines peuvent être répétées. Exemple III.2 Supposons que possède n1 racines égales à p1, n2 racines égales à p2, …, nr racines égales à pr, où r est le nombre des racines distinctes. 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.2 Développement partiel des fonctions rationnelles (suite) Le développement partiel de H(p) est comme suit : 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.3 Développement partiel de la transformée inverse de H(p) Le développement partiel de L-1[H(p)] (Equ. III.9a) est comme suit : Exemple III.3 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.4 Détermination des racines des polynômes caractéristique Qn(p) Pour trouver la solution des équations différentielles à coefficients constants par la transformée de Laplace, il faut déterminer les racines réelles et imaginaires des polynômes caractéristique Qn(p)=0. Pour un système d ’ordre 2 : Qn(p)= p2+a1p+a0=0, il est très facile de déterminer ces racines par la formule quadratique Pour des polynômes d ’ordre élevés, Il existe plusieurs méthodes parmi lesquelles la méthode analytique de lieu des racines « root locus » sera introduite au paragraphe III.4.6. 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros Définition III.3 Zéros de H(p), zi Ce sont les racines du numérateur pour lesquelles Définition III.4 Pôles de H(p), pi Ce sont les racines du dénominateur pour lesquelles 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Définition III.5 Constante de temps du système Si tous les pôles pi ont une partie réelle strictement négatives, on appel généralement constante de temps du système de réponse impulsionnelle h(t) donnée par l ’équation (III.10) la quantité Tc définie par 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Considérons la fonction rationnelle 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) avec la forme polaire 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Chaque variable complexe p, zi, pi, p-zi et p-pi peut être représentée par un vecteur dans le plan-p. Si p est en général un nombre complexe, alors le vecteur représentant p a une magnitude et une direction définie par l ’angle mesuré dans le sens opposé d ’aiguilles de montre à partir de l ’axe positive de . 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Définition III.6 Plan complexe Le plan défini par les coordonnée Re(H(p)) et Im(H(p)) est dit plan complexe ou plan p, Fig. III.1. Définition III.7 Plan pôle-zéro de H(p) Ce plan est un plan p incluant les positions des pôles et zéros finis de H(p), Fig. III.1a. Définition III.8 Les demi-plans gauche - droite du plan complexe demi-plan gauche : demi-plan droite : x x x Pôle zéro Fig. III.1a plan pôle-zéro 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Fig. III.1b montre une représentation graphique de pôle et zéros typiques : Exemple III.4a Soit le système décrit par alors le module et l ’angle de H( ) pour sont calculés dans le plan-p comme suit : Le module de H(i1) est zj zj z-zj pi p p pi X p-pi Fig. III.1b i1 26,6o 45o x x 18/09/2018 Fig. III.1c

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Exemple III.4b Soit le système décrit par H(p) possède alors 5 pôles. Les zéros finis de H(p) sont les racines de l ’équation de polynôme du numérateur Trois pôles X -5 +5 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Système de deuxième ordre ( voir paragraphe II.12) L ’équation différentielle peut être représentée par la transformée de Laplace comme suit : où Y(p)=L[y(t)], X(p)=L[x(t)]. Les pôles de H(p) sont 18/09/2018

III.2 Transformées de Laplace (suite) III.2.5 Plan complexe - pôles et zéros (suite) Système de deuxième ordre ( voir paragraphe II.12) (suite) les deux pôles sont négatifs et réels (p1, ) les deux pôles sont égaux, négatifs et réels (p1,2= ) les deux pôles sont complexes conjugués avec des parties réelles négatives ( ) les deux pôles sont imaginaires et complexes conjugués ( ) les deux pôles sont dans le demi-plan droite du plan p. x x Fig. III.2 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité La stabilité d ’un système commandé est une propriété essentielle et primordiale. Définition III.9a : Stabilité interne A système est stable si sa réponse impulsionnelle h(t) tende vers zéro quand le temps tend vers infini. Dans le cas contraire, le système est instable. Exemple III.5 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité Définition III.9b : Modes propres A partir de l ’équation (III.10) exprimant la réponse impulsionnelle h(t), il est évident que pour chaque pôle pi il existe une fonction de temps associée de la forme Ces fonctions de temps sont appelées modes propres (natural modes) du système. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.9b : Modes propres (suite) Un système est stable s ’il possède des modes propres stables. Autrement dit, est la partie réelle décrivant la diminution ou l ’augmentation exponentielle en fonction du temps et Il est évident que le système est stable si ses pôle propres possèdent une partie réelle strictement négative ( <0). Ces pôles sont alors localisés sur le demi-plan gauche ouvert. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Remarque : Les effets des zéros sur la stabilité du système seront étudiés au paragraphe III.4.2. Exemple III.6 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.9b : Modes propres (suite) Deux remarques S ’il existe des modes propres non commandables ou non observables qui sont instables, ceux-ci n ’apparaissent pas dans la fonction de transfert du système. Supposons que le système soit non commandable. Sa fonction de transfert ne dépend alors que des modes propres qui sont commandables. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.9c : Un pôle marginalement stable Un pôle est marginalement stable si et seulement s ’il est un pôle non répété sur l ’axe imaginaire Im(p). Ainsi ce pôle ne possède pas une partie réelle strictement positive. Définition III.9d : Un pôle marginalement instable Un pôle est marginalement instable s ’il possède une partie réelle strictement positive ou s ’il est un pôle répété sur l ’axe imaginaire. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.9e : Modes propres marginalement stables Un mode propre est dit marginalement stable si ses pôles propres sont marginalement stables. Définition III.9f : Modes propres marginalement instables Un mode propre est dit marginalement instable si ses pôles propres sont marginalement instables. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.9g : Un système marginalement stable Un système est dit marginalement stable (ou à la limite de stabilité) s ’il possède un ou plusieurs modes propres marginalement stables. Dans ce cas, la réponse impulsionnelle ne tends pas à zéro malgré qu’elle est bornée. De plus, certaines entrées produirons des réponses non bornées. