Exemple en dynamique de population

Présentation au sujet: "Exemple en dynamique de population"— Transcription de la présentation:

1 Exemple en dynamique de population
Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ? Q2 “La structure en âge” est-elle stable ? Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise :

2 Exemple en dynamique de populaiton
Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? t grand Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?

3 Diagonalisation d’une matrice : exemple
Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise donc

4 Diagonalisation d’une matrice : exemple
L’équation vérifiée par une structure en âge stable est M N = l N M N - l N = 0 (M – l I) N = 0 Si det non nul alors une solution unique Si det = 0 (matrice non inversible) : soit 0 solution, soit une infinité Or N = 0 est forcement solution, donc si on veut des solutions N non nul, il faut que det (M – l I) =0

5 Diagonalisation d’une matrice : exemple
det (M – l I) =0 On a deux valeurs possibles : l = 2 et l = -1 “valeur propre” “vecteur propre”

6 Diagonalisation d’une matrice : exemple
On a deux valeurs possibles : l = 2 et l = -1 “valeur propre” “vecteur propre”

7 Diagonalisation d’une matrice : exemple
Réponse à la question Q1 : Que devient cette population à long terme ? On écrit le vecteur N0 dans la base des vecteurs propres N1 et N2 associés aux deux valeurs propres l1 = 2 et l2 = -1 : N0 = a N1 + b N2 Avec M N1 = l1 N1 et M N2 = l2 N2

8 Diagonalisation d’une matrice : exemple
Que devient cette population à long terme ? t grand l1 = 2 , l2 = -1 La plus grande des deux valeurs propres (en valeur absolue) est le taux d’accroissement de la population : la population augmente si ce taux est >1

9 Diagonalisation d’une matrice : exemple
Réponse à la question Q2 : Structure en âge stable ? si la population double chaque année (l = 2) alors la structure en âge tend à se stabiliser au bout d’un certain temps : il y a 4 fois plus d’individus de 1 an que d’individus de 2 ans. (L’autre valeur, l = -1, n’a pas de signification biologique) Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT

10 Diagonalisation d’une matrice Réduction des endomorphismes
Généralités Une application en génétique

11 Un exemple en génétique
Une espèce autogame diploïde Auto-fécondation Un gène bi-allélique Aa, AA ou aa Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population à long terme ? AA (pk) aa (rk) Aa (qk)  1/4 1/2 AA aa Aa Une plante est dite autogame quand son propre pollen féconde ses propres ovules. Se dit d’une cellule qui possède 2n chromosomes, c'est à dire que chaque type de chromosome est en 2 exemplaires (= chromosomes homologues). Les chromosomes homologues portent les mêmes gènes mais pas forcément les mêmes allèles. Cf. Problème 3.3 en TT

12 Les équations

13 Objectif On peut associer une application linéaire à la matrice A : f
Trouver une base telle que la matrice de f devienne diagonale : (P matrice de passage) On dit alors que f est diagonalisable

14 Vecteurs et valeurs propres
Théorème f : E-> E est diagonalisable si/si il existe une base de E formée de vecteurs propres. (V est la matrice colonne des coordonnées du vecteur )

15 1. Recherche des valeurs propres
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :

16 Retour à l’exemple en génétique

17 2. Recherche des vecteurs propres
Théorème f est diagonalisable si/si pour chaque valeur propre li de multiplicité ai , on a dim El = ai .

18 Suite de l’exemple A est “diagonalisable”

19 3. Diagonaliser Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

20 Calculer Ak On a D = P-1 A P, quelques rappels :

21 Conclusion de l’exemple
Rq2

22 Conclusion biologique de l’exemple
Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r (aa) à long terme : quand k tend vers l’infini ? Problème 4.2 en TT

23 Application en génétique et application en dynamique de population
La plus grande des valeurs propres EX en dynamique de population : l1 est le taux d’accroissement et les vect.p. {ni} représentent la structure en âge de la population, à long terme. EX en génétique (ou le blé) : l1 = 1 et les vect.p. représentent les fréquences, à long terme.

24 Produit scalaire et orthogonalité
MathSV chapitre 5

25 Le produit scalaire canonique
L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle :

26 Norme

27 Normalisation

28 Orthogonalité La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale : (Exercice : verifier que la base canonique de IR2 est orthonormée)

29 Projecteur orthogonal
Le vecteur projeté de sur est le vecteur : 

30 Distance euclidienne