Mini-projet La comète de Halley INTRODUCTION A LA MECANIQUE SPATIALE

Mini-projet La comète de Halley INTRODUCTION A LA MECANIQUE SPATIALE
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Comète de Halley 19 Mai 1910 Lowell Observatory and the National Optical Astronomy Observatories Edmond (ou Edmund) Halley ( 1656, Londres - 1742, Greenwich) est un astronome et ingénieur britannique. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 2 1 1

L’astronomie est une des plus anciennes sciences de l’humanité, ses origines remontent au-delà de l'Antiquité. Qu’est ce que l’astronomie ? L'astronomie est la science de l'observation des astres, elle cherche à expliquer leur origine, leurs éventuelles évolutions et aussi l'influence qu'ils ont sur la vie de tous les jours : marées…. etc. Cette influence se manifeste par certains phénomènes exceptionnels tels que les éclipses, les comètes, etc. L'étymologie du terme astronomie vient du grec αστρονομία (άστρον et νόμος) ce qui signifie loi des astres. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 3 1 1

Tycho Brahe (14 décembre 1546 — 24 octobre 1601), est un astronome danois originaire de Scanie danoise, région historique du Danemark qui fait maintenant partie de la Suède. Il est connu pour avoir établi un catalogue d’étoiles précis pour son époque, ainsi que pour avoir produit un modèle d’univers cherchant à combiner le système géocentrique de Ptolémée et héliocentrique de Nicolas Copernic. Tycho Brahe a pu mener ses travaux en astronomie grâce à l’octroi d’un domaine sur l’île de Ven où il fit construire un observatoire astronomique qu’il appela Uraniborg et une pension annuelle accordés par le roi Frédéric deux de Danemark. De 1600 jusqu’à sa mort survenue en 1601, il fut assisté par Johannes Kepler, qui allait plus tard utiliser ses données astronomiques pour développer ses propres théories sur l’astronomie et formuler les trois lois du mouvement des planètes dites lois de Kepler. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 4 1 1

Tycho Brahe baptisa cet observatoire Uraniborg, le "château du ciel"

Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, dans le Bade-Wurtemberg et mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne en Bavière, est un astronome allemand célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas Copernic, et surtout pour avoir découvert que les planètes ne tournent pas en cercle parfait autour du Soleil mais en suivant des ellipses. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 6 1 1

En mécanique, il a établi les trois lois universelles du mouvement.
Sir Isaac Newton ( 1643 – 1727 ) est un philosophe, mathématicien, physicien, astronome et théologien anglais. Il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation universelle et la création, avec Leibniz, du calcul infinitésimal. En optique, il a développé une théorie de la couleur basée sur l'observation selon laquelle un prisme décompose la lumière blanche en un spectre visible. Il a aussi inventé le télescope à réflexion composé d'un miroir primaire concave appelé télescope de Newton. En mécanique, il a établi les trois lois universelles du mouvement. Newton a montré que le mouvement des objets sur Terre et des corps célestes sont gouvernés par les mêmes lois naturelles ; en se basant sur les lois de Kepler sur le mouvement des planètes, il développa la loi universelle de la gravitation. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 7 1 1

Nicolas Copernic , ( ) , Prusse royale (Royaume de Pologne), est un chanoine, médecin et astronome polonais. Il est célèbre pour avoir développé et défendu la théorie de l'héliocentrisme selon laquelle le Soleil se trouve au centre de l'Univers et la Terre tourne autour. A l’époque, on pensait que la terre se trouvait au centre et le soleil tournait autour. C’est le début de ce qu’on appela La révolution copernicienne. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 8 1 1

20/09/2018 06:04 M. Bouguechal 2013-2014 Comète de Halley 9

Edmond (ou Edmund) Halley ( 1656, Londres - 1742, Greenwich) est un astronome et ingénieur britannique. Ingénieur et scientifique pluridisciplinaire, il est surtout connu pour avoir le premier déterminé la périodicité de la comète de 1682, qu'il fixa par calcul à 76 ans environ. Lors du retour de cette comète en 1758, elle fut baptisée de son nom. C'est l'une des rares comètes qui portent un autre nom que celui de leur découvreur. « Dès mes plus tendres années, je me suis adonné à l’étude de l’astronomie », écrit-il dans ses mémoires. « [Elle m’apportait] un plaisir si grand qu’il est impossible de l’expliquer à qui n’a pas fait cette expérience. » 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 11 1 1

A/ DESCRIPTION Les comètes proviennent des régions les plus externes de notre Système Solaire, elles sont formées d'un noyau solide, d'un diamètre compris entre 1 et 20 kilomètres, composée d'un mélange de roches, de glace et de poussières. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 12 1 1

Au fur et à mesure que la comète s'approche du Soleil, son noyau se réchauffe, et les glaces superficielles s'évaporent, entrainant l'apparition d'une chevelure gazeuse de dimension importante pouvant aller jusqu’à la centaine de milliers de kilomètres. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 13 1 1

Les gaz et poussières expulsés, sont repoussés par le vent solaire et composent alors les queues de la comète 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 14 1 1