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Exemple III.7 Le système décrit par la transformée de Laplace Puisque ces racines ont des parties réelles nulles, le système est alors instable. Cependant, il est marginalement stable puisque l ’équation ne possède pas des racines réelles positives. La sortie aura des oscillations bornées pour beaucoup d ’entrées ou des perturbations bornées. Cependant si l ’entrée est x=sin t, la sortie sera y=t sin t qui n ’est pas bornée. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Exemple III.8a L ’équation différentielle d ’un intégrateur peut être écrite comme suit : Sa transformée de Laplace est alors Y(p)/X(p)=1/p. L ’équation caractéristique est p=0. C ’est un pôle situé à l ’origine. Un intégrateur est alors marginalement stable. Une entrée bornée x=1 produit alors une réponse non bornée y=t. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.9e : Un système marginalement instable Un système est dit marginalement instable s ’il possède un ou plusieurs modes propres marginalement instables. Dans ce cas, la sortie du système n ’est pas bornée. Exemple III.8b Un fonction décrite par une rampe f(t)=t. F(p)=1/p2. Cette fonction possède deux pôles répétés sur l ’origine (p1=p2=0). Le système est alors marginalement instable. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.10 : A système est asymptotiquement stable si tous ses pôles sont dans le demi-plan gauche du plan p (possèdent des parties réelles strictement négatives). Fig. III.3 montre une représentation de la stabilité par analogie avec un mouvement d ’une bille sur une surface. Seule le frottement visqueux est supposé qu’il existe. Fig. III.3 a: système stable b: système asymptotiquement c: système instable stable 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Système de deuxième ordre ( voir paragraphe III.2.5) Dans ce paragraphe, nous allons lier le comportement de ce système à la position de ses pôles. En fonction de la valeur de nous avons défini la nature des pôles correspondants.Voici les réponses du système à un échelon. A) y(t) 1 X X t Réponse apériodique 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Système de deuxième ordre ( suite) B) y(t) 1 X t Réponse oscillatoire 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Système de deuxième ordre ( suite) C) y(t) 1 X t Réponse juste oscillant système marginalement stable 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Système de deuxième ordre ( suite) D) y(t) 1 X t Réponse divergente 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Système de deuxième ordre ( suite) E) y(t) 1 X X t Réponse exponentielle 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Système de deuxième ordre ( suite) Les observations précédentes sont générales pour tous les systèmes linéaires. L ’étude des systèmes du second ordre a aussi permis de mettre en évidence une classe particulière de systèmes instables : celle des systèmes marginalement stable. (à la limite de stabilité). 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Remarque : Un système instable qui n ’est pas à la limite de stabilité diverge même sous l ’effet d ’une entrée nulle, si les conditions initiales ne sont pas nulles, considérons par exemple le système défini par : sa réponse à u(t)=0 est le signal non borné 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Définition III.11 : Stabilité externe Un système est stable au sens de Entrée- Bornée Sortie-Bornée (E.B.S.B.) si une entrée bornée implique une sortie bornée. Un système est alors E.B.S.B. stable si tous ses pôles possèdent une parties réelle strictement négative. Exemple III.10 Si une fonction échelon unité est appliquée à l ’entrée d ’un système et la réponse obtenue a la forme y=t, alors ce système n ’est pas EBSB stable puisque l ’entrée est bornée mais la réponse n ’est pas bornée. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères de test de stabilité En général, il existe deux approches pour tester la stabilité: 1. Un approche basées sur des critères algébriques. Ces approches permettent de tester le polynôme caractéristique Qn(p) à coefficients réels de dénominateur de H(p) sans avoir à calculer explicitement ses pôles. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères de test de stabilité 2. Des approches graphiques de représentation d ’une fonction de transfert : Ces approches, basées sur la réponse fréquentielle, sont essentiellement des procédures graphiques pour déterminer la stabilité absolue et relative des systèmes en boucle fermée. Une information sur la stabilité est disponible directement à partir du graphe de la fonction de transfert en boucle ouverte , une fois que le système en boucle fermée est mis sous forme canonique (voir paragraphes III.4.5 et III.4.6). 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères de test de stabilité 2. Des approches graphiques de représentation d ’une fonction de transfert (suite) Il existe plusieurs raisons pour choisir ces approches afin de déterminer la stabilité du système. Les approches algébriques (Routh, Hurwitz, etc.) sont souvent inadéquates parce qu’elles, sauf rare exceptions, sont uniquement utilisées pour déterminer la stabilité absolue, et sont uniquement applicables aux systèmes possédants une équation caractéristique avec un polynôme fini en p. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères de test de stabilité 2. Des approches graphiques de représentation d ’une fonction de transfert (suite) Quand un signal est retardé par secondes quelque part dans la boucle du système, des termes exponentiels de la forme apparaissent dans l ’équation caractéristique. Les approches algébriques peuvent être appliquées aux tels systèmes uniquement si approché par quelques termes de la série par conséquent, ces approches fournissent uniquement une information approximative de la stabilité. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères de test de stabilité 2. Des approches graphiques de représentation d ’une fonction de transfert (suite) Les approches graphiques sont aussi utiles pour obtenir une information sur les fonctions de transfert des composants ou des systèmes à partir des données expérimentales de la réponse fréquentielle. Les représentations graphiques peuvent être directement obtenues à partir des mesures en régime permanent fournies par les composants de la fonction en boucle ouverte. Cette propriété est très utile pour déterminer les caractéristiques de la stabilité du système quand les fonctions de transfert des composants de la boucle ne sont pas disponibles sous formes analytiques ou quand les systèmes physiques sont évalués expérimentalement. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères de test de stabilité 2. Des approches graphiques de représentation d ’une fonction de transfert (suite) Les approches les plus importantes sont les suivantes : Diagramme des lieu des racines « root locus », Diagramme de Nyquist, Diagramme de Bode, Diagramme de Nichols. Dans ce paragraphe nous présentons uniquement la première approche. Les autres approches seront présentées au paragraphe III.5. