Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

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1 Systèmes d’équations du premier degré à deux variables
Résolution par méthodes algébriques: méthode de comparaison méthode de substitution méthode de réduction Remarque: Tu devrais visionner « Systèmes d’équations du premier degré à deux variables, introduction.ppt » avant de visionner celui-ci.

2 Pour résoudre un système d’équations du premier degré à deux variables de manière algébrique, on peut utiliser 3 méthodes. La méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations: y1 = ax + b y2 = ax + b La méthode de substitution quand une même variable est isolée dans une seule équation: ax + by1 + c = 0 y2 = ax + b La méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée : ax + by1 = c ax + by2 = c

3 Par résolution algébrique:
y2 = 2x + 5 y1 = 3x + 2 Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 à ce point précis, les deux équations sont égales; en utilisant cette égalité , on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

4 La méthode de comparaison
On utilise la méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations: y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2 alors 3x + 2 = 2x + 5 On compare ainsi les deux équations. On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. 3x + 2 = 2x + 5 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

5 La méthode de substitution
On utilise la méthode de substitution quand une même variable est isolée dans une seule équation: ax + by1 + c = 0 y2 = ax + b Exemple: Dans le plan cartésien, on trace deux droites d’équations: 4x + 2y1 – 8 = 0 y2 = x – 2 On voudrait connaître les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

6 Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2
On substitue dans la 2e équation la variable par l’expression qui lui est égale. y2 = x - 2 x - 2 4x + 2 y1 ( ) - 8 = 0 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. 4x + 2(x - 2) - 8 = 0 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. 4x + 2x = 0 6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2

7 x = 2 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle des deux équations. y = x - 2 0 = 2 - 2 donc x = 2 et y = 0 Validation: On valide en vérifiant avec l’autre équation. 4x +2y – 8 = 0 4 X X 0 – 8 = 0 Couple-solution: ( 2 , 0 )

8 Problème Quel est le couple solution du système suivant ? x = y - 8 y + 3 ( ) x - 20 = 0 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. y + 3(y - 8) - 20 = 0 On peut alors isoler y pour trouver sa valeur. y + 3(y - 8) - 20 = 0 y + 3y = 0 4y - 44 = 0 4y = 44 y = 11

9 y = 11 Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle des deux équations. x = y - 8 x = 11 – 8 x = 3 donc x = 3 et y = 11 Validation: On valide en vérifiant avec l’autre équation. y + 3x – 20 = 0 X 3 – 20 = 0 Couple-solution: ( 3 , 11 )

10 La méthode de réduction
On utilise la méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée : ax + by1 = c ax + by2 = c Exemple 1: 2x + 3y = 13 x - 2y = - 4 On crée un système équivalent.

11 + 2x + 3y = 13 x - 2y = -4 Démarche: 1)
On multiplie, l’une des équations, ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés. 2x + 3y = 13 X -2 ( ) x - 2y = -4 = -2x + 4y = 8 Nouveau système : 2x + 3y = 13 -2x + 4y = 8 2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. 2x + 3y = 13 -2x + 4y = 8 + 7y = 21 3) On peut alors isoler la variable : y = 3

12 y = 3 4) Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle des deux équations. x - 2y = -4 x - 2 X 3 = -4 x - 6 = -4 x = 2 donc x = 2 et y = 3 5) Validation: On valide en vérifiant avec l’autre équation. 2x + 3y = 13 2 X X 3 = 13 Couple-solution: ( 2 , 3 )

13 Exemple 2: On doit trouver le couple solution du système suivant: 5x + 8y = 29 3x + 6y = 21 1) On multiplie, l’une des équations, ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés. X 3 ( 5x + 8y = 29 ) ( 3x + 6y = 21 ) = 15x + 24y = 87 X -4 = -12x – 24y = -84 Nouveau système: 15x + 24y = 87 -12x – 24y = -84

14 2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une
seule variable. 15x + 24y = 87 -12x – 24y = -84 + 3x = 3 3) On peut alors isoler la variable : x = 1 4) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle des deux équations de départ. 3x + 6y = 21 3 X 1 + 6y = 21 3 + 6y = 21 6y = 18 y = 3

15 Donc x = 1 et y = 3 5) Validation: On valide en vérifiant avec l’autre équation. 5x + 8y = 29 5 X X 3 = 29 Couple-solution: ( 1 , 3 ) Remarque: On sait que lorsque les deux droites se rencontrent, les deux équations sont égales. Donc avec l’une ou l’autre des 3 méthodes, on peut travailler, en premier, soit avec x soit avec y.

