ELG3575 3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités spectrales.

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1 ELG3575 3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités spectrales

2 Transformée de Fourier d’un signal périodique
Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de Fourier exponentielle complexe. Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors : Sa transformée de Fourier est donnée par:

3 Exemple

4 Exemple |X(f)| 2A/p 2A/3p 2A/5p 2A/p 2A/3p 2A/5p f

5 Réponse en fréquence d’un système linéaire et invariant en temps
Un système linéaire et invariant en temps a une réponse impulsionnelle, h(t). Pour un signal d’entré x(t), la sortie du système y(t) est Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F{y(t)} qui est donné par : où X(f) = F{x(t)} est le spectre de l’entrée et H(f) = F{h(t)} est la réponse en fréquence du système LTI. La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :

6 Exemple H(f) = ?

7 Solution H(f) = F{h(t)} = 20log|H(f)| 0dB -20dB/decade 1/(2pRC) f

8 Exemple 2 Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2pfot.
Solution Le spectre de la sortie est: Y(f)

9 Réponse en amplitude et réponse en phase
Le terme est la réponse en amplitude à la fréquence fo du système et est sa réponse en phase à la fréquence fo.

10 Réponse en amplitude et réponse en phase

11 Puissance et énergie

12 Exemple Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type s’agit t’il. Energie, puissance ou aucun des deux. x(t) = Acos(2pfot) y(t) = P(t) z(t) = tu(t).

13 L’énergie d’un signal périodique
Si x(t) est périodique avec période T, l’énergie sur une période est : L’énergie sur N périodes est EN = NEp. L’énergie moyenne normalisée est Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal d’énergie.

14 La puissance d’un signal périodique
La puissance de x(t) sur une période est : Et sa puissance sur N périodes est : La puissance moyenne normalisée est Donc la puissance moyenne normalisée d’un signal périodique est la puissance sur une période.

15 X*(f) si x(t) est un signal à valeur réelle

16 Théorème de Parseval Supposons que x(t) est un signal à énergie.
Son énergie moyenne normalisée est :

17 Exemple

18 La fonction d’autocorrélation d’un signal d’ énergie
La fonction d’autocorrélation est une mesure de similarité entre une fonction et une version identique décalée en temps par t. Cette fonction est donné par : Nous remarquons que Aussi, on peut constater que

19 Densité spectrale d’énergie
Supposons que Gx(f) = F{jx(t)} Alors Gx(f) = |X(f)|2.

20 Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI
Pour le système démontré ci-dessous, l’entrée du système, x(t), est un signal à énergie. Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle h(t). La sortie y(t) = x(t)*h(t).

21 Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI
En supposant que la y(t) est aussi un signal à énergie, nous trouvons sa fonction d’autocorrélation ci-dessous :

22 Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI
Alors Gy(f) est donnée par: Gy(f) = F{jy(t)} = H(f)H*(f)|X(f)|2= |H(f)|2Gx(f)

23 Densité spectrale d’énergie d’un signal décrit la manière que l’énergie est répartie dans le spectre du signal Ey = 2|X(f)|2Df Df en Hz, alors |X(f)|2 en J/Hz

24 Exemple Trouvez la fonction d’autocorrélation, jx(t), pour x(t) = P(t) et trouvez la densité spectrale d’énergie à partir de jx(t). Démontrez que sa densité spectrale d’énergie est égal à |X(f)|2. Trouvez l’énergie en x(t).

25 Exemple

26 Exemple Pour t < -1 et t > 1, x(t)x*(t+t) = 0, alors jx(t) = 0. Pour -1 < t < 0, jx(t) est : Pour 0 < t < 1, jx(t) est :

27 Exemple La densité spectrale d’énergie de x(t) est Gx(f) = F{jx(t)}.
Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que Gx(f) = sinc2(f). Aussi, F{x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)|2 = Gx(f) = sinc2(f).

28 La fonction d’autocorrélation d’un signal de puissance
En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux d’énergie, définissons la fonction d’autocorrélation pour les signaux de puissance comme : Nous voyons que Px = Rx(0).

29 Densité spectrale d’énergie
La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation F{Rx(t)} = Sx(f) est la densité spectrale de puissance du signal x(t).

30 Exemple Trouvez la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance du signal x(t) = Acos(2pfot). Trouvez la puissance de x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.

31 Exemple La puissance Px est :