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité Pour vérifier qu’un polynôme a toutes racines à parties réelles négatives, il existe plusieurs critères algébriques, simple à mettre en œuvre. La stabilité du système peut être testée ainsi sans avoir à calculer explicitement ses pôles. Les critères les plus conventionnels sont Le critère d ’Hurwitz Le critère de Routh Nous présentons uniquement le critère de Routh. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh Soit l ’équation caractéristique suivante 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh (suite) Le critère est appliqué en utilisant la table de Routh : Par récurrence selon la formule tant que c ’est possible. j i 0 1 2 -1 a01 a11 a 0 a02 a12 a 1 a03 a13 a 2 a04 a14 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh (suite) sont les coefficients de l ’équation caractéristique. La table continue horizontalement et verticalement jusqu’à ce que uniquement des zéros sont obtenus. Si n ’importe qu’elle ligne de la table est multipliée par une constante avant de calculer la ligne suivante, ceci n ’a aucun effet sur les propriétés de la table. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh (suite) Théorème Le polynôme Qn(p) a toutes ses racines à partie réelle strictement négative si et seulement si tous les sont non nuls et de même signe. Le nombre de changements de signe dans la première colonne de la table de Routh correspond au nombre de racines de Qn(p) ayant une partie réelle positive. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh (suite) Toutes les racines de l ’équation caractéristique possèdent une partie réelle négative si et seulement si les éléments de la première colonne de la table de Routh ont le même signe. Autrement, le nombre des racines avec des parties réelles positives est égal au nombre de changement de signe. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh (suite) Souvent il est désiré de déterminer la plage des valeurs d ’un paramètre du système pour laquelle le système est stable. Ceci peut être accompli en écrivant les inégalités qui assurera qu’il n ’existe aucun changement de signe dans la première colonne de la table de Routh de ce système. 18/09/2018

III.3 Notion de stabilité (suite) Critères algébriques de test de stabilité (suite) Critère de Routh (suite) Exemple III.10 Soit le système asservi de la figure III.4. Quelle est la valeur du gain K pour que ce système soit stable? En appliquant la règle de Routh, nous constatons que le gain K doit satisfaire la plage suivante <K<8 j i 0 1 + K 1 (8-k)/3 0 2 1+K 0 K 1/Qn(p) - Fig. III.4 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) Définition III.12 Fonction de transfert d ’un Système SISO : Nous avons vu au paragraphe III.2.1 que la solution des équations différentielles est Si alors Y(p)=H(p)X(p), H(p) est dite fonction de transfert 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) Exemple III.11 Moteur à courant continu entraînant une charge mécanique (voir Exemple I.24 cas c) Prenons comme exemple le cas c) : le moteur entraîne une charge avec un arbre rigide couplé à une mécanique à travers un réducteur. Rappelons les équations qui décrit le mouvement 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) Exemple III.11 (suite) Déterminons la fonction de transfert de ce système En prenant les transformées de Laplace des équations précédentes, nous obtenons : 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) Exemple III.11 (suite) 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) Définition III.13 Matrice de transfert d ’un système MIMO : Dans un système multivariable, une équation différentielle de type (III.8) relie chacune des sorties à chacune des entrées de commande , lorsque les autres entrées sont nulles. A chaque équation différentielle est donc associée une fonction de transfert Gij : 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) Système MIMO : Matrice de transfert (suite) En appliquant le principe de superposition, il vient que l ’effet global des entrées sur une sortie est la somme des effets séparés provenants des différentes entrées : Sous forme matricielle : Y(p)=G(p)X(p) (III.14a) où X(p)=[X1(p), …, Xm(p)] ’, Y(p)=[Y1(p), …, Yr(p)] ’ et G(p) est la matrice de transfert du système multivariable, définie par (III.14b) 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.1 Propriétés des fonctions de transfert 1. La FT d ’un système H(p)= L[ ] où est la réponse impulsionnelle, Fig. III.5 On peut démontrer que y(t)=u(t) * = * u(t) 2. La FT peut être obtenue en effectuant la transformée de Laplace de l ’équation différentielle du système et en négligeant tous les termes de conditions initiales. H(p) H(p) impulsion Fig. III.5 Conditions initiales nulles 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.1 Propriétés des fonctions de transfert (suite) 3. L ’équation différentielle du système peut être obtenue à partir de H(p) en remplaçant le variable p par l ’opérateur D. 4. La FT est définie pour un système linéaire invariant. 5. La stabilité d ’un système invariant (stationnaire) peut être déterminée à partir de l ’équation caractéristique : Par conséquent, si tous les pôles du dénominateur ont une partie réelle négative, le système est alors stable. 6. La FT d ’un système est indépendante de la nature de l ’entrée. 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.1 Propriétés des fonctions de transfert (suite) 5. Les racines du dénominateur sont les pôles du système et les racines du numérateur sont les zéros du système. La fonction de transfert (HG) peut être alors spécifiée dans la limite d ’un constant en spécifiant les pôles et les zéros du système. Ce constant, couramment noté K, est le facteur de gain (ou gain) : 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert Si on excite un système linéaire, supposé EBSB-stable, par une entrée périodique de pulsation , la sortie est un signal périodique de même pulsation , amplifié de et déphasé de Les zéros de correspondent aux fréquences asymptotiquement rejetées par le système continu de fonction de transfert H(p). 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Si la fonction de transfert H(p) a un zéro à 0, les entrées de type échelon ( ) sont asymptotiquement rejetées. Définition III.14 Gain statique On appelle gain statique du système en temps continu de fonction de transfert H(p) le réel H(0). 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) La nature des zéros d ’un système, celle des pôles, joue un rôle important dans sa dynamique. Un rôle d ’égale importance est joué par la présence d ’un retard pur. La position des zéros dans le plan complexe et la présence ou non d ’un retard nous permet de distinguer deux classes de systèmes linéaires :celle des systèmes dits à phase minimale et celle des systèmes dits à phase non minimale. 