LANGUE ET LANGAGE EN MATHEMATIQUES.

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1 LANGUE ET LANGAGE EN MATHEMATIQUES

2 LIRE Analyse discursive d’énoncés mathématiques : Lexique Polysémie
Symboles : 3×(18 + 5) et 3×18 + 5 Stratégie de lecture (codage couleur) Information ≠ consigne Dans les repères pour la mise en œuvre d’une démarche d’investigation (p3) : faire formuler à l’oral ou par écrit des conjectures par les élèves Faire confronter des propositions, mettre en place un débat autour de leur validité. Donner le poly polysémie. La lecture de 3×(18 + 5) : le produit de 3 par la somme de 18 et de 5 et celle de 3× : le produit de 3 et de 18 auquel on ajoute 5. Le recours à des parenthèses oblige à une anticipation. La géométrie offre un bon support à l’apprentissage linguistique : les compétences en géométrie peuvent s’associer à la capacité à extraire des informations de textes et le langage permet de décrire une figure. On peut faire codifier : information en vert et consigne en rouge. Les compétences à effectuer des opérations numériques peuvent s’associer à la capacité à extraire des informations de tableaux à double entrée. Attention : certains élèves ne comprennent pas un énoncé parce qu’ils ne comprennent pas la situation dans la quelle ils se trouvent (ex : prix à la pièce). Penser aussi aux expressions « en fonction de » et « est fonction de » qui sont très proches en français.

3 ECRIRE : constats Écrire des énoncés
Mise en évidence de règles d’écritures implicites Traduire et écrire pour comprendre Langue langage Texte schéma Reformuler des énoncés A l’école les élèves ont fait une approche empirique des objets, celle-ci est insuffisante et même contre-indiquée au collège. Par exemple : à l’école où le langage prédomine, un carré n’est pas un rectangle, mais au collège, par ce que l’accent est mis sur les propriétés, un carré doit être un rectangle. Écrire des énoncés : Mise en évidence de règles d’écritures implicites : certaines informations sont inutiles (exemple : le cercle est en-dessous ou au-dessus de la figure) Traduire et écrire pour comprendre : Exemple : passer d’un énoncé en langue naturelle à un énoncé en langage mathématique, d’un texte à un schéma et réciproquement. (c’est présenté dans la diapositive suivante) Reformuler des énoncés par exemple passer d’une question ouverte à une suite de questions fermées.

4 Les interactions entre plusieurs registres d’expression
Résolution d’un problème concret grâce à une équation ou un système d’équations : Mise en équation texte => écriture algébrique Résolution graphique Discussion et interprétation => retour au texte Souvent, en mathématiques, on doit s’exprimer dans des registres différents : il y a imbrication entre langage naturel et langage mathématique. Exemples : mise en place d’une démonstration en géométrie, raisonnement en calcul algébrique. Ces interactions sont différentes des traductions dans une langue étrangère car ils conduisent à des passages dans les deux sens entre les registres sollicités. Exemple : Résolution d’un problème « concret » grâce à une équation ou un système d’équations : Mise en équation : passage du texte à l’écriture algébrique Résolution graphique : passage de l’écriture mathématique à la réolution graphique Discussion et interprétation : retour au texte L’important est que les élèves comprennent à quoi servent les équations et ce qu’est la solution d’une équation. L’objectif est que le recours à l’équation leur semble naturel et efficace Il faut éviter de faire résoudre à l’aide d’une équation un problème qu’ils savent résoudre par tâtonnements successifs ou par un raisonnement arithmétique car il ne voit pas alors l’intérêt de l’algèbre.

