Circuits et systèmes hyperfréquences Chapitre II : les guides d’ondes. Mohamed EL HAJJI

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1 Circuits et systèmes hyperfréquences Chapitre II : les guides d’ondes. Mohamed EL HAJJI E-mail : mohamed.elhajji89@gmail.com mohamed.elhajji89@gmail.com mohamed.elhajji@onda.ma

2 Objectifs: Étudier la propagation guidée d’une onde électromagnétique dans les guides d’ondes. Étudier les différents types de composants hyperfréquences. Comprendre les différentes applications: Radar dans le domaine de la gestion des trafics aérien. Télécommunication par satellite.

3 Présentation du cours  Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire Guide circulaire Cavités résonantes

4 Présentation du cours  Partie 2 : Composants hyperfréquences Composants actifs: oscillateurs à diodes, amplificateurs de puissances à tubes. Composants passifs: T magique, coupleur directif, isolateur, déphaseur non réciproque, atténuateur, circulateur, charge.

5 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques  Introduction  Propagation guidée dans un guide rectangulaire Étude des modes Transverse Électrique (TE) Étude des modes Transverse Magnétique (TM )  Propagation guidée dans un guide cylindrique Étude des modes TE Étude des modes TM  Cavité résonante

6 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Introduction : De la même manière que les lignes de transmission, les guides d ’ondes sont utiliser pour transférer de l’énergie électromagnétique d ’un point à un autre. Les guides d ’ondes rectangulaires ou cylindriques, sont utilisées souvent pour transférer de l’énergie électromagnétique en modes TE (Transverse Électrique) ou TM (Transverse Magnétique) pour des fréquences de l’ordre et supérieures à la dizaine de GHz (hyperfréquences), pour lesquelles on trouve essentiellement des applications radar ou des télécommunications spatiales.

7 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques La possibilité de transporter de fortes puissances micro-ondes (propagation dans l’air), ce qui est particulièrement important pour les radars de puissance et des télécommunications spatiales; L’absence de rayonnement due à sa structure complètement close; Les modes principaux ont une polarisation rectiligne et sont donc faciles à exciter et à détecter; Avantages des guides d’ondes:

8 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Modes de propagation : Supposant que le guide d'ondes est orienté avec son axe le long du z-axe (direction de la propagation d’onde), le régime de propagation le plus général qui peut exister dans un guide d’onde est formé des 5 composantes des champs. Guide rectangulaireGuide circulaire

9 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques modes Transverse Électriques (TE) : le champ électrique est transversal à la direction de la propagation (aucun composant longitudinal de champ électrique) tandis que le champ magnétique a les composants transversaux et longitudinaux [Ez = 0, Hz≠0] modes Transversal Magnétiques (TM) : le champ magnétique est transversal à la direction de la propagation (aucun composant longitudinal de champ magnétique) tandis que le champ électrique a les composants transversaux et longitudinaux [Hz = 0, Ez ≠ 0] Modes de propagation : On peut classifier les modes de propagation dans le guide d'ondes selon lesquels les composants de champ sont présents ou non dans l’onde.

10 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étudions la structure représentée sur la figure. Les parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits, l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité  et de perméabilité  . (le coté a est supposé plus grand que le coté b -convention-) o Modes TE (Transverse Electrique) : pour ces modes E z = 0 et H z  0. Il n’existe que des composantes E x =E x (x,y) et E y =E y (x,y) o Modes TM (Transverse Magnétique) : pour ces modes H z = 0 et E z  0 le champ magnétique ne possède que des composantes transverses à la direction de propagation (H x =H x (x,y) et H y =H y (x,y) )

11 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Pour ces modes on a : E z = 0, H z  0 L’équation d’onde dans un milieu pour une onde de variation temporelle de type s’écrit : Posons: le nombre d’onde dans un milieu illimité (1)

12 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Cette équation peut être résolue en Utilisant la méthode des séparations des variables : Cette équation devient donc: Les équations entre parenthèses étant indépendantes, elles doivent être vérifiées séparément, ce qui donne la solution générale suivante: où A, B, C et D sont des constantes à déterminer par les conditions aux limites.

