TELECOMMUNICATIONS COMMUNICATIONS NUMERIQUES ET ANALOGIQUES

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ELEMENTS DE THEORIE DU SIGNAL 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Analyse spectrale des signaux déterministes
Signal : niveau, puissance , énergie Niveau x(t) : tension, courant, champ électrique, magnétique, … Puissance instantanée p(t) = x²(t) Énergie pendant dt dE = x²(t).dt Énergie totale 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Puissance moyenne sur [t0, t0+T] Puissance moyenne globale Signal d’énergie totale finie = > Pm = 0 Exercices : calculer la puissance instantanée, la puissance moyenne et l’énergie des signaux suivants signal rectangulaire, signal sinusoïdal train d’impulsions périodiques. Voir feuille manuscrite. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Rappels sur la transformée de Fourier (TF) La TF constitue l’outil majeur de l’analyse spectrale Notions de fréquence En physique : phénomène périodique, fréquence d’oscillations, fonction de caractéristiques physiques et paramètres connus Physiologiquement : fréquence de stimuli périodiques correspond à des sensations Nature périodique de certains phénomènes La fréquence est une quantité « hors du temps » qui caractérise la variation d’une grandeur au cours du temps La TF est un outil mathématique qui permet de mettre en évidence la dualité temps - fréquence 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Rappels sur la transformée de Fourier (TF) Définition relative à la TF TF TF inverse 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Notion de spectre Spectre Spectre d’amplitude Spectre de phase Contribution fréquentielle du signal x(t) pour la fréquence f (à ne pas confondre avec densité spectrale) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Principales propriétés de la TF Propriété 1 : linéarité Propriété 2 : parité, conjugaisons Propriété 3 : similitude Propriété 4 : translation Propriété 5 : dérivation Propriété 6 : produit simple, produit de convolution Propriété 7 : théorème de Parseval Propriété 8 : TF de la « fonction » de Dirac Voir tableau page suivante. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) p27

Voir feuille manuscrite. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Série et TF. Extension de la TF aux signaux périodiques Rappels sur les séries de Fourier X(t) signal de période T0 =1 / f0 Développement en termes complexes Développement en termes réels 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Relation entre les ak,bk et ck ao = co co = ao ak = ck +c-k bk = i(ck – c-k) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Formule de Parseval TF discrète d’une fonction périodique spectre de raies 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Calcul des coefficients de Fourier à partir d’une TF . Enveloppe de spectre T0 période de X(t) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Retour à la notion de fréquence – Fréquences intuitives et spectrales Notion primaire : quantité positive Signal périodique : développement en série de Fourier donne : Mais utilisation développement en série de Fourier complexe fait apparaître notion de fréquence négative Une fréquence au sens intuitif devient une paire de fréquence au sens spectral. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) p34

Tout signal étant réel, périodique ou non, son spectre s’étend toujours sur les fréquences négatives et positives, est symétrique On pourra, pour un signal réel, par convention, simplifier le graphe de son spectre en n’en donnant que la partie relative aux fréquences positives 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Densité spectrale des signaux déterministes Notion physique de densité spectrale Effectuer l’analyse spectrale d’un signal : étudier la répartition de sa puissance sur l’axe des fréquences Densité spectrale de puissance (ou d’énergie) : puissance (ou énergie) contenue dans le signal x(t) par hertz de bande passante 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) p36

Expression de la densité spectrale Signaux périodiques - Densité spectrale de puissance (DSP) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Signaux d’énergie totale finie – Densité spectrale d’énergie (DSE) Signal x(t) : fonction de carré sommable Formule de Parseval donne : DSE Par définition : La DSE n’est autre que le carré du spectre d’amplitude 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Signaux apériodiques quelconques Généralités Il existe des signaux non périodiques, d’énergie infinie, de puissance moyenne totale finie non nulle Analyse spectrale généralisée : étude de la décomposition spectrale de Pm (menée à partir de l’étude des signaux périodiques) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Fonction d’auto corrélation. Définition et calcul pour un signal périodique Analyse harmonique généralisée – Expression de la DSP 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