5 Vérifier l’égalité (17 – 6 x 2)x(4 + 8) = 60
_ + × =? Un exemple de représentation non discursive des domaines numérique et algébrique : l’arbre de calcul C’est un objet qui permet une phase de transition entre un énoncé et sa solution et c’est dans ce sens qu’il doit être présenté aux élèves de collège. Ils l’utilisent pour leur usage privé et non comme représentation rédigée de leurs réponses. Voici une illustration de la première étape de réponse à la question précédente : vérifier l’égalité (17 - 6×2) ×(4 + 8) = 60  Lors de la deuxième étape, les élèves remplissent, à l’aide des résultats obtenus, les « ronds » situés aux extrémités des flèches. Intérêts de l’arbre : Prendre garde aux opérations non commutatives (soustraction ici mais aussi division) Indispensable de lire de gauche à droite et de haut en bas Fait travailler les deux sens de l’égalité : l’égalité qui signifie l’exécution d’une opération (celle qui correspond à la touche = de la calculette et qui, elle, n’est pas commutative) l’égalité associée à un test (elle est commutative). Adapté à l’usage des variables car la première étape indiquée ne demande pas d’effectuer un calcul mais d’indiquer dans quel ordre on va effectuer les calculs. Elle met en place l’égalité « (a - b×c) ×(d + e) = f. »

6 LANGUE ET GEOMETRIE Exemple 1 : un même texte, 2 figures
« Voici une figure composée d’un carré et d’un cercle » Un exemple d’activité de langue en géométrie : la transmission de figures géométriques par des messages. La première figure correspond à une reproduction (cercle circonscrit à un carré). La deuxième est un exercice de description en vue d’un tracé. Il serait intéressant de proposer en cours d’année des exercices de prolongement à celui-ci (faire identifier les différences entre figures visuellement proches) mais aussi de reprendre ces exercices à différents niveaux scolaires avec des demandes d’expression différents.

7 DEMONTRER Logique formelle Démarche rationnelle
Raisonnements impersonnels et contraignants Domaine de la vérité Une seule preuve est souvent décisive Auditoire universel La démonstration ne se fait pas qu’en géométrie. Les ambiguïtés doivent être exclues La démarche suit certaines règles qui sont expliquées dans des systèmes formalisés et qui ne sont pas discutables Le domaine de vérité est constitué des axiomes et règles de cours qui ne sont pas discutés. Certains élèves s’estiment à tort, capables de s’expliquer dans leur langage et pensent que le langage dans lequel leurs professeurs leur demandent de s’exprimer n’est que la marque des exigences de l’institution. Ils doivent donc prendre conscience d’un besoin de formulation suffisamment complète et précise qu’ils trouvent dans les activités de transmission de message où ils s’adressent à d’autres élèves. Le langage de commande, les macros, l’observation de mouvements qu’offre un logiciel comme cabri ou géoplan sont des aides intéressantes à des acquisitions langagières.

8 Exercice 1: Tracer un segment [AB] de longueur 4 cm.
Tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par B. Sur cette perpendiculaire placer C tel que BC = 5 cm. Placer D aligné avec A et B tel que [BD] et [AC] aient la même longueur et que B soit situé entre A et D. Tracer le cercle de diamètre CD. La figure décrite est déjà découpée en une suite ordonnée d’informations qui correspondent à un algorithme de construction mais l’élève, en lisant le texte, n’a pas une vision globale de ce qu’il sera. Les élèves vont rencontrer des difficultés : à concilier plusieurs contraintes comme à la question 4 à déterminer les éléments qui permettent de réaliser le tracé (centre, trouver le rayon dans l’étape 5).

9 Construire un rectangle ABCD tel que AB = 4 cm et BD = 6 cm.
Exercice 2 : Construire un rectangle ABCD tel que AB = 4 cm et BD = 6 cm. Demander aux stagiaires de faire la figure. Qu’est-ce qui se met en place ? La figure est décrite globalement L’élève doit déterminer lui-même la suite des tracés qui permettent de respecter les informations données.

10 Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Exercices 3 et 4 : Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm. Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et BC = 8 cm. Ces deux exercices ont : Même structure Même nature des contenus mis en jeu Ils différents par la complexité des traitements mis en jeu Ex 3 : les informations se transforment directement en tracés, elles peuvent être prises successivement de manière isolée Ex 4 : demande la conception et la réalisation de tracés intermédiaires pour concilier angle droit et hypoténuse de 8 cm. Souvent les élèves ne respectent que 2 des 3 contraintes.