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Définition III.15 Système à phase minimale On dira qu’un système est à phase minimale si ses zéros sont asymptotiquement stables (ses parties réelles sont strictement négatives). C ’est le cas d ’un système décrit par une fonction de transfert qui ne comporte pas de terme de retard pur , par exemple d ’un système décrit par une fonction de transfert ne comportant que des zéros stables, par exemple 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Définition III.15 Système à phase non minimale On dira qu’un système est à phase non minimale si ses zéros sont instables (ses parties réelles sont positives). C ’est le cas d ’un système décrit par une fonction de transfert qui comporte de terme de retard pur , par exemple - d ’un système décrit par une fonction de transfert comportant des zéros instables, par exemple 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Exemple III.12 Comparaison entre un système à phase minimale (sys1) et un autre à phase non minimale (sys2) Sys1 Le diagramme de phase (Bode) et les positions des pôles et des zéros montre que ce système est à phase minimale et qu’il est stable. 40 Fig. III.6 a. Diagramme de Bode Im Re X -5 O -1 18/09/2018 Fig. III.6 b. Plan-p

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Exemple III.12 (suite) Sys2 Le diagramme de phase (Bode) et les positions des pôles et des zéros montre que ce système est à phase non minimale (le zéro est dans le demi-plan droite) et qu ’il est stable. 180 Fig. III.7 a Im Re X -5 1 O 18/09/2018 Fig. III.7 b

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Un système à phase non minimale peut poser des problèmes sérieux. Exemple III.13 Limitations fondamentales de comportement d ’un système à phase non minimale. Soit le système bouclé suivant : C ’est un système de poursuite : L ’objectif est d ’accorder y(t) sur la trajectoire définie par la consigne r(t). K est le gain de retour qui sert à réduire l ’erreure e(t) entre la consigne r(t) et la sortie réelle du système. y(t) r(t) + e(t) u(t) K H(p) - Fig. III.8 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Un système à phase non minimale peut poser des problèmes sérieux. Exemple III.13 (suite) Supposons maintenant que le système est à phase non minimale mais stable décrit par Si K augmente, le pôle du système bouclé tend vers le zéro du système en boucle ouverte et le système en boucle fermée devient instable. Im K Re X O 18/09/2018 Fig. III.10

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Un système à phase non minimale peut poser des problèmes sérieux. Exemple III.13 (suite) Supposons que le système est à phase minimale (son zéro réel strictement négatif) mais instable (son pôle réel strictement positif) décrit par Ce système peut être facilement stabilisé en utilisant un retour avec un gain élevé, pour que le pôle en boucle fermée tend vers le zéros stable (voir paragraphe III.5.1). Im K Re O X 18/09/2018 Fig. III.9

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.2 Zéros d ’une fonction de transfert (suite) Exemple III.14 Un déphaseur pur Le système décrit par la fonction de transfert suivant définit un système à phase non minimale (à déphasage non minimal), puisqu’il a un zéro réel positif Le diagramme de Bode de ce système, Fig. III.11, montre que sa phase chute de 0o à -180o, alors que son amplitude est constante, égale à l ’unité. 0 dB -90 -180 18/09/2018 Fig. III.11

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.3 Réponse temporelle du système (suite) Exemple III.15 Déterminer la réponse à une échelon unité du système , alors p0=0, p1=-0.5, p2=-4 et z1=-2. 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.3 Réponse temporelle du système La réponse temporelle est y(t)=L-1[H(p)X(p)] (III.16a) Cette réponse peut être aussi déterminée en calculant les pôles de H(p)X(p) et en évaluant les résidus sur ces pôles (en cas où les pôles sont non répétés) : Alors y(t) dépend à la fois des pôles et des zéros de H(p) et les pôles et les zéros de l ’entrée X(p). 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.3 Réponse temporelle du système (suite) Exercice : Montrer que h(t), la transformée inverse de H(p), est égale à la fonction de pondération w(t) du système décrit par une équation différentielle à coefficients constants 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.4 Réponse fréquentielle du système La réponse en régime établi (ou permanent) d ’un système à des entrées sinusoïdales peut être déterminée par la fonction de transfert. Réponse à un échelon d ’amplitude A : Y(p)=H(p)A/p Si le système est stable, la réponse en régime établi est une fonction d ’échelon d ’amplitude AH(0) puisque ceci est le résidu sur le pôle à l ’entrée. H(0) est appelé gain statique du système qui est une valeur réelle. Si le système est instable (par exemple un intégrateur H(p)=1/p), une réponse établie n ’existe pas (par exemple cette réponse pour un intégrateur est une fonction linéaire croissante en temps (possède un gain infini)). 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.4 Réponse fréquentielle du système (suite) Réponse à une entrée La sortie possède la même fréquence que celle de l ’entrée. est le gain du système pour une entrée sinusoïdale possédant une fréquence . Les zéros de correspondent aux fréquences asymptotiquement rejetées par le système continu de fonction de transfert H(p). 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.4 Réponse fréquentielle du système (suite) Fréquemment, la réponse fréquentielle est représentée par deux tracés : un pour en fonction de et l ’autre pour en fonction de Exemple III.16 Soit 0;5 -160o 0 0,5 1,0 2,0 4,0 8,0 0,5 0,433 0,316 0,158 0,054 0,015 0 -40,6o -71,6o -108,5o ,4o ,9o 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes Dans ce paragraphe nous allons d ’abord étudier plus en détail les relations entre les différents éléments d ’un système en utilisant les concepts des domaines fréquentiels et des fonctions de transfert. Ensuite nous développerons des méthodes pour réduire des schémas blocs complexes à des formes plus simples. 