Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue

Présentation au sujet: "Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue"— Transcription de la présentation:

1 Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue

2 Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans lesquelles on ne retrouve qu’
une seule inconnue. = 8 a 2 Exemples: + 5 = 8 x 2 = 8 x + 5 = 29 2x 4b = 51,2 = x 2 4x + 5 12 2s + 5 = 3s - 29 Dans chacune de ces équations, il n’y a qu’une inconnue. Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité.

3 Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité. Exemples: + 5 = 8 x ici, x = 3 3 + 5 = 8 égalité 8 = 8 4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 égalité 51,2 = 51,2 = x 2 4x + 5 12 ici, x = 2,5 = 2,5 2 4 X 2,5 + 5 12 égalité 1,25 = 1,25 Certaines équations sont faciles à résoudre, d’autres sont plus difficiles; mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques.

4 Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut d’abord bien saisir les termes de l’équation.
Exemples: x = 8 Dans l’équation: On retrouve 3 termes: = x Dans l’équation: On retrouve 4 termes: Chaque terme est séparé des autres par les signes d’addition ou de soustraction et le signe d’égalité.

5 x x x Exemples: 2x = 8 Dans l’équation: On retrouve 2 termes:
Remarque: 2x signifie 2 X x ; Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme. 15 = 2 x Dans l’équation: On retrouve 2 termes: 2 x 2 1 x X Remarque: = Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme.

6 Exemple: 16 = 2 x 3x 3 5 Dans l’équation: On retrouve 3 termes: Remarque: 2 X 3x 3 7 = 6x 21 16 = 6x + 8 21 Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication; les deux ne forment alors qu’un seul terme.

7 Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce qu’est une équation.
Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation. On peut déposer les quantités que l’on veut de chaque côté, mais les opérations doivent être équivalentes afin de garder l’équilibre de la balance. Exemples: = 4x 28 x + 3 8 10 ÷ 2 2 + 3 2 X 6 12 3 + 5 4 X 2 Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder l’équilibre, c’est-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.

8 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = 15 = 3 + 5 + 7 4 X 2

9 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = = 6 2 X 6 12 ÷ 2

10 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = = x 5 x + 3 8 - 3

11 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = x 7 = 4 x 28 4 4 C’est le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue.

12 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Attention: Une inconnue est complètement isolée quand: - le numérateur du coefficient est 1; 1 x 1 - le dénominateur du coefficient est 1; + 1 - son exposant est 1; - elle est positive. x On l’écrit alors simplement comme ceci:

13 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : + 3 = 8 x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diminuer l’expression = 8 x de 3. - 3 - 3 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: x = soit x = 5 inconnue isolée Validation: x + 3 = 8 5 + 3 = 8 égalité

14 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : - 4 = 9 x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc augmenter l’expression = 9 x de 4. + 4 + 4 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également additionner la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: x = soit x = 13 inconnue isolée Validation: x – 4 = 9 13 – 4 = 9 égalité

15 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : = 8 2x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diviser le terme = 8 2x par 2. 2 2 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également diviser la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: 2x = 8 2 soit x = 4 inconnue isolée Validation: 2x = 8 2 X 4 = 8 égalité

16 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : x = 30 5 quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc multiplier le terme x = 30 5 5 X X 5 par 5. Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également multiplier la même quantité de l’autre côté du signe égal. x = 30 5 5 X X 5 Il en résulte que: soit x = 150 inconnue isolée x = 30 5 Validation: 150 = 30 5 égalité

17 x x x = 5 x = 13 x = 30 x = 4 x = 150 En résumé
Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se produire. 1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant l’inconnue. On le fait alors en utilisant les opérations: addition ou soustraction. = 8 x = 9 x - 3 + 4 x = 5 x = 13 2) On peut soit simplifier le terme contenant l’inconnue. On le fait alors en utilisant les opérations: multiplication ou division. = 8 2x x = 30 5 5 X X 5 2 x = 4 x = 150

18 x + 9 = 17 x - 9 = 17 x + 35 = 58 x = 8 x = 26 x = 23 x = 8 x = -10
Trouve la valeur de l’inconnue dans les équations suivantes: x = 17 - 9 x = 17 + 9 x = 58 - 35 x = 8 x = x = 23 3x = 24 -2x = 20 1,5x = 4,5 3 -2 1,5 Ici, il faut diviser par -2 car x doit être positif. x = 8 x = -10 x = 3 Ici, il faut multiplier par -4 car x doit être positif. X 2 2 X x = 23 2 x 2,3 = 5,1 X -4 -4 X -x = 20 4 2,3 X X 2,3 x = 46 x = -80 x = 11,73