13 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : On peut montrer que: Ce qui conduit à:

14 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Les conditions aux limites conduisent donc à: La composante H z s’écrit donc : avec B.D = H 0

15 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Les expressions complètes des composantes transverses des champs sont: K c étant le vecteur d ’onde de coupure : Remarque: pour m=n=0, H z est constant et par conséquent les champs transverses (E x, E y ) sont nuls, ce qui exclut ce mode.

16 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Constante de propagation : Relation de dispersion : Pulsation de coupure: La pulsation de coupure  c correspond à k z =0, soit :

17 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde k z de propagation : Pour  <  c, k z est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation). L’onde est dans ce cas est évanescente. Pour  c, k z est purement réel. Le mode se propage.

18 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Longueur d ’onde guidée Lors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver la même phase tous les g. C’est à dire que k z g = 2  et donc : le vecteur d ’onde dans un milieu illimité

19 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Vitesse de propagation: Où v 0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité. Impédance de l ’onde TE: Où Z 0 est l’impédance dans un milieu illimité. Z TE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TE mn.

20 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TE : Interprétation géométrique : Dans le mode mode TE 10 le champ H z se met sous la forme de deux termes: On voit que le champ peut être considéré comme la somme de deux champs qui se propagent dans des directions symétriques par rapport à la direction oz et obliquement dans le plan -x, z et x, z. Introduisons les vecteurs d ’onde:

21 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TM : Le champ magnétique est purement transverse (H z = 0 ). En suivant exactement la même démarche que celle des modes TE, on trouve les expressions complètes des composantes des champs:

22 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Étude des modes TM : Remarques: o Pour m=0 ou n=0, E z =0 ce qui exclut ce mode o Pour les modes TM, la relation de dispersion, la pulsation de coupure, La longueur d ’onde guidée et la vitesse de propagation sont identiques que celles des modes TE. Impédance de l’onde : Z TM est appelé l’impédance de l ’onde TM mn. Remarque : impédance Z0Z0 Z TM Z TE Plus a augmente plus Z TM augmente et plus Z TE diminue. Dans le cas limite (a-->  ) Z TM et Z TE tendent vers Z 0

23 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Exemple : Cherchons les fréquences de coupure des premiers modes d’un guide standard (désignation WR90) et traçons le diagramme de dispersion k = f (ω). Les dimensions sont a = 22,9 mm et b = 10,2 mm. La relation de dispersion donne pour les cinq premiers modes, par ordre de fréquence croissante les valeurs indiquées dans le tableau suivant : Mode Fréquence de coupure (GHz) TE 10 6,56 TE 20 13,10 TE 01 14,76 TE 11 16,16 TM 11 16,16 Exprimons la relation de dispersion en fonction de ω (avec ε r = 1 dans l ’ air):

24 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Exemple : Le diagramme de dispersion k z = f(ω) est représenté ci-dessous : Fonctionnement mono mode Fonctionnement multi mode o Dans la bande fréquences comprise entre 6,56 GHz et 13,10 GHz, seul le mode TE 10 peut se propager : le guide est monomode. C’est l’utilisation habituelle d’un guide d’onde o Par contre, en utilisant la bande de fréquences comprises entre 14,76 GHZ et 16,16 GHz, les trois modes TE 10, TE 20 et TE 01 peuvent se propager simultanément. Le guide est multi mode.

25 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Le mode dominant TE 10 : Expressions des champs : Les composantes des champs du mode TE 10 dans l’air (ε r = 1), sont données pour m = 1 et n= 0. En exprimant tous les champs par rapport à l’amplitude E o de la composante E y, et en revenant aux expressions physiques, on trouve : Noter le déphasage de  / 2 de la composante H z par rapport aux autres champs.

