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Publié parSylvain Christophe Modifié depuis plus de 10 années
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Modélisation de valeurs extrêmes Université de Liège : octobre 2002 Daniel Justens HEFF/Cooremans Bruxelles
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Positionnement Utilisation des modèles mathématiques en finance, en gestion et en actuariat. Ecarts entre les prévisions théoriques et le réel observé : non-adéquation du modèle ? Cas particulier des valeurs extrêmes
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Exemple 1 : rendements boursiers Présentation du cas de lindice DAX entre 1996 et 2000 : 902 observations journalières. Moyenne observée : 0,00097151 Ecart-type observé : 0,01458286 Modélisation des rendements par une distribution normale ?
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Rendements journaliers DAX entre 1996 et 2000
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Aspect des queues de courbe
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Valeurs centrales
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Valeurs à droite
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Distributions de Pareto-Lévy Vilfredo Pareto (1848 - 1923) Sociologue, qui se consacre dès 1890 à une modélisation « pure » de léconomie qui selon lui doit sétudier comme la physique. Paul Lévy (1886 - 1971) Mathématicien, qui étudie les distributions stables vers 1930.
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Retour aux sources Distributions de Pareto de base : pour x 1 et avec a > 0 On en tire :
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Moments de la distribution On vérifie que : lorsque n < a et que : lorsque n a On en tire (a>2) :
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Adaptation de la distribution But : obtenir une fonction de répartition tendant vers 1 en + comme 1- x -a et vers 0 en - comme |x| - b (a et b > 0). Idée : travailler avec les fonctions réciproques. En effet, il est facile de représenter la fonction g de R 0 + dans R : g(x) = x -1/a - x 1/b
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Représentation de y = x -1 -x 1/2
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Inversion des axes
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Construction de la répartition On a défini une fonction g(x) de manière implicite : x = g(x) -1/a - g(x) 1/b Cette fonction g(x) a en - le comportement de |x| b et en + le comportement de x -a. Etudions la fonction :
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Suite... Cette dernière tend vers 0 en - comme |x| -b et vers 1 en + comme 1- x -a Conclusion : Forme implicite de la fonction de répartition
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Cas particulier : a=b Dans ce cas, on arrive aisément à une forme explicite. En effet, léquation devient : x = g(x) -1/a - g(x) 1/a Posons g(x) 1/a = Y. L équation devient x =1/Y - Y ou encore : (x + Y)Y = 1 Y 2 + x Y -1 = 0
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Suite... Y 2 + x Y -1 = 0 dont la solution est évidente : On en tire :
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Ajustements Recherche ouverte : étude théorique de ces distributions avec une paramétrisation Méthodes dajustements autres que moindre carrés de façon à privilégier les queues de courbe
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Ajustements du DAX : a = 270
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Ajustements : à gauche avec a = 220
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Ajustements : à droite avec a = 270 normale Pareto
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Exemple 2 : tarification automobile A priori clustering and bonus-malus system The number of claims distributions The problem of the classical models
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The mixed Poisson distributions Let X be the number of claims occurring in a unit period. Let be the risk parameter (expecting number of claims) with probability distribution U( ). We assume that for a given risk parameter, the random variables p k ( ) giving the number of claims follow a Poisson distribution.
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Moments of mixed Poisson distributions Mean : E[X] = E[ Variance VAR[X] = E + VAR
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The model of Lemaire (1977) The underlying distribution follows a Gamma distribution : In this case, we have :
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Mixed Poisson family Underlying distribution transition Probabilities Negative exponential Geometrical Erlang P-Erlang Inverse Gaussian P-inverse gaussian
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Fitting the data (1) The Belgian case :
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Underlying distributions
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Distributions tails
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Fitting the data (2) The Italian case :
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Rational underlying distributions Let us work with : We also have :
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Quadratic case We put : so that we get : Which gives :
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Cubic case We now put : And compute :
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The Belgian case
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Graphically. Quadratic Negative binomial cubic observations
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Distributions tails
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The Italian case
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Comparison of the models Cubic Quadratic Negative binomial
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Conclusions Difference between theoretical and practical point of view : problem of the infinite variance Many other distributions possible Mixed geometrical distributions Open research
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