Une première queue bleutée, dite queue de gaz (ou de plasma), pouvant atteindre plusieurs millions de kilomètres, se forme dans la direction opposée au Soleil, engendrée par les ions sous l'effet des vents solaires. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 15 1 1

Une seconde queue, composée de poussières éjectées du noyau par la pression du rayonnement solaire, forment une traînée jaunâtre, plus large, plus diffuse et incurvée, ayant tendance à s'étendre dans le sillage de la comète. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 16 1 1

Pour l’historique voir ce site, il est complet;
B/ HISTORIQUE 611 avant J.C 467 et 240 avant J.C 837 1066 1835, 1910 et 1986 Chine Chine, Japon et Europe Tapisserie de Bayeux Pour l’historique voir ce site, il est complet; 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 17 1 1

C/ OBJECTIF : 1 ère partie
Vérifier les trois lois de Kepler. Vérifier le théorème du moment cinétique et en déduire la constante des aires. Vérifier la conservation de l’énergie mécanique totale. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 20 1 1

C/ OBJECTIF : 2 ème partie
Démontrer les formules de Binet. Application à la comète de Halley. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 21 1 1

L’ELLIPSE Une ellipse est une courbe plane fermée obtenue par l’intersection d’un cône ou d'un cylindre droit avec un plan, à condition que celui-ci coupe l'axe de rotation du cône ou du cylindre. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 22 1 1

On peut également la définir comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, dits foyers, est constante (sa construction par la méthode du jardinier est très simple). 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 25 1 1

Une ellipse est aussi une conique d'excentricité comprise entre 0 et 1 ( bornes non incluses ).

PÉRIHÉLIE q Comète O Demi petit- axe b Demi grand- axe a APHELIE Q Foyer SOLEIL Foyer 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 27 1 1

ELLIPSE r y M y b A A’ a O x x F2 F1 A : périhélie A’ : aphélie
F1 : Soleil A : périgée A’ : apogée F1 : terre

Aphélie : Du grec ancien, apó (« loin ») et hêlios (« Soleil »).
Masculin ( féminin : Littré) Point de l’orbite d’un corps céleste (planète, comète..) le plus éloigné du Soleil. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 29 1 1

Périhélie : Du grec ancien, péri (« autour ») et hêlios (« Soleil »).
Masculin Point de l’orbite d’un corps céleste (planète, comète..) qui est le plus proche du Soleil. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 30 1 1

Périgée : Du grec ancien, péri (« autour») et géo (« Terre »).
Masculin Point de l’orbite d’un corps céleste se trouvant le plus proche du centre de la Terre. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 31 1 1

Apogée : Du grec ancien, apó (« loin ») et géo (« Terre »).
Masculin Point de l’orbite d’un corps céleste où un corps céleste se trouve à sa plus grande distance de la Terre. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 32 1 1

ELLIPSE MF1+MF2 = 2 a a : demi grand axe y b : demi petit axe M M a a
c O x F2 F1 MF1+MF2 = 2 a F1; F2 : foyers F1 F2 = 2 C distance focale 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 33

Excentricité e = c/a 0 ≤ e < 1
y ELLIPSE a2 = b2 + c2 M a a b a c O x F2 F1 Excentricité e = c/a ≤ e < 1 Si e = 0 on a un cercle

Excentricité e = c/a Si 0 ≤ e < 1 ellipse Si e > 1 hyperbole
Si e = cercle Si e = parabole Si e > hyperbole 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 35 1 1

ELLIPSE a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2 = a2(1-e2) Excentricité e = c/a
a : semi-major axis y ELLIPSE b : semi-minor axis M a a b a c O x F2 F1 a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2 = a2(1-e2) Excentricité e = c/a

ELLIPSE a2 = b2 + c2 F1P = p : paramètre focal y P a a b p a c O x F2

x2/a2 + y2/b2 = 1 ELLIPSE a2 = b2 + c2 c
M y b c a O x x F2 F1 Equation en coordonnées cartésiennes x2/a2 + y2/b2 = 1

ELLIPSE a2 = b2 + c2 r θ F1M = r = rayon-vecteur θ : anomalie vraie y
x x F2 F1 F1M = r = rayon-vecteur θ : anomalie vraie

Equation en coordonnées polaires Origine au foyer F1
ELLIPSE a2 = b2 + c2 M a r b θ a c O x F2 F1 Equation en coordonnées polaires Origine au foyer F1 F1M = r = p/(1+e cos (θ))

Ecrire le vecteur-position ou rayon vecteur en coordonnées polaires.
r = p/(1+e cos (θ)) 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 41 1 1

F1A = r min = q = a(1 – e) = p / (1+e)
y ELLIPSE a2 = b2 + c2 a rmin b A’ A a c O x F2 F1 θ = π θ = 0 F1A = r min = q = a(1 – e) = p / (1+e) F1A’ = r max= Q = a(1 – e)= p / (1-e)

Coordonnées polaires : Origine au foyer F1
ELLIPSE Coordonnées polaires : Origine au foyer F1 F1M = r = p/(1+e cos (θ)) O Coordonnées cartésiennes : Origine (0;0) x2/a2 + y2/b2 = 1