26 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Le mode dominant TE10 : La voleur moyenne dans le temps de la densité de puissance est donné par le vecteur de Poynting: La composante transverse est nulle parce qu ’elle est purement imaginaire.

27 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Le mode dominant TE10 : Le flux de ce vecteur à travers à une section droite du guide donne la puissance moyenne véhiculée par l’OEM du guide. Cette puissance est souvent exprimée en fonction de l ’amplitude maximum de E 0 du champ électrique. La relation entre E 0 et H 0 est donnée par: Pour a=2,29 cm, b=1,02 cm, E 0 =3 MV/m,  r =1(air), f=10 GHz, on trouve P  1MW

28 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Le mode dominant TE 10 : répartition du Champ électrique et du courant de déplacement : La répartition du champ E y dans le guide, toujours au temps t = 0. La propagation de ce champ vers les z croissants (terme cos( ωt – k z z)), induit un courant de déplacement proportionnel au taux de variation du champ électrique ( J d =  d E /dt ). o En z = 0 et z = λ G /2, le champ E y passe par un extremum ainsi que J d o En z = λ G /4, dE y /dt > 0 : le courant est positif de valeur maximum J dmax o En z = 3/4λ G, dE y /dt < 0 : le courant est négatif, de valeur J dmin

29 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide rectangulaire : Le mode dominant TE 10 : répartition du Champ magnétique et du courant de conduction : o Les lignes de champ magnétique tournent autour des lignes de courant de déplacement J d. Elles forment des boucles fermées, centrées en x = a/2 et z = λ g /4, z = 3/4λ g, … etc (au temps t = 0). o Le courant superficiel I s, ( I s = n × H s ),( n étant la normale sortante de la surface) induit par la composante tangentielle du champ magnétique en surface H s, s’écoule sur la face interne des parois du guide

30 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Les propriétés du guide cylindrique sont très voisines de celles du guide rectangulaire. Étudions une structure représentée sur la figure ci-dessous. Les parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits, l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité  et de perméabilité   Modes TE (Transverse Electrique) : pour ces modes E z = 0 et H z  0. Il n’existe que des composantes E r =E r (r,  ) et E  =E  (r,  ) Modes TM (Transverse Magnétique) : pour ces modes H z = 0 et E z  0. Il n’existe que des composantes H r =H r (r,  ) et H  =H  (r,  ) En désignant par g l’une des composantes longitudinales E z ou H z, l’équation de propagation pour une onde de variation temporelle de type s’écrit:

31 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Exprimons le Laplacien en coordonnées cylindriques: L’équation d’onde s’écrit, compte tenu du terme de propagation en exp(jk z z): Posons: Ou encore k 0 étant le nombre d’onde dans un milieu illimité Utilisons la méthode des séparations des variables: L’équation devient donc:

32 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Le premier terme n’est fonction que de r, alors que le second n’est fonction que de . La somme ne peut être identiquement nulle que si chaque fonction est égale à une constante. Fonction angulaire: La fonction F doit être périodique, car les champs doivent retrouver la même valeur pour F et pour F+ 2 . Nous obtiendrons une solution périodique en posant : La solution générale de cette équation s’écrit : et doit satisfaire à la condition : Cette condition est satisfaite si    est un entier de valeur   = m = 0, 1, 2, 3..