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Schémas d ’un système asservi Il existe trois variants, Fig. III.12a-c a. schéma de principe b. représentation de base, avec des perturbations réduites à l ’entrée du procédé c. cas fréquent de système asservi (système de régulation) W(p) W(p) U(p) Y(p) R(p) E(p) contrôleur procédé + - H1 H2 Ym(p) dispositif de mesure G Fig. III.12 a. Schéma de principe R(p)-consigne, E(p)-écart, U(p)-signal de commande Y(p)-grandeur de sortie (commandée), Ym(p)-grandeur de sortie (mesurée). W(p)-perturbations 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Schémas d ’un système asservi (suite) La poursuite : Le but de ce système est de maintenir l ’égalité de la consigne R(p) et de la sortie Y(p) (E(p)=0) quelles que soient les variations de la consigne en fonction de temps. Exemples : enregistreur asservi, radar de poursuite automatique, fraiseuse à recopie. Le contrôleur dans ce cas est appelé correcteur. W(p) U(p) R(p) E(p) + Y(p) Entrée principale contrôleur procédé + + - Ym(p) dispositif de mesure Fig. III.12 b. Schéma d ’un système de poursuite 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Schémas d ’un système asservi (suite) La régulation : Le but de ce système est de maintenir la sortie Y(p) au niveau déterminé par la consigne R(p), le plus souvent constante (E(p)=0), quelques soient les perturbations W(p). Exemples : régulation de pression dans un réservoir, régulation de température dans un four, régulation (ou stabilisation) d ’un niveau ou d ’un débit. Le contrôleur dans ce cas est appelé régulateur. Y(p) + procédé Entrée principale W(p) - contrôleur U(p) E(p) Ym(p) dispositif de mesure R(p) - + Fig. III.12 c. Schéma d ’un système de régulation 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Blocs en cascade = Y R Y R H1 H2 Hn H Fig III.13 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Forme canonique d ’un système en boucle fermée Le schéma bloc de la figure III.12a peut être remplacé par le schéma bloc de la figure III.14, avec La configuration résultante est appelée forme canonique du système de commande en boucle fermée. R(p) E(p) Y(p) + H(p) Ym(p) G(p) Fig. III.14 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Forme canonique d ’un système en boucle fermée (suite) Définition III.16 : fonction de transfert transversale Définition III.17 : fonction de transfert de retour Définition III.18 : fonction de transfert en boucle ouverte Définition III.19 : fonction de transfert en boucle fermée (taux de contrôle) Définition III.20 : taux de l ’écart Définition III.21 : taux de retour 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Forme canonique d ’un système en boucle fermée (suite) Le signe - pour un retour négatif, et le signe + pour un retour positif. L ’équation caractéristique du système peut être déterminée à partir de 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Théorèmes de transformation des schémas blocs H représente une fonction de transfert quelconque, et R, E, U, Y, Ym sont des signaux dans le domaine p. Transformation Equation Schéma bloc Schéma équivalent 1 combinaison en Y=(H1H2)X cascade X Y X H1H2 Y H1 H2 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Théorèmes de transformation des schémas blocs (suite) Transformation Equation Schéma bloc Schéma équivalent 2 combiner des Y=HX GX blocs en parallèles; ou éliminer une boucle transversale 3 éliminer un bloc Y=H X GX d ’un chemin transversal X Y X Y H G H G X Y G 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Théorèmes de transformation des schémas blocs (suite) Transformation Equation Schéma bloc Schéma équivalent 4 éliminer une Y=H (X GY) boucle de retour 5 éliminer un bloc Y=H (X GY) d ’une boucle de retour X Y X Y H G X Y 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.5 Algèbre des schémas blocs et les fonctions de transfert des systèmes (suite) Systèmes à boucle fermée avec un gain d ’unité N ’importe quel système possédant des éléments linéaires dans la boucle peut être transformé (transformation 5) à un système à boucle fermée avec un gain d ’unité (voir schéma équivalent de la transformation 5). Dans ce cas, l ’équation caractéristique est déterminée par (avec G=1): 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.6 Fonction de transfert en boucle fermée Soit le système asservi décrit par la forme canonique de la figure III.15. La fonction de transfert en boucle fermée est R(p) E(p) Y(p) + H(p) - G(p) Fig. III.15 18/09/2018

III.4 Fonction de Transfert (FT) (suite) III.4.6 Fonction de transfert en boucle fermée (suite) Soit HG la fonction de transfert en boucle ouverte : où N(p) et D(p) sont des polynômes finis fonctions des variables complexes p, et K est le gain en boucle ouverte. La fonction de transfert en boucle fermée est alors Les pôles de la boucle fermée sont alors les racines de l ’équation caractéristique D(p)+KN(p)=0 (III.23) 18/09/2018

Représentation Externe des systèmes dynamiques linéaires à temps continus
III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) En général, le lieux des pôles en boucle fermée de l ’ équation caractéristique dans le plan-p varient en fonction de K . Ce lieu tracés dans le plan-p est appelé le lieu des racines (root-locus). Si K=0, les racines de l ’équation (III.23) sont alors les racines du polynôme D(p), qui sont les mêmes que les pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte HG. Si K deviens très grand , les racines s ’approchent de celles du polynôme N(p), qui sont les zéros de la boucle ouverte. Ainsi si K est augmenté de 0 à infini, les lieux des pôles de la boucle fermée se déplacent à partir des pôles en ouverte vers les lieux des zéros en boucle ouverte. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Le lieu des racines est un diagramme dans le plan-p qui montre les valeurs de p qui correspondent aux positions des pôles pour toutes les valeurs du gain K, en partant de K=0 (les pôles en boucle ouverte) et en terminant à K= Les diagrammes de lieu des racines fournissent une indication importante sur les étendues du gain qui peuvent être utilisées tout en gardant le système stable en boucle fermée. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Exemple III.16 Soit la fonction en boucle ouverte Pour G=1, la fonction de transfert en boucle fermée est qui possède 2 pôles 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité
Représentation Externe des systèmes dynamiques linéaires à temps continus III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Exemple III.16 (suite) Fig. III.16 montre le lieu de ces pôles en fonction de K (K>0). Nous constatons que ce lieu des racines possède deux branches : une pour le pôle en boucle fermée qui se déplace du pôle en boucle ouverte situé à l ’origine vers le zéro de la boucle ouverte situé à -1, et une autre pour le pôle en boucle ouverte qui se déplace du pôle en boucle ouverte situé à -2 vers le zéro en boucle ouverte situé à K=1, K= K= K=1, K=0 X O X Fig. III.16 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Dans l ’exemple précédent, le lieu des racines sont construits par factorisation du polynôme au dénominateur de la fonction de transfert du système en boucle fermée. Dans la suite, des techniques permettant la construction des lieux des racines sans avoir besoin d ’effectuer une factorisation seront développées. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Critère de l’angle et du module Pour qu’une branche de lieu des racines passe à travers un point particulier p1 dans le plan-p, il est nécessaire que p1 soit une racine de l ’équation caractéristique (III.23) pour une certaine valeur réelle de K : D(p1)+KN(p1)=0 (III.24) ou 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Critère de l’angle et du module (suite) Alors, le nombre complexe HG (p1) doit avoir un angle de phase de 180o+360*lo, où l est un nombre entier arbitraire. Ainsi, nous avons le critère de l’angle : 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Critère de l’angle et du module (suite) Pour que p1 soit un pôle du système en boucle fermée, c ’est-à-dire, sur le lieu des racines, il est nécessaire que l ’équation (III.25) soit satisfaite par rapport au module en plus de l ’angle de phase. Autrement dit, K doit avoir la valeur particulière qui satisfait le critère du module : , alors 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Nombre des lieux Le nombre des lieux (nombre des branches de lieu des racines) est égal au nombre des pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte HG. Exemple III.17 La fonction de transfert en boucle ouverte possède trois pôles. Ainsi il existe trois branches séparées dans le lieu des racines. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Les parties de lieu des racines sur l ’axe réel dans le plan-p sont déterminées en calculant le nombre total des pôles et des zéros finis de HG de côté droite des points considérés. La règle suivante dépend si K est positif ou négatif. Règle pour K>0 Points de lieu des racines sur l ’axe réel se trouve à gauche d ’un nombre impaire des pôles et des zéros finis. Règle pour K<0 Points de lieu des racines sur l ’axe réel se trouve à gauche d ’un nombre paire des pôles et des zéros finis. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Si aucun point sur l ’axe réel se trouve à gauche d ’un nombre impaire (ou paire) fini de pôles et de zéros, alors il n ’y a pas de partie de lieu des racines pour K>0 (ou K<0) sur l ’axe réel. Exemple III.18 Considérons la carte pôle-zéros d ’une fonction de transfert HG, Fig. III.17 Puisque tous les points sur l ’axe réel entre 0 et -1 et entre -1 et -2 se trouvent à gauche d ’un nombre impaire fini de pôles et de zéros, ces points sont sur le lieu des racines pour K>0. X X O X +i -i Fig. III.17 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Asymptotes Pour des distances loin de l ’origine dans le plan-p, les branches du lieu des racines tendent vers un ensemble d ’asymptotes. Ces asymptotes émanent à partir d ’un point dans le plan-p sur l ’axe réel appelé centre d ’asymptotes donné par sont les racines réelles (négatives) des pôles et des zéros de HG respectivement. n et m sont leurs nombres respectivement. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Asymptotes (suite) Les angles entre les asymptotes et l ’axe réel sont définis par degrés pour K>0 (III.29) degrés pour K<0 pour l=0, 1, 2, …, n-m-1. Les nombre obtenu des asymptotes est égal à n-m. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Asymptotes (suite) Exemple III.18 Le centre d ’asymptotes de est localisés à Puisque n-m=3-1=2, il y a deux asymptotes. Leurs angle avec l ’axe réel sont 90o et 270o, pour K>0. Pôles doubles 90o 270o X O X -4 -2 X Fig. III.18 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (breakaway points) Un point de cassure est un point sur l ’axe réel où deux ou plus de branches du lieu des racines partent ou arrivent sur l ’axe réel, Fig. III.19. X O X X Fig. III.19 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (suite) La position de ce point peut être déterminée par la solution de l ’équation suivante en terme de : sont les racines réelles (négatives) des pôles et des zéros de HG respectivement. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (suite) La solution de cette équation nécessite une factorisation d ’un polynôme d ’ordre (n+m-1) en Par conséquent, le point de cassure peut uniquement être résolue analytiquement pour des HG relativement simples. Cependant, une position approximative peut souvent être déterminée intuitivement; puis un processus itératif peut être utilisé pour résoudre l ’équation avec plus de précision. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (suite) Exemple III.19 Pour déterminer les points de cassure pour l ’équation suivante doit être résolue 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (suite) Exemple III.19 (suite) Nous appliquons la règle de l ’axe réel vu précédemment, pour K>0 indiquant qu ’il existe des branches de lieu des racines entre zéro et -1 et entre et -2. Alors la racine à -0,423 est un point de cassure, Fig. III.20. La valeur = -1,577 représente un point de cassure sur le lieu des racines pour des valeurs négatives de K puisque la partie de l ’axe réel entre -1 et -2 est sur le lieu des racines pour K<0. = - 0,423 X X X Fig. III.20 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (suite) Exemple III.20 Déterminer les point de cassure entre 0 et -1 de Le point de cassure doit satisfaire Si cette équation a été simplifiée, un polynôme d ’ordre trois peut être obtenu. Comme un premier test, supposons que =-0,5 et utilisons cette valeur dans les deux termes correspondant aux pôles les plus éloignés du point de cassure (hors la limite entre 0 et -1). 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Points de cassure (suite) Exemple III.20 (suite) Alors Cette valeur est utilisée pour obtenir une bonne approximation comme suit : La deuxième approximation n ’a pas donné une valeur trop différente de la première. Un premier test raisonnable peut donner souvent une approximation consistante avec uniquement une étape de calcul. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Angles de départ et d ’arrivée Angle de départ L ’angle de départ de lieu des racines à partir d ’un pôle complexe est donné par 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Angles de départ et d ’arrivée (suite) Angle de départ (suite) - Exemple III.21 Soit L ’angle de départ de lieu des racines à partir de pôle situé à p= -1+i est déterminé comme suit. L ’angle de HG (arg GH ’) pour p= -1+i, en ignorant la contribution de ce pôle, c ’est-à-dire est -45o. Alors l ’angle de départ 135o X +i p1 O X -i p2 Fig. III.21 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Angles de départ et d ’arrivée (suite) Angle d ’arrivée L ’angle d ’arrivée de lieu des racines sur un zéro complexe est donné par 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Angles de départ et d ’arrivée (suite) Angle d ’arrivée (suite) - Exemple III.22 Soit L ’angle d ’arrivée de lieu des racines sur le zéro situé à z= +i est déterminé comme suit. L ’angle de HG (arg GH’’) pour z= +i, en ignorant la contribution de ce zéro, c ’est-à-dire est -45o. Alors l ’angle d ’arrivée est 225o O p1 +i X -i p2 Fig. III.22 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines Le lieu des racines peut être facilement tracé en utilisant les règles de construction vues précédemment et une méthode pour déterminer l ’angle et le module de la fonction de transfert à n ’importe quel point du plan-p. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Procédure efficace : 1. Déterminer les parties du lieu des racines sur l ’axe réel, 2. Calculer le centre et les angles d ’asymptotes et dessiner les asymptotes sur le diagramme, 3. Déterminer les angles de départ et d ’arrivée sur les pôles et les zéros complexes (s ’ils existent) puis indiquer les sur le diagramme, 4. Dessiner grossièrement les branches du lieu des racines tel que chaque branche de ce lieu soit termine à un zéro ou tende vers l ’infini sur l ’une des asymptotes. C ’est l ’expérience de l ’ingénieur qui détermine la précision de cet étape. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) La précision du tracé peut être améliorée en appliquant le critère d ’angle au voisinage des emplacements des branches estimées. La règle de point de cassure peut aussi être utilisée pour déterminer les points de cassure. Le critère du module est utilisé pour déterminer les valeurs de K le long des branches du lieu des racines. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Puisque des pôles complexes du système doivent produire des couples complexes conjugués (en supposant des coefficients réels pour les polynômes du numérateur et du dénominateur de HG), le lieu des racines est alors symétrique par rapport à l ’axe réal. Ainsi, il est suffisant de tracer uniquement la moitié supérieure de lieu des racines. Cependant, nous devons se rappeler, en effectuant cette opération, que les valeurs inférieurs des pôles et des zéros complexes de la boucle ouverte doivent être inclus quand les critères de l ’angle et du module sont appliqués. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Souvent, pour les besoins d ’analyse et de conception, une tracé précise de lieu des racines est nécessaire uniquement dans certaines régions du plan-p. Dans ce cas, nous avons besoin d ’appliquer les critères d ’angle et du module uniquement dans ces régions d ’intérêt après avoir obtenir une tracé grossière et générale du diagramme. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Exemple III.23 Construire le lieu des racines de la fonction de transfert en boucle ouverte En appliquant la règle de l ’axe réel, les parties de l ’axe réel entre 0 et -2 et entre -4 et sont sur le lieu des racines pour K>0. Le centre des asymptotes est déterminé par l ’équation (III.28) : et il existe trois asymptotes situé à 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Exemple III.23 (suite) Puisque deux branches de lieu des racines pour K>0 viennent ensemble sur l ’axe réel entre 0 et -2, un point de cassure existe sur cette partie de l ’axe réel. Ainsi, le lieu des racines pour K>0 peut être tracé en estimant l ’emplacement du point de cassure et en continuant les branches de lieu des racines vers les asymptotes, Fig. III.23a. +i2 X X X +i1 -i1 -i2 Fig. III.23a 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Exemple III.23 (suite) Pour améliorer la précision de cette tracé, l ’emplacement exacte du point de cassure est déterminé par l ’équation (III.30) : 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Exemple III.23 (suite) Le critère d ’angle est appliqué au points de voisinage de lieu des racines approximatif pour améliorer la précision de l ’emplacement des branches dans la partie complexe du plan-p; le critère du module est utilisé pour déterminer les valeurs de K sur le lieu des racines. , Fig. III.23b. K=48 K=20 +i2 K=7 X X X X +i1 -6 K=48 K=15 K=7 -i1 K=7 -i2 K=20 K=48 Fig. III.23b 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Construction de lieu des racines (suite) Exemple III.23 (suite) Le lieu des racines pour K<0 est construit de la même façon, Fig. III.23c. Cependant, dans ce cas, les parties de l ’axe réel entre 0 et et entre -2 et -4 sont sur le lieu des racines; le point de cassure est localisé à -3,155; et les asymptotes possèdent des angles K=-48 K=-20 +i2 K=-7 X X X +i1 K=-7 K=-15 -i1 K=-7 -i2 K=-20 K=-48 Fig. III.23c 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) La fonction de transfert en boucle fermée et la réponse dans le domaine temporel La fonction de transfert en boucle fermée Y(p)/R(p) est facilement déterminée à partir du diagramme de lieu de transfert pour une valeur spécifiée du facteur de gain K en boucle ouverte. A partir de la la réponse temporelle y(t) peut être déterminée, par inversion de Y(p), pour une entrée donnée r(t). 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) La fonction de transfert en boucle fermée et la réponse dans le domaine temporel Considérons la fonction de transfert en boucle ouverte C(p)/R(p) pour un système canonique avec un retour négatif de gain unité : La fonction de transfert en boucle ouverte est alors 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) La fonction de transfert en boucle fermée et la réponse dans le domaine temporel (suite) Alors et il est claire que Y(p)/R(p) et H possèdent les mêmes zéros mais pas les mêmes pôles (sauf pour K=0). Ainsi 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) La fonction de transfert en boucle fermée et la réponse dans le domaine temporel (suite) Exemple III.24 Considérons le système en boucle ouverte Pour K=2, les pôles en boucle fermée sont Alors Double pôles K=2 K=1 X K=4 O -2 -1 Fig. III pôle en boucle fermé K=1 K=2 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) La fonction de transfert en boucle fermée et la réponse dans le domaine temporel (suite) Si le système possède un gain de retour non unitaire, alors Les pôles en boucle fermé peuvent être déterminée directement à partir de lieu des racines pour un K donné, mais les zéros en boucle fermée ne sont pas égales aux zéros en boucle ouverte. Les zéros en boucle fermée doivent être calculés séparément par l ’annulation des fractions de l ’équation (III.18). 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) La fonction de transfert en boucle fermée et la réponse dans le domaine temporel (suite) Le lieu des racine est le même que celui de l ’exemple III.24. Ainsi pour K=2, p1 = -2+j et p2 = -2-j. Alors Exemple III.25 Considérons le système décrit par 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Marge de gain et Marge de phase à partir de lieu des racines Marge de gain : C ’est l ’élément par lequel la valeur de conception du gain peut être multiplié avant que le système en boucle fermé devient instable. Si le lieu des racines ne coupe pas l ’axe imaginaire, alors MG est égal à l ’infini. 