En particulier : Dans le cas des signaux d’énergie finie, on peut encore définir une fonction d’autocorrélation temporelle : TF + symétrie hermitienne du spectre 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

En définitive, la formule s’applique à toutes les catégories de signaux Sx(f) : DSP pour les signaux de puissance moyenne finie Sx(f) : DSE pour les signaux d’énergie finie 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Analyse spectrale des signaux aléatoires
Signaux aléatoires et télécommunications Phénomènes imprévisibles dont les lois exactes nous échappent Théorie des fonctions aléatoires : puissance mathématique qui nous permet d’approcher la connaissance de ces phénomènes en leur associant des grandeurs déterministes En télécommunications : Signaux porteurs d’information Bruits 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Rappels Notion de fonction aléatoire (f.a.) Fonction de répartition Densité de probabilité En télécommunications, les signaux sont des phénomènes aléatoires qui dépendent du temps, paramètre déterministe X = X ( t , ) t      Le caractère aléatoire peut être plus ou moins marqué : Dans le cas le plus simple, forme analytique de la fonction X(t) connue comme dépendant d’un seul paramètre aléatoire Mais le hasard peut intervenir « à chaque instant », nature analytique de la fonction est elle-même aléatoire 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Les 2 aspects complémentaires de notion de f.a. Aspect statistique : étude à t fixé La f.a. est une famille (Xt) de v.a. indexée par t Aspect temporel : étude à  fixé La f.a. est une grandeur aléatoire prenant ses valeurs dans un espace de fonction {X(t)}, l’espace des trajectoires. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) Trajectoire p46

Description au second d’ordre des f.a. cas général Description mathématiquement très incomplète Description physiquement suffisante qui s’appuie sur les 2 fonctions déterministes suivantes : Moyenne ou espérance mathématique Fonction d’autocorrélation 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

cas pratique : f.a. stationnaire Stationnarité au sens strict : toutes les propriétés statistiques sont invariantes pour tout changement de l’origine des temps Étude très complexe. En physique, on se contente d’une étude au second ordre. Stationnarité au second ordre Moyenne indépendante du temps Fonction d’autocorrélation ne dépend que de t2-t1 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Propriétés de la fonction d’autocorrélation des f.a. stationnaires réelles P1 : fonction réelle et paire P2 : fonction ayant pour valeur à l’origine la valeur moyenne du carré du signal P3 : fonction bornée 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

P4 : si x(t) contient des composantes périodiques ou constante, cette fonction contient des composantes périodique de même période ou une composante constante (indépendante de ) P5 : si x(t) est purement aléatoire : P6 : à toute fonction d’autocorrélation Rx() peut correspondre une infinité de signaux différents. En revanche, à un signal x(t) correspond une seule fonction d’autocorrélation Rx() . 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Moyenne temporelle – Ergodicité Les moyennes statistiques sont difficiles à approcher expérimentalement : on ne dispose en général que d’une seule détermination (enregistrement, observation) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) Signification physique : p51

A partir de cette détermination, on définit les grandeurs temporelles suivantes : Moyenne Fonction d’autocorrélation Une f.a. x(t) est dite ergodique si toutes les les moyennes temporelles existent et sont indépendantes de la détermination de x(t) utilisée pour les calculer 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Ergodicité et stationnarité : 2 notions indépendantes Mais, en télécommunications, les signaux sont supposés à la fois ergodiques et stationnaires à l’ordre deux Égalité entre moyenne temporelle et statistique Égalité entre fonction d’autocorrélation temporelle et statistique Les grandeurs statistiques sont donc déterminées à partir de l’observation « suffisamment longue » d’une seule trajectoire 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