19 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Maintenant, vers l’infini et plus loin encore ! 2x + 6 = 24 Priorités d’exécution: 1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue. 2x = 24 - 6 2x = 18 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 2x = 18 2 x = 9 Validation: 2x + 6 = 24 2 X = 24 égalité 24 = 24

20 x = 5 3x – 15 = 0 Priorités d’exécution:
1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue. 3x – = 0 + 15 3x = 15 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 3x = 15 3 x = 5 3x - 15 = 0 Validation: 3 X = 0 égalité 0 = 0

21 5a + 18 = 3 Priorités d’exécution: 1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue. 5a = 3 - 18 5a = -15 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 5a = -15 5 a = -3 Validation: 5a + 18 = 3 5 X = 3 égalité 3 = 3

22 x = -3 -9x - 21 = 6 Priorités d’exécution:
1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue. -9x = 6 + 21 -9x = 27 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. Ici, il faut diviser par -9 car x doit être positif -9x = 27 -9 x = -3 Validation: -9x - 21 = 6 -9 X = 6 = 6 égalité 6 = 6

23 Certaines situations créent des équations dans lesquelles l’inconnue se retrouve de chaque côté du signe égal. Exemple: 7x = 4x + 12 Règles: 1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe =. 7x = 4x - 4x - 4x ici, on n’isole pas l’inconnue; Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal. 3x = on annule le terme se trouvant de ce côté. 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 3x = 12 3 x = 4 Validation: 7x = 4x + 12 7 X 4 = 4 X égalité 28 = 28

24 6x + 12 = 4x + 20 Règles: Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver que d’un seul côté du signe égal et de l’autre côté, les termes qui ne contiennent pas l’inconnue. 6x = 4x - 4x 2x = 20 - 12 2x = 2x = 8 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 2x = 8 2 x = 4 Validation: 6x + 12 = 4x + 20 6 X = 4 X égalité 36 = 36

25 5x - 17 = x + 4 Règles: 1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe = et de l’autre côté les termes qui ne contiennent pas l’inconnue. 5x = x - x 4x = 4 + 17 4x = 4x = 21 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 4x = 21 4 x = 5,25 Validation: 5x - 17 = x + 4 5 X 5,25 – 17 = 5,25 + 4 égalité 9,25 = 9,25

26 Remarque: on peut regrouper les termes semblables d’un côté ou l’autre du signe = Exemple: on peut transférer le terme 10 à droite et le terme 5x à gauche ou transférer les terme 6 à gauche et le terme 3x à droite 3x = 5x - 10 - 6 3x = 5x - 5x 3x = 5x - 3x -2x = = x terme négatif terme positif puis isoler l’inconnue puis isoler l’inconnue. -2x = - 4 4 = 2x -2 2 x = 2 2 = x Les deux démarches sont bonnes puisqu’une équation est comme une balance.

27 Problème: 3 ( t – 5 ) = 2 ( t + 2) Ici, il faut commencer par développer l’équation. Effectuer une simple distributivité: 3 ( t – 5 ) = 2 ( t + 2) signifie 3 X ( t – 5 ) = 2 X ( t + 2) Entre un nombre et une parenthèse, il y a toujours une multiplication. donc 3 ( t – 5 ) = 2 ( t + 2) 3 X t et 3 X -5 = 2 X t et 2 X 2 3 t = t isoler l’inconnue: 3t – = 2t - 2t t = + 15 t = 19

28 Problème : 5x – ( x – 2 ) = 18 Remarque: - ( x – 2 ) -1( x – 2 ) = -1 ( x - 2) -1 X x et -1 X -2 - x + 2 Règle: Lorsqu’il y a un signe négatif en avant d’une parenthèse, on change les signes des termes lorsqu’on enlève la parenthèse. - ( x – 2) = -x + 2 - ( -x + 2 ) = x - 2 Règle: Lorsqu’il y a un signe positif en avant d’une parenthèse, on ne change pas les signes des termes lorsqu’on enlève la parenthèse. + ( x – 2) = x – 2 + ( -x + 2 ) = -x + 2

29 Problème: 5x – ( x - 2 ) = 18 Ici, il faut commencer par développer l’équation. Effectuer une simple distributivité: 5x – ( x - 2 ) = 18 5x – x = 18 4x = 18 4x = 18 isoler l’inconnue: - 2 4x = 16 4 x = 4

30 Équation avec fractions
2x = 14 5 Exemple: Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre… Cependant, en utilisant un procédé d’équivalence, on peut résoudre ces équations facilement. Voici la démarche: 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2x = 14 5 6 14 2x + 5 = 6 1 X 5 30 5 30 14 1 X 5 70 5 70 = = 5 = = 5 X 5 X 5 2x + 30 = 70 2) Enlever les dénominateurs: si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation.