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Marge de gain (suite) Exemple III.26 Considérons le système décrit en figure III.25a. La valeur de conception de K est 8, produisant des pôles en boucle fermée (petits triangles). Le gain K sur l ’axe imaginaire est 64, ainsi la marge de gain de ce système est 64/8=8. + Y R - a. système K=64 K=8 J3 j2 j1 3 pôles K=8 X -1 -4 K=8 b. lieu des racines Fig.III.25 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Marge de gain et Marge de phase (suite) Marge de phase (MPh) : La marge de phase d ’un système à boucle fermée peut aussi être déterminée à partir de lieu des racines. Dans ce cas il est nécessaire de trouver le point sur l ’axe imaginaire pour lequel pour la valeur de conception K : D ’habitude, il est nécessaire d ’utiliser une procédure d ’essai-erreur pour localiser Alors 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Marge de phase (suite) Exemple III.27 Considérons le système décrit en figure III.26a. La valeur de conception de K est 1, produisant des pôles en boucle fermée (petits triangles). Le point sur l ’axe imaginaire pour lequel + Y R 24 - a. système K=64 K=24 J3 j2 j1 2 pôles K=24 X -6 -4 -1,33 K=24 b. lieu des racines Fig.III.26 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Détermination du coefficient d ’amortissement à partir de lieu des racines Le gain nécessaire pour déterminer un coefficient d ’amortissement donné (ou vice-versa) pour un système de second ordre peut être facilement déterminé par le lieu des racines. Il suffit de tracer une ligne droite de l ’origine avec un angle de par rapport à l ’axe réel négatif où K=64 K=24 J3 j2 j1 2 pôles K=24 60o X -6 -4 -1,33 K=24 lieu des racines Fig.III.27 18/09/2018

III.5 Approches graphiques de test de stabilité III.5.1 Lieu des racines (root-locus) (suite) Détermination du coefficient d ’amortissement à partir de lieu des racines (suite) Le gain K sur le point d ’intersection avec le lieu des racine est la valeur correspondante de K. Cette procédure peut être appliquée à n ’importe quelle couple de pôles complexes conjugués, pour un système d ’ordre 2 ou plus. Exemple III.28 Considérons le système de l ’exemple III.27. Pour K=24, ,Fig.III. 27. Alors 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID A partir de la représentation externe d ’un système, on peut élaborer essentiellement deux types de lois de bouclage : Le pré-compensateur est représenté sur la figure III.28 La fonction de transfert du système commandé s ’écrit alors : Y(p)=H(p)G(p)U(p) (III.22) R Y G(p) H(p) Fig. III.28 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) A partir de la représentation externe d ’un système, on peut élaborer essentiellement deux types de lois de bouclage : Le compensateur est représenté sur la figure III.29 La fonction de transfert du système commandé s ’écrit alors : R + Y H(p) - G(p) Fig. III.29 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) Ces deux lois de bouclage modifient la fonction de transfert du système. Si le système en boucle ouverte de fonction de transfert H(p) a des pôles instables, il faudrait, avec la technique du pré-compensateur, que G(p) s ’annule aus lieux précis des pôles instables de H(p) pour rendre le système en boucle fermée stable. Or ceci est délicat car les pôles de H(p) ne sont pas connus avec une précision infinie. En revanche, la technique de compensateur est bien adaptée car elle permet de placer les pôles en boucle fermée grâce à G(p), sans avoir à reconnaître avec précision les pôles de H(p). 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) Pour stabiliser le système de fonction de transfert H(p) en boucle ouverte, il faut et il suffit de choisir les coefficients du compensateur, de telle sorte que les racines du polynôme Qn(p)=1+H(p)G(p) soient à partie réelle strictement négative. Dans les paragraphes précédents, nous avons essentiellement considéré des bouclages proportionnels (gain=K). Nous allons examiner à présent la technique de compensation dite PID (Proportionnelle-Intégral-Dérivée), encore abondamment utilisée dans le milieu industriel en raison de sa simplicité. 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) Une lois PID est un compensateur de fonction de transfert Système du premier ordre en boucle ouverte Soit le système décrit par la fonction de transfert La fonction de transfert en boucle fermée est alors 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) Système du premier ordre en boucle ouverte (suite) Le retour proportionnel seul (K2 = K3 =0) permet de placer le pôle en boucle fermée grâce à K1 et donc de stabiliser le système s ’il n ’était pas stable en boucle ouverte ou d ’augmenter la stabilité. Le retour intégral (K3) permet en plus de placer une racine p=0 au numérateur de la fonction de transfert en boucle fermée. La présence d ’un zéro en p=0 entraîne un rejet asymptotique de perturbations de type échelon par le système en boucle ouverte. Le retour dérivé n ’apporte rien ici. 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) Système du second ordre en boucle ouverte Soit le système décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte On peut facilement vérifier dans ce cas que le retour proportionnel seul est insuffisant pour stabiliser le système. Il est nécessaire pour le stabiliser de considérer un retour proportionnel et dérivé. Un retour intégral permettrait, comme dans le cas d ’un système du premier ordre, de rejeter asymptotiquement des perturbations constantes. 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) Avantages du contrôleur PID : simplicité de mise en œuvre, il est inutile de connaître avec précision un modèle d ’état du système pour régler les gains du contrôleur, certains systèmes multivariables peuvent se décomposer en réseaux de sous-systèmes du premier et du second ordre que l ’on stabilise alors par des boucles locales PID. Le rôle des zéros d ’une fonction de transfert et important relativement au rejet de perturbations et la représentation entrée-sorties est mieux adaptée au calcul des zéros. 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) limitations du contrôleur PID : La multiplication des boucles locales peut obscurcir le problème étudié, s ’avérer totalement insuffisante dans le cas d ’un phénomène physique fortement couplé et conduire parfois à l ’instabilité du système bouclé. C ’est pourquoi les approches globales de stabilisation d ’un système physique en représentation d ’état s ’avèrent indispensables et efficaces. 18/09/2018

III.6 Synthèse classique de contrôleur : PID (suite) limitations du contrôleur PID (suite) Au chapitre suivant, nous généraliserons la notion des zéros au cas d ’un système multivariable représenté par une matrice de transfert et nous donnerons quelques éléments de la théorie des matrices polynômiales. Nous montrerons aussi l ’intérêt, les pôles étant fixés, de placer « astucieusement » les zéros d ’un système multivariable à l ’aide des degrés de liberté qui existent sur la commande. 18/09/2018

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