DSP des signaux aléatoires stationnaires Définition de la DSP des signaux aléatoires stationnaires Existence d’une analogie forte entre l’analyse temporelle des fonctions déterministes et l’analyse statistique des fonctions aléatoires entraîne le résultat suivant : Grandeurs statistiques Propriétés et forme pratique de la DSP des signaux stationnaires réels Propriétés de Sx(f) Rx() réelle et paire  Sx(f) réelle et paire Jamais négative 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Sx(f) : DSP « symétrique » (répartition de Pm sur les fréquences « spectrales ») S+x(f) DSP disymétrique ou monolatérale Les signaux aléatoires stationnaires n’ayant pas une énergie finie, il leur correspond une DSP 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Bruit blanc et bruit à bande limitée Bruit blanc Signal aléatoire stationnaire n(t) dont la DSP symétrique est constante égale à N0/2 (DSP monolatérale ou dissymétrique ) Conséquences 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Bruit à bande limitée Signal aléatoire stationnaire n(t) dont la DSP symétrique est constante égale à N0/2 jusqu’à une certaine fréquence de coupure fc au delà de laquelle elle est nulle. Valeur moyenne, puissance moyenne et rayon de corrélation mn = 0 Pm= N0.fc 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

En télécommunications, le modèle adopté pour le bruit est une fonction aléatoire n(t) stationnaire centrée : à spectre blanc dans la bande utile à statistique gaussienne Remarque : ces deux catégories de propriété sont totalement indépendantes : « blanc » < propriétés énergétiques ou spectrales « gaussien » < propriétés statistiques de la v.a. n(t) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

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Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Définition et caractérisation des systèmes linéaires invariants – Cas d’une entrée déterministe < circuits linéaires Etude de leur action sur les signaux, en non de leur constitution : « boite noire » Modélisation Entrée Sortie Système linéaire x(t) T y(t) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Définition d’un système linéaire invariant Système linéaire : système qui possède les deux propriétés suivantes : Relation entrée/sortie indépendante de l’entrée : y=T(x) Opérateur T est linéaire : T(a1.x1+a2.x2) = a1.T(x1)+a2.T(x2) . C’est le cas notamment lorsque le comportement du système est régi par une équation différentielle linéaire Système invariant dans le temps Système lorsque ses propriétés sont invariantes par changement de l’origine des temps Y(t) = T[x(t)]  y(t- ) = T[x(t- )] 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Propriété fondamentale – Réponse impulsionnelle On démontre que pour tout système linéaire invariant, la relation entrée/sortie se met sous la forme : Un système linéaire se comporte donc comme un convolueur temporel caractérisé par une fonction h(t) qui s’interprète comme la réponse impulsionnelle du système : (t) h(t) Système linéaire invariant 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Pour le signal x(t), on a donc : x(t) y(t)= h(t)*x(t) Système linéaire invariant 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Relations entrée-sortie Interprétation de la réponse en fréquence Excitation sinusoïdale  Y(t)=H(f0).x(t)  T admet pour fonctions propres des exponentielles complexes avec pour valeur propre associée la valeur H(f0) de la réponse harmonique au point f=f0, fréquence de l’exponentielle 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires On pose généralement : H(f) = A(f).e-i(f) A(f) : gain en amplitude A(f) = |H(f)| (f) : retard de phase (f) = - Arg [H(f)]  La réponse à un signal sinusoïdal de fréquence f0 est donc un signal de même fréquence f0, dont l’amplitude est multipliée par le module A(f0 ) de la réponse harmonique dont la phase est augmentée de l’argument - (f0) de la réponse harmonique 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Densité spectrale du signal de sortie Tout système linéaire peut être considéré comme un filtre de fréquence Mécanisme sélectif 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Notion de système physiquement réalisable Causalité « L’effet ne peut précéder la cause » h(t) = 0 pour t<0 : la réponse impulsionnelle est causale Si x(t) = 0 pour t<0, alors : Tout système physiquement réalisable déphase 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Stabilité Un système linéaire est stable si sa réponse à un signal d’entrée borné reste elle même bornée, soit : Système physiquement réalisable Un système linéaire sera dit physiquement réalisable si sa réponse impulsionnelle h(t) est causale et intégrable 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Transformation des signaux aléatoires dans les systèmes linéaires invariants Position du problème En télécommunications, on peut souvent supposer que les formules suivantes restent valables si x(t) est un signal aléatoire y(t- ) = T[x(t- )] y(t) est alors aléatoire, Y(t) est stationnaire si x(t) est stationnaire 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires En se limitant à l’étude à l’ordre deux, le problème se pose de la manière suivante :  Système linéaire invariant x(t) y(t) mx x(t) y(t) my ? 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Propriétés statistiques du signal de sortie Aucune méthode générale ne permet de déduire la loi de probabilité du signal de sortie de la connaissance de celle du signal d’entrée Toutefois, on démontre que si x(t) est gaussien, alors il en est de même pour y(t) et : 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Rapport signal sur bruit à l’entrée et à la sortie d’un filtre linéaire – Filtre adapté Rapport signal sur bruit Notion de rapport signal sur bruit Quotient de 2 grandeurs énergétiques (énergie ou puissance) relatives au signal d’une part, au bruit d’autre part Ce quotient est défini en fonction de la nature des signaux en présence (déterministes, aléatoires, énergie finie, puissance finie…) et du contexte 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) p71