31 L’équation 2x + 30 = 70 est équivalente à l’équation
5 Preuve: 2x = 70 - 30 2x = 40 2x = 40 2 x = 20 20 20 Validation: 2x + 30 = 70 2x = 14 5 2 X = 70 2 X = 14 5 = 70 70 = 70 40 5 + 6 = 14 = 14 14 = 14 Les équations sont différentes mais elles sont équivalentes car la valeur de l’inconnue est la même.

32 Exemple: 4 3 s - 2 5 = + 15 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 20 15 s - 6 = + 4 2) Enlever les dénominateurs: 20s – 6 = 15s + 4 si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation. 3) Isoler l’inconnue: 20s = 15s - 15s 5s = + 6 5s = 5s = 10 5 s = 2

33 Remarque: 4 3 s - 2 5 = + 15 Il faut mettre toute l’équation sur le même dénominateur. 20 15 s - 6 = + 4 1 incorrect 20 15 s - 6 = + 4 correct

34 Problème: a 2 + 4 = 19 5 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 10a 20 + 5a = 95 4a 2) Enlever les dénominateurs: 10a + 5a + 4a = 95 si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation. Ici, on peut regrouper ces 3 termes, car ils sont semblables. 3) Isoler l’inconnue: 19a = 95 19 a = 5

35 Problème: (7b + 2) 3 (6b - 5) 2 = 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2 (7b + 2) 6 3 (6b - 5) = car (7b + 2) 3 X 2 2 (7b + 2) car (6b - 5) 2 X 3 3 (6b - 5) = 6 = 6 X 2 X 3 2) Enlever les dénominateurs: 2(7b + 2) = 3(6b - 5) 3) Effectuer une simple distributivité: 14b + 4 = 18b - 15 4) Isoler l’inconnue: 14b = 18b - 14b = 4b + 15 19 = 4b 4 4,75 = b

36 Problème: (3x + 1) 4 (8x - 3) 5 = 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 5 (3x + 1) 20 4 (8x - 3) = car (3x + 1) 4 X 5 5 (3x + 1) car (8x - 3) 5 X 4 4 (8x - 3) = 20 = 20 X 5 X 4 2) Enlever les dénominateurs: 5 (3x + 1 ) = 4 (8x – 3) 3) Effectuer une simple distributivité: 15x + 5 = 32x - 12 4) Isoler l’inconnue: 15x = 32x - 15x = 17x + 12 17 = 17x 17 1 = x

37 La même démarche peut être effectuée avec des formules.
Exemple: Quelle est la mesure du rayon d’un cercle possédant une circonférence de 346 cm ? Démarche numérique Démarche algébrique C = 2 π r C = 2 π r 2 π 2 π 346 = 2 X π X r On cherche le rayon, alors on isole le rayon. C 2 π = r On cherche le rayon, alors on isole le rayon. 2 X π 2 X π 55,07 ≈ r 346 2 π = r r ≈ 55,07 cm 55,07 ≈ r r ≈ 55,07 cm

38 15 A C B 9 ? a b c Problème: Détermine la mesure de la cathète AC. Démarche numérique: c2 = a b2 152 = b2 = b2 -81 144 = b2 12 = b Démarche algébrique: c2 – a2 b = c2 = a b2 b = c = a b2 - a2 b = c2 – a2 = b2 b = c2 – a2 = b b = 12 c2 – a2 b =

39 Dans la formule pour calculer l’aire d’un triangle isole la base.
A = B X H 2 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. A = B X H 2 A = 1 X 2 2A 2 X A = B X H 2 A = 2 X 2 2) Enlever les dénominateurs: 2 X A = B X H 2A = BH H 2A H = B 3) Isoler la base:

40 Dans les formules calculant la circonférence et l’aire d’un cercle, isole le rayon.
C = 2 π r A = π r2 2 π π C 2 π = r π A = r2 = r π A

41 Dans la formule pour trouver l’aire d’un trapèze, isole la grande base (B).
A = ( B + b ) X h 2 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. A = ( B + b ) X h 2 2) Enlever les dénominateurs: 2A = (B + b) X h 3) Isoler la grande base (B): 2A = (B + b) X h h 2A = B + b h ( ) Les parenthèses ne sont plus nécessaires. 2A - b = B + b h 2A h - b = B

42 Applications Savoir résoudre une équation est très important en mathématique. x f(x) 3 27 5 37 10 62 14 82 Détermine la règle de cette situation. 1) On vérifie si la table de valeurs représente bien une fonction linéaire: x1 x2 - y1 y2 = a : = 5 = 5 = 5 2) On détermine le taux de variation : a = 5 3) On détermine l’ordonnée à l’origine avec un couple et la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = ax + b f(x) = 5x + b 27 = 5 X 3 + b avec ( 3, 27 ) = b - 15 12 = b f(x) = 5x + 12 Règle :