33 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Fonction radiale: Par conséquent l’équation de propagation devient une équation de Bessel: La solution générale de cette équation, pour n entier, s’écrit : Où : J m (kr) est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m (m = 0, 1, 2, …) N m (kr) est la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre m (ou fonction de Neuman)

34 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : La figure ci-dessous montre les variations de J m (x) (m = 0 à 2) en fonction de x (x=kr) au voisinage de l’origine et le x mn le nième zéro de la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m x 02 x 01 x 03 x 13 x 12 x 22 x 23 Ces fonctions sont oscillatoires et gardent une valeur finie au voisinage de x = 0 (c’est-à-dire au centre du guide) pour toutes les valeurs de m

35 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Par contre les fonctions N m (x) (figure ci-dessous) tendent vers l’infini au voisinage de l’origine, comme le montre la figure ci-dessous. Le champ ne pouvant pas diverger au centre du guide, nous poserons donc D = 0. La composante longitudinale du champ s’écrit finalement :

36 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Les solutions angulaires en cos (m  ) et en sin (m  ) représentent en fait une même configuration des champs, mais décalée angulairement de (π/2)m. Nous ne retiendrons que la solution en cosinus qui ne s’annule pas pour m = 0. La solution générale de la composante longitudinale du champ est donc : o La variation radiale est une fonction de Bessel de première espèce. o La variation angulaire est une fonction trigonométrique. Pour terminer l’étude de l’équation de propagation nous devons maintenant prendre en compte les conditions aux limites sur les parois du guide. Il faut alors maintenant décomposer notre étude en deux parties (mode TE et mode TM) car les conditions aux limites sont différentes pour ces deux modes.

37 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Étude des modes TE : Pour ces modes on a: E z = 0 et H z  0 La composante axiale du champ électrique H z est donnée par: avec H 0 =AC Sur la surface du guide on a : On peut montrer que: Ce qui conduit à: En r = a on a alors J n ’(ka)=0 et donc on trouve que : avec x’ m,n qui est le nième racine de la fonction de Bessel de première espèce dérivée d’ordre m

38 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : La composante H z du mode TE mn s’écrit donc : Relation de dispersion: Pulsation de coupure, qui correspond à k z = 0, vaut : De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde k z de propagation : Pour  <  c, k z est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation). Pour  c, k z est purement réel. Le mode se propage.

39 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : On trouve dans le tableau suivant les premières valeurs de x′ mn n 1 2 3 4 m 0 3,832 7,016 10,173 13,324 1 1,841 5,331 8,536 11,706 2 3,054 6,076 9,969 13,170 3 4,201 8,015 11,346 14,58 On note que le mode TE 11, qui présente la plus basse fréquence de coupure (x’ 11 =1,841) de tous les modes TE ou TM, est le mode dominant.

40 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Longueur d ’onde guidée Lors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver la même phase tous les g. C’est à dire que k z g = 2  et donc : ; le vecteur d ’onde dans un milieu illimité Vitesse de propagation: v 0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité ; Impédance de l ’onde TE: Où Z 0 est l’impédance dans un milieu illimité.

41 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Les expressions complètes des composantes des champs sont : Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel de première espèce et une variation angulaire de type trigonométrique. J m ’ désigne la dérivée. Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignes de champ électrique pour les premiers modes TE

42 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : La répartition des lignes du champ électrique transverse des modes TE 11, TE 01 et TE 21 est indiquée sur les figures suivantes : Le mode dominant TE 11 présente une répartition des lignes de champ électrique qui rappelle celle du mode TE 10 du guide rectangulaire. Pour cette raison, il est courant d’exciter ce mode du guide cylindrique à partir d’un guide rectangulaire.

43 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Étude des modes TM : Pour ces modes on a: H z = 0 et E z  0 La composante axiale du champ électrique E z est donnée par: avec E 0 =AC Sur la surface du guide on a : Les solutions pour les modes TM correspondent alors aux zéros de la fonction de Bessel de première espèce J m (kr ) en r= a. En r= a on a alors J m (ka) = 0 et donc on trouve que : avec x mn qui est le nième zéro de la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m

44 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Étude des modes TM : La composante E z du mode TM mn s’écrit donc : Relation de dispersion: Pulsation de coupure, qui correspond à k z = 0, vaut : De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde k z de propagation : Pour  <  c, k z est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation). Pour  c, k z est purement réel. Le mode se propage.

