Fonction exponentielle: enchaînement de théorèmes

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1 Fonction exponentielle: enchaînement de théorèmes
théorème: Il existe une fonction définie sur R, notée exp, dérivable sur R et vérifiant: exp(0)=1 et pour tout x de R exp ’(x)=exp(x). Admis Mais: h=0,1 h=0,5 Plusieurs tracés avec des pas de plus en plus fins. Démontrer le théorème revient à étudier la convergence d ’une suite.

2 Propriété: pour tout x de R exp(x)exp(x)=1
Corollaire: a) pour tout x de R exp(x)0 b) pour tout x de R On considère la fonction F(x)= exp(x)exp(x) définie dérivable sur R. Théorème: il existe une unique solution à l ’équation différentielle y ’ = y et y(0) = 1. Soit f une solution, la fonction définie par F(x)=f(x) exp(x) est dérivable sur R et F ’(x)=0 pour tout x. Ces premières démonstrations font appel au théorème vu en première une fonction f dérivable sur R, à dérivée nulle sur R, est constante sur R.

3 Théorème: pour tout x et x ’ de R, exp(x+x ’)=exp(x) exp(x ’)
Corollaire: Corollaire: d ’où pour tout x, exp(x)>0 On fixe une des deux « variables » et on étudie la fonction définie par F(x)=exp(x+x ’)exp(-x) … Ce principe se retrouve: Dans l ’étude des surfaces z=f(x,y) et des sections avec y=a par exemple. Dans l ’étude des complexes, lien entre opérations [(z1,z2)z1+z2] et transformations [(z,z1)z ’=z+z1]

4 Théorème: pour tout p appartenant à Z, exp(px)=exp(x)p
D ’abord sur N, sans la récurrence, puis on démontre le passage aux négatifs On passe alors à l ’écriture ex . Le principe du raisonnement par récurrence sera mis en place, plus tard, pour rendre opératoire le de proche en proche.

5 Etude de la fonction exponentielle:
Elle est strictement croissante sur R. Valeur approchée de e, méthode d ’Euler. Etude de la suite géométrique définie par: pour tout n de N, un=en (2n<en) En déduire le comportement en + de la fonction exponentielle. Et par composition le comportement en . Equation de la tangente à la courbe au point d ’abscisse 0 et comportement en 0 de

6 L ’équation xR, ex = , avec  réel donné.
Cas >1. Il existe un unique n tel que en   <en+1. Théorème de première sur [n;n+1] puis le tableau de variation pour l ’unicité sur R. Cas =1 …. Cas ]0;1[ , Cas 0 …. Méthode du balayage, approximation de la solution pour =22. Comparaison avec ln(22) donné par la touche de la calculatrice. Conclusion: L ’équation xR, ex = , avec  réel donné strictement positif a pour unique solution le nombre réel noté ln(). Ce qui permet de résoudre des équations, sans avoir la fonction logarithme népérien.

7 L ’équation différentielle y ’ = k y, avec k réel donné.
1°) a et b étant des réels, la fonction définie par f(x)=eax+b est telle que pour tout x de R f ’(x)=a f(x) 2°)la fonction définie par f(x)=ekx est donc solution. 3°)méthode de la variation de la constante: soit g une autre solution on considère F telle que F(x)=g(x)e-kx. Théorème: L ’ensemble des solutions de l ’équation différentielle y ’=ky est l ’ensemble des fonctions F telles que F(x)=Cekx, avec C nombre réel. 4°) unicité de la fonction solution dont la courbe passe par un point donné.

8 Pb: Quelles sont les fonctions dérivables sur R telles que:
pour tout (x;y) f(x+y)=f(x)f(y) ? 1°) la fonction nulle est solution. 2°) si f n ’est pas la fonction nulle et si f est solution alors pour tout x de R f(x) 0 (par l ’absurde). 3°) alors f(0)=1. 4°) Relation entre f et f ’: pour tout x, f ’(x)=f ’(0)f(x). 5°) Les solutions sont les fonctions définies par f(x)=ef ’(0)x. On avait vu que la fonction exponentielle vérifiait la relation fonctionnelle, est-ce qu ’il y en a d ’autres? La démonstration du 4°) est un moment important de la gestion des quantificateurs et des lettres, quelle est la variable? quel est le paramètre?