Les Systèmes Linéaires Continus Invariants

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1 Les Systèmes Linéaires Continus Invariants
Automatique : Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Présentation des systèmes automatisés Introduction Différents systèmes automatisés Les systèmes asservis Modélisation des SLCI (domaine de Laplace) Analyse temporelle de SLCI particuliers Identification temporelle à un modèle Analyse harmonique

2 e(t) = e0.sin(.t) s(t) = s0.sin(.t+)
VI Etude fréquentielle dans le cas général En régime permanent Système e(t) = e0.sin(.t) s(t) = s0.sin(.t+) Pour connaître la sortie, il faut donc déterminer s0 et  Car la pulsation d’entrée et de sortie est la même : ω !!! s0 dépend de e0 et de la fonction de transfert du système. On déterminera donc plutôt le gain G = s0 / e0 Pour connaître la sortie, il faut déterminer : G = s0 / e0 Gain (ou rapport des amplitudes), [ US / UE ]  Déphasage [rad}

3 e(t) = e0.sin(.t) s(t) = s0.sin(.t+)
VI Etude fréquentielle dans le cas général Système e(t) = e0.sin(.t) s(t) = s0.sin(.t+) En régime permanent

4 e(t) = e0.sin(.t) s(t) = G.e0.sin(.t+)
VI Etude fréquentielle dans le cas général En régime permanent Système e(t) = e0.sin(.t) s(t) = G.e0.sin(.t+) G et  dépendent du système, de fonction de transfert H(p) et de la pulsation du signal d’entrée (et de sortie) ω : H(p) sera donc réécrite H(j.ω) en remplaçant p par « j.ω » dans son expression . Exemple pour un 1er ordre :

5 ycaisse(t) = G.h.sin(.t+)
VI Etude fréquentielle dans le cas général Exemple de la suspension automobile M k c Vx Λ 2h yroute ycaisse Suspension ycaisse(t) = G.h.sin(.t+) yroute(t) = h.sin(.t) En régime permanent

6 VI. 1. Etude fréquentielle dans le cas général
Exemple de la suspension automobile M k c Vx Λ 2h yroute ycaisse PFD avec CI nulles (équation temporelle du mouvement) : Dans Laplace : Transmittance de la suspension :

7 VI. 1. Etude fréquentielle dans le cas général
Exemple de la suspension automobile M k c Vx Λ 2h yroute ycaisse Pour obtenir la sortie ycaisse(t) il faut déterminer G et φ, et pour cela il faut remplacer « p » par « j.ω» dans la transmittance : Gain: Déphasage:

8 VI. 1. Etude fréquentielle dans le cas général
Exemple de la suspension automobile M k c Vx Λ 2h yroute ycaisse Pour une pulsation de yroute(t) donnée : ω = 87 rad/s (ce qui correspond à h = 10cm ; Λ = 1m ; Vx = 50 km/h) On obtient, grâce aux expression précédentes : Gω=87rad/s = 0, et φω=87rad/s = -36°

9 ycaisse(t) = G.h.sin(.t+)
VI Etude fréquentielle dans le cas général Exemple de la suspension automobile M k c Vx yroute ycaisse Suspension ycaisse(t) = G.h.sin(.t+) yroute(t) = h.sin(.t) En régime permanent Gω=87rad/s = 0, et φω=87rad/s = -36°

10 VI. 1. Etude fréquentielle dans le cas général
Exemple de la suspension automobile

11 VI Diagrammes de Bode  revient à multiplier par 10

12 VI. 2. Diagrammes de Bode Suspension automobile ω = 87 rad/s
GdB=-1,5dB GdB=20.log(G) G = 10GdB/20 G = 10-1,5/20 G = 0,84 φ = -36°

13 VI. 3. Réponse harmonique d’un gain pur
Aucun déphasage ni aucune perte d’amplitude : s(t) = K.e(t) à chaque instant et quelle que soit la pulsation ω

14 VI. 3. Réponse harmonique d’un intégrateur
Pour ω = K, G=1 et GdB=0dB Pente (en 1 décade de ω) : Pente constante de -20dB/dec

15 VI. 4. Réponse harmonique d’un 1er ordre
Pente finale de -20dB/dec

16 VI. 4. Réponse harmonique d’un 1er ordre

17 VI. 5. Réponse harmonique d’un 2e ordre
0 : Pente finale de -40dB/dec

18 VI. 5. Réponse harmonique d’un 2e ordre
Résonance si : Pulsation de résonance :

19 VI. 5. Réponse harmonique d’un 2e ordre
Exemple de la suspension automobile très usée On en déduit les caractéristiques : De plus :

20 VI. 5. Réponse harmonique d’un 2e ordre
ω0=22rad/s asymptote horizontale 20.log(K)=0dB asymptote de pente -40dB/dec -20.log(2.z) = +19dB VI Réponse harmonique d’un 2e ordre Exemple de la suspension automobile très usée Ainsi, pour cette suspension très usée, il faudra éviter les pulsations proches de la résonance ωR = 22 rad/s car sinon cela créera une amplification des défauts de la route avec un gain atteignant presque 20dB c’est-à-dire une amplitude d’entrée multipliée par 10 ! D’ailleurs si on enlève complètement l’amortisseur et que l’on ne garde qu’un ressort, z tendra vers 0 et la résonance vers l’infini, c’est-à-dire que si l’on « excite » la suspension-ressort avec sa fréquence propre, elle entrera en résonance en augmentant son amplitude progressivement et continument. Dans la pratique, tous les systèmes sont amortis, même un simple ressort car il possède des frottements internes (matériau) et externes (avec l’air).

21 Résonance : ici l’amplitude de sortie peut aller jusqu’à 10 fois plus grande que celle d’entrée.
Sur la video, résonance telle que G = 1,2

22 VI. 6. FT avec un polynôme au numérateur

23 VI. 6. FT avec un polynôme au numérateur

24 VI. 6. FT avec un polynôme au numérateur
ω (rad/s)

25 VI. 7. Multiplication de FT
1er ordre au numérateur : C1 = 1/τ1 = 200rad/s VI Multiplication de FT 2e ordre : C2 = 0 = 13rad/s z = 0,032 Donc résonance -60 -40 -20 Gain (dB) 1 10 100 1000 104 -90 -45 45 90 Phase (°) -80 -100 -180 -135 (rad/s) -40dB/dec (-40+20) -20dB/dec 0 : Pas d’intégrateurs, donc GdB→20.logK = 0dB Pulsations de cassure C1 (num) et C2 C2 C1 Asymptotes ( ) -90° Allures

26 VI. 7. Multiplication de FT
1/τ1 asymptote horizontale 20.log(K)=0dB asymptote de pente -40dB/dec -20.log(2.z) = +24dB asymptote de pente +20dB/dec asymptote 0° asymptote -180° asymptote -180°+90°=-90° -20dB/dec (-40+20) +3dB ω0 VI Multiplication de FT

27 VI. 7. Bande passante (à -3dB)
20.logK = 35 dB -3dB 220 Bande passante [0 – 220 rad/s]