45 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : On donne dans le tableau suivant les valeurs précises des n = 4, premières racines x mn, de J m, pour m≤0: 3 n 1 2 3 4 m 0 2,405 5,520 8,654 11,792 1 3,832 7,016 10,173 13,324 2 5,136 8,417 11,620 14,796 3 6,380 9,761 13,015 16,223 On notera que la plus faible racine vaut x 01 = 2,405, ce qui fait que le mode TM 01 possède la plus faible fréquence de coupure de tous les modes TM. Étude des modes TM : Les valeurs de cette ligne (m=1) sont identiques à celle de la ligne m=0 des modes TE

46 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Étude des modes TM : Longueur d ’onde guidée: Lors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver la même phase tous les g. C’est à dire que k z g = 2  et donc : Vitesse de propagation: Impédance de l ’onde TM:

47 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : En suivant la même démarche du guide rectangulaire, on trouve les expressions complètes des composantes des champs sont : J m ’ désigne la dérivée Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel de première espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.

48 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Pertes dans un guide : Jusqu’as présent, nous avons supposés des guide sans pertes. En effet un guide réel présente des pertes qui ont deux origines: o Pertes électriques au niveau des parois qui ne sont pas parfaitement conductrices o Pertes diélectriques au niveau du milieu remplissant le guide. Il en résulte une atténuation supposée exponentielles des ondes qui se propagent: Où P(0) étant la puissance transmise par la source à l’entrée du guide et  est le cœfficient d’amortissement linéique.

49 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Guide cylindrique : Le plus souvent, on évalue l’atténuation par: en dB/m Dans le cas typique où  =5.10 -3 à 100 MHz l’atténuation vaut 0,043 dB/m

50 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante : Une cavité résonnante hyperfréquence est un volume vide (ou rempli d’un diélectrique) fermé par des conductrices. Il peut s’établir des ondes électromagnétiques stationnaires (modes) pour certaines valeurs des fréquences ( fréquences de résonance). Le calcul de la configuration des champs et des fréquences de résonance peut être effectué analytiquement pour des formes géométriques simples (cavités rectangulaire, cylindrique,..). Les cavités sont utilisées comme filtre ou monochromateur ou encore comme un moyen de stockage de l’énergie électromagnétique. L’addition des parois aux extrémités (en z=0 et z=d) introduit la réflexion de l’OEM dans la direction z

51 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante : Cas du guide rectangulaire Cas des modes TM pour un guide rectangulaire La composante E x est donnée par: Où le terme en -k z z (resp. k z z ) est l’onde incidente (resp. réfléchit) d’amplitude complexe A + (resp. d’amplitude complexe A - )

52 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante : Cas du guide rectangulaire Cas des modes TM pour un guide rectangulaire La condition aux limites E x (z=0)=0 impose A + =-A -, soit: La condition aux limites E x (z=d)= 0 conduit à: Ce qui conduit à: Dans la cavité résonante les modes TM sont donc caractérisés par les entiers m, n et p (TM mnp ) La relation de dispersion pour une cavité résonante devient : dans le cas des modes TE on obtient la même équation de dispersion que celle des modes TM

53 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante : Cas du guide rectangulaire La pulsation de résonance est donnée par : Le même résultats peut être obtenu par l’analyse des modes TE. Remarque: Exemple 1: Pour d>a>b, la pulsation la plus faible des modes TE est celle du mode TE 101. Elle est donnée par : Exemple 2: Pour d>a>b, la pulsation la plus faible est celle du mode TM 110. Dans ce cas on a:

54 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante : Cas du guide cylindrique On peut montrer que la pulsation de résonance est donnée par: Pour les modes TM Pour les modes TE Le mode dominant pour les modes TM est TM 110 Le mode dominant pour les modes TE est TE 111 a z d

55 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante :

56 Partie 1: Guides d’ondes électromagnétiques Cavité résonante :