43 x f(x) 3 27 5 37 10 62 14 82 f(x) = 5x + 12 Détermine f(30) : f(x) = 5x + 12 f(30) = 5 X = 162 simple calcul Réponse: f(30) = 162 Détermine la valeur de x quand f(x) = 352. Ici, il faut résoudre l’équation. f(x) = 5x + 12 352 = 5x + 12 = 5x + 12 - 12 340 = 5x 5 68 = x Réponse: x = 68

44 Voici une table de valeurs représentant une fonction inversement proportionnelle.
1 100 5 20 10 25 4 50 2 x : la vitesse (km/h) f(x) : le temps (h) f(x) = 100 x La règle est : f(x) = 100 x Détermine f(8) : f(8) = 100 8 = 12,5 simple calcul Réponse: f(8) = 12,5

45 x : la vitesse (km/h) x x x x = 16 x
Voici une table de valeurs représentant une fonction inversement proportionnelle. 1 100 5 20 10 25 4 50 2 x : la vitesse (km/h) f(x) : le temps (h) f(x) = 100 x La règle est : Détermine la valeur de x quand f(x) = 6,25 Ici, il faut résoudre l’équation. f(x) = 100 x 6,25 x = 100 X 1 situation de proportionnalité 6,25 x = 100 6,25 = 100 x 6,25 6,25 = 100 x 1 x = 16 Réponse: x = 16

46 Voici la règle représentant la table de valeurs ci-dessous:
f(x) = 3x + 5 x f(x) 3 29 53 77 Complète cette table. f(x) = 3x + 5 f(x) = 3x + 5 f(x) = 3x + 5 53 = 3x + 5 77 = 3x + 5 f(3) = 3 X = 14 14 = 3x + 5 = 3x + 5 - 5 - 5 f(29) = 3 X = 92 92 48 = 3x 72 = 3x 3 3 16 = x 16 24 24 = x

47 Détermine la hauteur de ce prisme sachant que le volume est égal à 60 cm3.
On cherche la hauteur donc on isole la hauteur. Démarche numérique : Démarche algébrique : V = L l h V = L l h V = L X l X h 60 = 4 X 5 X h L X l 4 X 5 V = h L l 3 = h h = 3 cm 60 = h 4 X 5 3 = h h = 3 cm Réponse: 3 cm

48 On cherche la hauteur donc on isole la hauteur.
Détermine la hauteur de ce cylindre sachant que son aire latérale est de 314,16 m2. Aire latérale = 2πrh 5 m ? m A = 2 X π X r X h On cherche la hauteur donc on isole la hauteur. A = 2 X π X r X h 2 X π X r A 2 π r = h 314,16 2 X π X 5 = h 314,16 10 π = h avec la calculatrice : 314,16 ÷ (10 π ) ≈ 10,000 ≈ 10 Inscris le dénominateur entre parenthèses. Réponse: ≈ 10 m

49 Calcule le rayon de ce cône sachant que son volume est égal à 37,7 cm3.
On cherche le rayon donc on isole le rayon. V = π r2 h 3 situation de proportionnalité 3 X V = π X r2 X h π X h π X h 3 X V = r2 π X h 3 X 37,7 = r2 π X 4 avec la calculatrice: 3 X 37,7 ÷ ( π X 4 ) ≈ 9,000 ≈ 9 Inscris le dénominateur entre parenthèses. 9 ≈ r2 3 ≈ r Réponse: ≈ 3 cm

50 L’avantage de l’algèbre
Exemple: Que vaut le rapport de volume d’un cylindre de 6 cm de rayon et de 10 cm de hauteur sur celui d’un cône ayant les mêmes mesures ? Démarche numérique: Vcylindre : π r2 h = π X 62 X 10 ≈ 1 130,973 cm3 Vcône : π r2 h 3 = 3 π X 62 X 10 ≈ 376,991 cm3 Vcylindre Vcône = 1 130,973 cm3 376,991 cm3 Rapport : ≈ 3

51 L’avantage de l’algèbre
Exemple: Que vaut le rapport de volume d’un cylindre de 6 cm de rayon et de 10 cm de hauteur sur celui d’un cône ayant les mêmes mesures ? Démarche algébrique: Vcylindre Vcône = = π r2 h 3 ÷ π r2 h 3 = Rapport : X π r2 h 3 = 3 De plus, cette démarche algébrique est une excellente façon de démontrer l’énoncé : « Pour une même hauteur et un même rayon, le volume d’un cylindre est 3 fois plus grand que le volume d’un cône. »