Exercice 4 : Soit la fonction f définie sur un ensemble Df

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1 Exercice 4 : Soit la fonction f définie sur un ensemble Df ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) par f(x) = 3x – 2 1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez-en le tableau de signes de f. 2°) Déduisez-en le plus grand ensemble de définition possible de f. 3°) Déterminez les solutions de l’inéquation f(x) ≤ 0

2 ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) A B f(x) = = ( 3x - 2 ) C
1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez- en le tableau de signes de f. Complétez la recherche des signes de A, B et C en résolvant les équ. et inéqu. : Signes de A : A = x + 1 = x … A < x + 1 < x … A > x + 1 > x … Signes de B : même méthode Signes de C : même méthode

3 ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) A B f(x) = = ( 3x - 2 ) C
1°) Signes de A : 4x + 1 = x = x = - 1/4 4x + 1 < x < x < - ¼ 4x + 1 > x > x > - ¼ Signes de B : même méthode Signes de C : même méthode

4 ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) A B f(x) = = ( 3x - 2 ) C
1°) Signes de A : 4x + 1 = x = x = - 1/4 4x + 1 < x < x < - ¼ 4x + 1 > x > x > - ¼ Signes de B : 5 – 7x = x = x = (-5)/(-7) = 5/7 5 – 7x < x < x > (-5)/(-7) = 5/7 5 – 7x > x > x < (-5)/(-7) = 5/7 car diviser par un négatif inverse l’ordre ! Signes de C : même méthode

5 ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) A B f(x) = = ( 3x - 2 ) C
1°) Signes de A : 4x + 1 = x = x = - 1/4 4x + 1 < x < x < - ¼ 4x + 1 > x > x > - ¼ Signes de B : 5 – 7x = x = x = (-5)/(-7) = 5/7 5 – 7x < x < x > (-5)/(-7) = 5/7 5 – 7x > x > x < (-5)/(-7) = 5/7 car diviser par un négatif inverse l’ordre ! Signes de C : 3x – 2 = x = 2 x = 2/3 3x – 2 < x < 2 x < 2/3 3x – 2 > x > 2 x > 2/3

6 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 = x = x = - 1/4 Signes de B : 5 – 7x = x = x = (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 = x = 2 x = 2/3 x A B C f(x)

7 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 = x = x = - 1/4 Signes de B : 5 – 7x = x = x = (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 = x = 2 x = 2/3 x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

8 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 = x = x = - 1/4 Signes de B : 5 – 7x = x = x = (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 = x = 2 x = 2/3 x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

9 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 < 0 4x < x < - ¼ x ∞ ¼ / / ∞ A négatif 0 B C f(x)

10 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 < 0 4x < x < - ¼ Signes de B : 5 – 7x < 0 donne - 7x < - 5 donc x > (-5)/(-7) = 5/7 se traduit comment dans le tableau ? x ∞ ¼ / / ∞ A négatif 0 B C f(x)

11 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 < 0 4x < x < - ¼ Signes de B : 5 – 7x < x < x > (-5)/(-7) = 5/7 se traduit comment dans le tableau ? x ∞ ¼ / / ∞ A négatif 0 B négatif C f(x)

12 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 < 0 4x < x < - ¼ Signes de B : 5 – 7x < x < x > (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 < x < 2 x < 2/3 x ∞ ¼ / / ∞ A négatif 0 B négatif C négatif négatif 0 f(x)

13 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 > 0 4x > x > - ¼ Signes de B : 5 – 7x > x > x < (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 > x > 2 x > 2/3 x ∞ ¼ / / ∞ A négatif positif positif positif B positif positif positif négatif C négatif négatif positif positif f(x)

14 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 > 0 4x > x > - ¼ Signes de B : 5 – 7x > x > x < (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 > x > 2 x > 2/3 x ∞ ¼ / / ∞ On peut aussi compléter A négatif positif positif positif chaque ligne qui a déjà été B positif positif positif négatif remplie avec 2 signes C négatif négatif positif positif et ne faire l’étude algébrique f(x) que de 2 signes.

15 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) Signes de A : 4x + 1 > 0 4x > x > - ¼ Signes de B : 5 – 7x > x > x < (-5)/(-7) = 5/7 Signes de C : 3x – 2 > x > 2 x > 2/3 x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

16 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

17 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

18 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

19 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

20 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C On ne peut diviser par 0 ! f(x) Signifie « valeur interdite »

21 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

22 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

23 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) = A B / C
1°) A B signe de A × signe de B f(x) = donc signe de f(x) = C signe de C x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

24 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) 1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez- en le tableau de signes de f : Réponse : x ∞ ¼ / / ∞ f(x)

25 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) 1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez- en le tableau de signes de f : voir tableau ci-dessous 2°) Déduisez-en le plus grand ensemble de définition possible de f : x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

26 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) 1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez- en le tableau de signes de f : voir tableau ci-dessous 2°) Déduisez-en le plus grand ensemble de définition possible de f : tous les réels sauf 2/3 = R privé de {2/3} = ] - ∞ ; 2/3 [ U ] 2/3 ; + ∞ [ x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

27 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) 1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez- en le tableau de signes de f : voir tableau ci-dessous 2°) Déduisez-en le plus grand ensemble de définition possible de f : R privé de {2/3} = ] - ∞ ; 2/3 [ U ] 2/3 ; + ∞ [ 3°) solutions de f(x) ≤ 0 : x ∞ ¼ / / ∞ A B C f(x)

28 f(x) = ( 4x + 1 ) ( 5 – 7x) / ( 3x - 2 ) 1°) Déterminez les signes des trois expressions composant la fonction, puis déduisez en le tableau de signes de f : voir tableau ci-dessous 2°) Déduisez-en le plus grand ensemble de définition possible de f : R privé de {2/3} = ] - ∞ ; 2/3 [ U ] 2/3 ; + ∞ [ 3°) x ∞ ¼ / / ∞ A B solutions de f(x) ≤ 0 : C S = [ - ¼ ; 2/3 [ U [ 5/7 ; + ∞ [ f(x)