16 Problème 1 En 1996, la population de Saint-Jérôme, dans les Laurentides, comptait près de habitants et habitantes. Une étude prévoyait que cette population devrait croître de personnes par année. Dans la région du Bas-Saint-Laurent, la population de Rimouski atteignait la même année. On envisageait un taux d’accroissement de 600 personnes par année. A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ? B) Combien de personnes compteront alors chacune de ces municipalités ? C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ? 1ère étape: Identifier les variables: x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 y : le nombre de personnes 2e étape: Établir le système: y1 = x et y2 = x

17 3e étape: Résoudre le système: y1 = x y2 = x Ici, la méthode de comparaison est préférable. 1 000 x = 600 x 400 x = 6 800 x = 17 4e étape: Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle équation: y1 = x y1 = X y1 =

18 5e étape: Valider la solution avec l’autre équation: y2 = x y2 = X y2 = Ensemble-solution: ( 17, ) A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ? x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 = 17 ans Réponse: en l’année 2 013 B) Combien d’habitants compteront alors chacune de ces municipalités ? Réponse: personnes

19 C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?
Il n’est pas nécessaire de résoudre le système pour répondre à cette question. Il suffit de calculer le nombre d’années écoulées depuis : 2 010 – 1996 = 14 ans puis, utiliser l’équation représentant l’augmentation de population de Saint-Jérôme pour calculer: y1 = x y1 = X y1 = Réponse: personnes

20 Problème 2 L’assistance à un match de baseball est de personnes. On constate qu’il y a 8 fois plus de partisans et partisanes de l’équipe locale que de l’équipe adverse. Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ? 1ère étape: Identifier les variables: x : le nombre de partisans de l’équipe locale y : le nombre de partisans de l’équipe adverse 2e étape: Établir le système: x = 8y Attention: Les partisans de l’équipe locale sont 8 fois plus nombreux que les partisans de l’équipe adverse. il faudra multiplier par 8 le nombre de partisans de l’équipe adverse. Pour créer l’égalité, Exemple: Si x = 16 et que y = 2 alors x = 8y 16 = 8 X 2

21 2e étape: Établir le système: x = 8y et x + y = 3e étape: Résoudre le système: x = 8y x + y = Ici, la méthode de substitution est préférable. x = 8y 8y x + y = 9y = y = 5 000 4e étape: Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle équation. x = 8y x = 8 X 5 000 x =

22 5e étape: Valider la solution avec l’autre équation: x + y = = Ensemble-solution: ( , ) Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ? Réponse: partisans et partisanes

23 Problème 3 Un serveur de restaurant examine ses pourboires à la fin de la soirée. De la somme qu’il a amassée, il constate qu’il possède 38 pièces de monnaie réparties en pièces de 1,00$ et 2,00$ pour un total de 51,00$. Combien de pièces de 2,00$ a-t-il reçu ? 1ère étape: Identifier les variables. x : le nombre de pièces de 1,00$ y : le nombre de pièces de 2,00$ 2e étape: Établir le système: x + y = 38 pièces cette équation ne tient compte que des pièces. et 1x + 2y = 51 dollars cette équation tient compte de la valeur des pièces.

24 + 3e étape: Résoudre le système: x + y = 38 1x + 2y = 51
Ici, la méthode de réduction est préférable. X -1 x + y = 38 ( ) = - x - y = - 38 1x + 2y = 51 Nouveau système: - x - y = - 38 1x + 2y = 51 On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. - x - y = - 38 1x + 2y = 51 + y = 13

25 y = 13 4e étape: Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans n’importe quelle équation. x + y = 38 x + 13 = 38 x = 25 5e étape: Valider la solution avec l’autre équation: 1x + 2y = 51 1 X X 13 = 51 Ensemble-solution: ( 25, 13 ) Combien de pièces de 2,00$ a-t-il reçu ? Réponse: 13 pièces

26 Remarque: Dans ce problème, x + y = 38 1x + 2y = 51 On aurait pu isoler y dans la première équation et travailler avec la méthode de substitution: y = 38 – x 1x + 2y = 51 1x + 2( 38 – x ) = 51 On aurait pu aussi isoler y dans les deux équations et travailler avec la méthode de comparaison: y = 38 - x y = -x + 51 2 2 38 – x = -x + 51 La méthode à utiliser dépend de l’écriture des équations; on choisit une méthode simplement pour faciliter le travail. N’importe quelle méthode est bonne.

27 Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers.
Remarque: Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers. Exemple 13 1 2 3 4 5 12 11 10 9 8 7 6 Dans le système suivant : y2 = 2x + 5 y = 2x + 3 y2 = 2x + 3 y = 2x + 5 Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont donc parallèles. Elles ne se rencontreront jamais. Ensemble-solution: aucun

28 Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers.
Remarque: Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers. Exemple 13 1 2 3 4 5 12 11 10 9 8 7 6 Dans le système suivant : y2 = 2x + 4 2x – y + 4 = 0 y = 2x + 4 2x – y + 4 = 0 Il y aura une infinité de solutions. En effet, si on ramène la 2e équation sous la forme fonctionnelle: 2x – y + 4 = 0 y = 2x + 4 On constate que les taux de variation et les ordonnées à l’origine sont les mêmes. Les droites sont donc confondues. Tous les couples de coordonnées sont solutions de ce système.