F1A = r min = a(1 – e) = p / (1+ e)
ELLIPSE a2 = b2 + c2 e = c/a = √(1-(b/a)2 b2 = a2(1-e2) e = c/a ≤ e < c = e . a p = a (1 – e2) F1A = r min = a(1 – e) = p / (1+ e) F1A’ = r max = a(1 + e) = p / (1- e)

ELLIPSE b2 = a2(1-e2) e = c/a 0 ≤ e < 1 c= e . a p = a ( 1 – e2 ) r min = a (1 – e) r max = a (1 + e) r min r max = a2 (1 – e2)= b2

Aire d’une ellipse : S = π a b
y ELLIPSE M a r b θ a c O x F2 F1 Aire d’une ellipse : S = π a b

Plan de l’orbite terrestre
L’écliptique Nœud descendant Nœud ascendant Plan de l’orbite de la comète Ligne des nœuds 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 47 1 1

Nœud descendant Nœud ascendant Plan de l’orbite de la comète

Première loi de Kepler Dates MF1 (u.a) MF2 (u.a) MF1+MF2 (u.a)

Déterminer l’excentricité e et le paramètre focal p de l’ellipse.
Déterminer le demi-grand axe a ainsi que la distance focale F1F2= 2c de l’ellipse. Déterminer l’excentricité e et le paramètre focal p de l’ellipse. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 52 1 1

En utilisant le Solveur d’Excel, déterminer le paramètre focal p ainsi que l’excentricité e de l’ellipse. Représenter alors la trajectoire de la comète de Halley. On utilisera un tableau comportant les dates (format de cellule : date), r et θ de chaque point de la comète, il faudra passer en coordonnées cartésiennes, car Excel ne permet pas de représentation directe en coordonnées polaires. On prendra tous les points représentés sur la figure. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 53 1 1

http://forumphysique.ipsa.free.fr/ : documents et questions p
numéro Date Θ(°) r(u.a) mesuré calculé x(u.a) y(u.a) L’angle θ en radians documents et questions p e s =SOMME.XMY2(…..,…..) 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 54 1 1

Deuxième loi de Kepler A line joining a planet and the Sun sweeps out equal areas during equal intervals of time. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 55 1 1

Vitesse aréolaire (ua2 /an)
Numéro des aires Date Base (ua) Hauteur(ua) Aire (ua2) Vitesse aréolaire (ua2 /an) 1 01/01/1974 01/01/1978 2 01/01/1980 01/01/1984 3 01/01/2000 01/01/2004 4 T période = π ab = Les dates sont données à titre indicatif. En déduire la constante des aires C en ua2 /an. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 56 1 1

Troisième loi de Kepler
The square of the orbital period of a planet is directly proportional to the cube of the semi-major axis of its orbit. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 57 1 1

1 Mercure ; 2 Vénus ; 3 Terre ; 4 Mars ; 5 Jupiter ; 6 Saturne ; 7 Uranus; 8 Neptune
Les tailles relatives des 8 planètes et du Soleil sont respectées, mais pas les distances. 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 58 1 1

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE

Comment tracer un vecteur accélération ?
: Comment tracer un vecteur accélération ? A B vecteur accélération au point C C D E 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 64 1 1

Comment tracer un vecteur vitesse ?
B vecteur vitesse au point B C 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 65 1 1

CONSERVATION DE L’ENERGIE MECANIQUE

Numéro Date 1 09/02/86 2 15/02/86 3 01/03/86 4 15/03/86 5 01/04/86 6 1/5/86 7 1/6/86 8 1/7/86 9 1/8/86 10 1/9/86 11 1/10/86 12 1/11/86 13 1/12/86 14 1/1/87 15 1/2/87 16 1/3/87 17 1/4/87 18 1/5/87 19 1/6/87 20 1/7/87 21 1/8/87 22 1/9/87 23 1/10/87 24 1/11/87 25 1/12/87 26 1/1/88 27 1/1/89 28 1/1/90 29 1/1/91 30 1/1/92 31 1/1/93 32 1/1/94 33 1/1/95 34 1/1/96 35 1/1/97 36 1/1/98 37 1/1/99 38 1/1/00 39 1/1/02 40 1/1/04 41 1/1/06 42 1/1/08 43 1/1/10 44 1/1/12 45 1/1/14 46 1/1/20 47 8/10/23 48 1/1/50 49 1/1/55 50 1/1/60 51 1/1/65 52 1/1/70 53 1/1/72 54 1/1/74 55 1/1/76 56 1/1/78 57 1/1/80 58 1/1/82 59 1/1/83 60 1/1/84 61 1/6/84 62 1/1/85 63 1/2/85 64 1/3/85 65 1/4/85 66 1/5/85 67 1/6/85 68 1/7/85 69 1/8/85 70 1/9/85 71 1/10/85 72 1/11/85 73 1/12/85 74 1/1/86 75 1/2/86 20/09/ : M. Bouguechal Comète de Halley 69 1 1

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