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Cas de signaux utiles déterministes Notations Définition du rapport signal sur bruit à l’entrée du filtre Définition du rapport signal sur bruit à la sortie du filtre Définition du rendement du filtre pour le signal x(t) x(t) + b(t) filtre linéaire y(t) + n(t) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Détection d’un signal certain dans un bruit – Filtrage adapté Position du problème – Filtre adapté Distinction du signal utile dans le bruit « exploitation brutale » : éliminer par un système linéaire toute la puissance contenue dans certaines bandes de fréquence où l’on sait que que la puissance (ou énergie) du signal (ou son énergie) est nulle ou négligeable Filtrage adapté du signal x(t) : perfectionnement de l’opération précédente qui consiste à optimiser le système linéaire de telle façon que le rapport signal sur bruit en sortie soit maximal. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Réponse en fréquence du filtre adapté au signal (certain) x(t) d’énergie finie Ex g facteur de gain quelconque indépendant de f , t0 pour lequel le rapport signal sur bruit est maximum (définition du rapport signal sur bruit) 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45) p75

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Sachant que l’on prend g constante réelle positive, les résultats précédents montrent que : La réponse en amplitude du filtre adapté au signal x(t) est proportionnel à son spectre d’amplitude A un retard constant près, la courbe de phase du filtre adapté au signal x(t) est égal à son spectre de phase De plus, la formule suivante : montre qu’en dehors du retard t0, il y a remise en phase; à la sortie du filtre adapté, de toutes les composantes spectrales 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Cas d’un signal x(t) aléatoire On démontre que sous certaines conditions (que nous ne préciserons pas), on obtient également : (Sx(f) : DSP) Remarque : Dans le cas d’un signal x(t) certain, l’optimisation n’est rigoureusement faite qu’à t0 où y(t) est maximal, alors que dans le cas d’un signal aléatoire, elle est valable à tous les instants 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Réponse impulsionnelle du filtre adapté au signal (certain) x(t) Par TF-1 de l’expression de [H(f)]optimal h(t) = g. x(t0-t) Filtre adapté pas toujours causal donc pas toujours réalisable. Cependant, les signaux utilisés étant de durée finie T ou observés pendant une durée T, de sorte que, si préalablement on retarde le signal d’entrée d’un temps égal à T, l’ensemble « retard + filtre adapté à x(t) » est causal, donc physiquement réalisable.Le retard n’affecte que la phase de transfert du système. 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

Transmission par les systèmes linéaires des signaux déterministes et aléatoires Rapport signal sur bruit instantané (à l’instant optimum t0) en sortie du filtre adapté Performance d’un filtre réel par rapport au filtre adapté  = 1 pour le filtre adapté 20/11/2018 Elts de théorie du signal (Tél 45)

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